utf8第二章 立体的图示原理

1、退出退出内容提要：本章介绍三面投影图的形成及投影规律，轴测图的绘制，提出了立体的异维图示的方法，介绍了空间几何元素的投影特性及它们之间的相对位置，初步介绍了平面立体投影图的分析方法，最后介绍了投影变换的原理和方法。重点：三面投影图的投影规律，空间几何元素的投影特性。 第二章第二章 立体的图示原理立体的图示原理难点：轴测图的绘制、直角三角形法，直线与平面、平面与平面相交求交点、交线，换面法的应用。退出退出1 投影法投影法4立体的异维图示立体的异维图示 2三面投影图三面投影图 3轴测图轴测图 6 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置第二章第二章 立体的图示原理立体的图示

2、原理7平面立体投影图平面立体投影图 8 换面法换面法5空间几何元素的投影空间几何元素的投影 退出退出 一、投影概念一、投影概念 二、投影法分类二、投影法分类 三、正投影的基本性质三、正投影的基本性质退出退出如何在二维图纸上反映三维的空间形体呢？投影法退出退出一、投影概念一、投影概念 投影面投射线物体（大写）投射中心投影（小写）三要素：三要素： a=SAP退出退出投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图二、投影法分类二、投影法分类退出退出投射中心、物体、投影面三者之间的相对

3、距离对投投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。影的大小有影响。投影特性投影特性（一）中心投影法：（一）中心投影法：所有的投射线都交于一个点所有的投射线都交于一个点度量性较差（不能反映物体的实形）度量性较差（不能反映物体的实形）退出退出（二）平行投影法（二）平行投影法投投 影影 特特 性性度量性较好（能反映物体的实形）度量性较好（能反映物体的实形）投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。正投影法正投影法所有的投射线都互相平行所有的投射线都互相平行 斜投影法斜投影法退出退出三、正投

4、影的基本性质三、正投影的基本性质2积聚性积聚性 3. 类似性类似性 4平行性平行性5定比性定比性6从属性从属性1实形性实形性AG:GB=ag:gb HCID，HC:ID=hc:id 退出退出 一、三面投影体系一、三面投影体系 二、三视图的形成二、三视图的形成 三、三视图的投影规律三、三视图的投影规律 四、立体的三视图画法四、立体的三视图画法 五、徒手画立体三视图五、徒手画立体三视图退出退出一、一、 三面投影体系三面投影体系 物体的一个投影不能确定空间物体的形状。物体的一个投影不能确定空间物体的形状。 建立三面投影体系建立三面投影体系 怎么办？怎么办？ 退出退出二、三视图的形成二、三视图的形成

5、三视图三视图返回退出退出三、三、三视图的投影规律三视图的投影规律（1）三视图的位置关系）三视图的位置关系 （2）三视图之间的投影关系）三视图之间的投影关系 主、俯视图长对正。主、俯视图长对正。 主、左视图高平齐。主、左视图高平齐。 俯、左视图宽相等。俯、左视图宽相等。（3） 视图与物体的方位关系视图与物体的方位关系以主视图为准，俯视以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。视图在主视图的正右方。主视图：反映上、下和左、右主视图：反映上、下和左、右;俯视图：反映前、后和左、右俯视图：反映前、后和左、右;左视图：反映上、下和前、后。左视图：反映上、下和前、

6、后。左左上上下下右右后后后后前前前前上上下下左左右右退出退出四、立体的三视图画法四、立体的三视图画法例2-1：画出图2-1所示立体的三视图。作图：作图： (a) 画底板的三视图画底板的三视图 (c) 画立板的三视图画立板的三视图 (d) 加深后的三视图加深后的三视图 (b)画左端方槽的三视图画左端方槽的三视图 退出退出五、徒手画立体三视图五、徒手画立体三视图一：布图二：打底稿三：校核、检查退出退出 一、一、轴测投影的基本知识轴测投影的基本知识 二、正等轴测图二、正等轴测图 三、斜二等轴测图三、斜二等轴测图 四、徒手画轴测投影图四、徒手画轴测投影图 退出退出一、轴测投影的基本知识一、轴测投影的基

7、本知识 将立体连同确定将立体连同确定其空间位置的直角坐其空间位置的直角坐标系，沿标系，沿不平行不平行于任于任一坐标面的方向，用一坐标面的方向，用平行投影法平行投影法将其投射将其投射在在单一投影面单一投影面P P上所上所得的图形称为得的图形称为轴测图轴测图。（一）轴测投影图的形成（一）轴测投影图的形成退出退出A0ZXYABSO0B0Y0X0Z0C0C（二）轴测图的基本术语和参数（二）轴测图的基本术语和参数ZYXOOP轴测轴轴测轴轴间角轴间角轴向伸缩系数轴向伸缩系数轴测投影面轴测投影面OO OCO OOCr1OAOO OBO OqOBX轴向伸缩系数：Y轴向伸缩系数：Z轴向伸缩系数：p11OO OA

8、O Or1COOO OCO O退出退出 空间上平行的线段，其轴测投影也平行。空间上平行的线段，其轴测投影也平行。（三）轴测图的投影特性（三）轴测图的投影特性 在原立体与轴测投影间保持以下关系：在原立体与轴测投影间保持以下关系：立体上与坐标轴平行的直线，立体上与坐标轴平行的直线，其轴测投影有何特性？其轴测投影有何特性？凡是空间与坐标轴平行的线段，就可以在轴凡是空间与坐标轴平行的线段，就可以在轴测图上测图上沿轴测轴方向进行度量和作图沿轴测轴方向进行度量和作图。平行于相应的轴测轴平行于相应的轴测轴G其轴测图仍平行PCAAOOOBOY0X0Z0FODOGOEOCOXZYBOFEDFC = FOCO*

9、pCD = C0D0* qAF = AOFO* r空间相互平行的线段退出退出（四）轴测图的分类（四）轴测图的分类轴测图轴测图正轴测图正轴测图正等轴测图正等轴测图 p = q = r正二轴测图正二轴测图 p = r q正三轴测图正三轴测图 p q r斜轴测图斜轴测图斜等轴测图斜等轴测图 p = q = r斜二轴测图斜二轴测图 p = r q斜三轴测图斜三轴测图 p q r正等轴测图正等轴测图斜二轴测图斜二轴测图退出退出二、正等轴测图二、正等轴测图（一）正等轴测图的形成（一）正等轴测图的形成 使空间坐标轴与轴测投影使空间坐标轴与轴测投影面倾斜相同的角度，沿正六面倾斜相同的角度，沿正六面体对角线方向

10、做正投射。面体对角线方向做正投射。退出退出（二）正等轴测图的基本参数（二）正等轴测图的基本参数 轴向伸缩系数： p=q=r=p=q=r= 0.82 轴间角： XOYXOY = XOZXOZ = YOZYOZ = 120120 简化轴向简化轴向伸缩伸缩系数：系数： p=q=r=p=q=r= 1 p=q=r= 0.82 p=q=r= 1 OXYZOXYZ图形放大了图形放大了1.22倍倍1(0.82)XYO1(0.82)1(0.82)Z退出退出（1）根据形体的结构特点，确定）根据形体的结构特点，确定坐标原点坐标原点的位置，的位置，一般选在一般选在形体的对称轴线形体的对称轴线上，且放在顶面或底面处。上

11、，且放在顶面或底面处。（2）根据轴间角，画出）根据轴间角，画出轴测轴测轴。轴。（3）按点的坐标作点、直线的轴测图，一般）按点的坐标作点、直线的轴测图，一般自上自上而下而下，根据轴测投影基本性质，依次作图，根据轴测投影基本性质，依次作图，不可见不可见棱线通常不画出棱线通常不画出。（4）检查，）检查，擦去多余图线擦去多余图线并加深。并加深。（三）画轴测图的一般步骤：（三）画轴测图的一般步骤：退出退出（坐标法）（坐标法）例例2-22-2：画三棱锥的正等轴测图：画三棱锥的正等轴测图XaYaXbYbZsXsYsoxyzxoAXaYaYbXbXsYsZsCSB（四）（四） 平面立体正等轴测图平面立体正等轴

12、测图退出退出oxyzxozyoZ ZX XY YO O例例2-32-3：已知三视图，画正等轴测图。：已知三视图，画正等轴测图。( (形体分析法形体分析法) )1、在三视图上建立空间的坐标轴、在三视图上建立空间的坐标轴: xoz、xoy、xoy。2、画出轴测轴、画出轴测轴oxyz，确定三个轴向伸，确定三个轴向伸 缩系数缩系数( p= q= r= 1) )、依次画出各基本体：、依次画出各基本体：按尺寸按尺寸、画底板的轴测图画底板的轴测图按尺寸按尺寸、e画竖板的轴测图画竖板的轴测图5、整理图线并加深，完成立体的轴测图。、整理图线并加深，完成立体的轴测图。4、依次画出各截平面：、依次画出各截平面：按尺

13、寸按尺寸g、m、n画底板左侧的方槽画底板左侧的方槽（2 2）按尺寸按尺寸f画竖板上的截切画竖板上的截切退出退出（五）曲面立体的正等轴测图（五）曲面立体的正等轴测图1 平行坐标面的圆的正等轴测图平行坐标面的圆的正等轴测图 水平圆水平圆的正等测椭的正等测椭圆其圆其长轴长轴OZ轴测轴轴测轴其其短轴短轴/ OZ轴测轴轴测轴 正平圆正平圆的正等测椭的正等测椭圆其圆其长轴长轴OY轴轴测轴测轴其其短轴短轴/ OY轴测轴轴测轴XYZ 侧平圆侧平圆的正等测椭的正等测椭圆其圆其长轴长轴OXOX轴测轴轴测轴其其短轴短轴/OXOX轴测轴轴测轴 判断椭圆的长轴，可判断椭圆的长轴，可便于徒手绘制轴测图。便于徒手绘制轴测图

14、。退出退出退出退出Zo1o3o4o21、平行H面的圆的画法：四心圆法退出退出 例例2-6 2-6 由圆柱的视图，作其正等轴测图由圆柱的视图，作其正等轴测图 转向轮廓线转向轮廓线退出退出 作长方体轴测图，并根据作长方体轴测图，并根据R R定出切点的轴测投影定出切点的轴测投影A A、B B、C C、D D。ABCD2 2、 圆角的正等测图画法圆角的正等测图画法（1/4圆弧) 过各切点作相应边的垂线得交点过各切点作相应边的垂线得交点1 1、2 2。 分别以分别以1 1、2 2为圆心作圆弧切于切点。为圆心作圆弧切于切点。 将上表面的圆心和切点沿将上表面的圆心和切点沿Z Z轴向下平移轴向下平移h h，在

15、下表面得相应圆，在下表面得相应圆心和切点，并作圆弧。心和切点，并作圆弧。 作右边上下圆弧的公切线，擦去多余作图线，并加深。作右边上下圆弧的公切线，擦去多余作图线，并加深。退出退出（一）（一） 1.定义：定义：轴测投影面平行轴测投影面平行于一个坐标平面，投射方于一个坐标平面，投射方向倾斜于轴测投影面时得向倾斜于轴测投影面时得到的轴测图。到的轴测图。2. 优点：优点：正面投影能正面投影能反映真实形状，特别反映真实形状，特别当形体正面有圆或圆当形体正面有圆或圆弧时，画图简单。弧时，画图简单。三、 斜二等轴测图退出退出（二）斜二等轴测图的基本参数（二）斜二等轴测图的基本参数 轴向伸缩系数：p=r=p=

16、r=1 1，q=q=0.50.5轴间角： XOZXOZ= = 9090 XOY=XOY= YOZ= YOZ= 135135=1=1/2Y0Y1=1O0OX0X1=1/2Yqpp=11OXq1r11=1Z Z0rZX2RYORZ反映反映OXZ面的实形面的实形退出退出例 画出圆柱的斜二轴测图画空间坐标轴画轴测轴画前方的圆向后量取宽度的1/2画后方的圆画公切线判别可见性，描深退出退出zy例2-7 画出如图2-26（a）所示端盖的斜二等轴测图。 zxoo（1）选定坐标轴（2）画轴测轴（3）画圆柱及后板（4）整理、加深退出退出四、徒手画轴测投影图四、徒手画轴测投影图1、绘制轴测轴时应使轴间角尽量准确。

17、2、在画图中要运用轴测投影的基本特性，如定比性、平行性等。3、在绘制轴测草图时，常常采用“方箱法”，即先画出基本形体的包容长方体，再绘出其准确形状的方法 退出退出一、立体的多面投影和轴测投影比较一、立体的多面投影和轴测投影比较 优点优点 缺点缺点轴测图轴测图 立体感强立体感强 作图麻烦作图麻烦 度量性差度量性差 多面正投影图多面正投影图 作图简便作图简便 缺乏立体感缺乏立体感 度量性好度量性好 退出退出二、立体的异维图示二、立体的异维图示三视图轴测图异维图示 将几何形体在同一张图纸平面上用二维投影图将几何形体在同一张图纸平面上用二维投影图和三维立体图表达的方式称为异维图示和三维立体图表达的方式

18、称为异维图示 。退出退出三、空间几何要素的异维图示三、空间几何要素的异维图示直线平面立体退出退出面点、直线、平面是构成形体的基本几何元素。点、直线、平面是构成形体的基本几何元素。BCDA线点一、一、 点的投影点的投影二、二、 直线的投影直线的投影三、平面的投影三、平面的投影退出退出点的正面投影与水平投影的连线垂直于点的正面投影与水平投影的连线垂直于OXOX轴，即轴，即 OX；aa点的正面投影与侧面投影的连线垂直于点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZOZ轴，即轴，即 OZ；aa 一、点的投影一、点的投影点水平投影到点水平投影到X X轴的距离等于侧面投影到轴的距离等于侧面投影到Z Z轴的距离，即

19、轴的距离，即axazaa = =点的投影点的投影（一）点的投影规律退出退出 例例2-8 2-8 根据点根据点A A和和B B的两个投影求第三个投影。的两个投影求第三个投影。 解法一:通过作通过作4545线线, ,使使a a a az z=aa=aax x, bb, bbx x = = b b b bz z解法二:用圆用圆规直接量取规直接量取a az=aax, bbx = b bzaxazbxbzaxbzbxaz退出退出XVYOWZaa Ya ZaXaaHZAYAXAaOXYWYHaYHaYWaZZaX XAYAZAYAaa A空间点空间点A到到V面的距离，等于点面的距离，等于点A的的y坐标；即

20、：坐标；即： 空间点空间点A到到H面的距离，等于点面的距离，等于点A的的z坐标；即：坐标；即： 空间点空间点A到到W面的距离，等于点面的距离，等于点A的的x坐标；即：坐标；即： (二）点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系退出退出例例2-9 已知点已知点A(15,10,12)，求作点，求作点A的三面投影图。的三面投影图。 作图步骤如下：作图步骤如下： 3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。 1.自原点自原点O沿沿OX轴向左量取轴向左量取x=15,得点得点 ax2.过过ax作作OX轴的垂线，在垂线上自轴的垂线，在

21、垂线上自ax向下量取向下量取y=10,得点得点A的水平投影的水平投影a向上量取向上量取z=12,得点得点A的正面投影的正面投影a 退出退出VWaabbOabZYAHBX 指两点在空间的指两点在空间的左右、上下、左右、上下、前后前后位置关系。位置关系。X坐标大的在左；坐标大的在左； Y坐标大的在前；坐标大的在前；Z坐标大的在上。坐标大的在上。判断方法：判断方法：ZW YHYaabbOXabB点在点在A点点的的左、下、前方。左、下、前方。（三）（三） 两点的相对位置两点的相对位置退出退出例例2-10 已知点已知点A的三面投影，又知另一点的三面投影，又知另一点B对点对点A的相对坐标的相对坐标X=-4

22、，Y=2，Z=2，求点，求点B的三的三面投影。面投影。 无轴投影无轴投影AB422退出退出OXa bW YHYaabb当空间两点的当空间两点的两对坐标相等两对坐标相等时，两点处于时，两点处于同一投射线同一投射线上，在上，在该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影重影点点。OH(b)aWYBAXZVabab重影点要判别其可见性，不可见的投影加（），以重影点要判别其可见性，不可见的投影加（），以示区别。示区别。 ( )H H面重影，面重影，怎么办？怎么办？A在在B的正上方的正上方OH(b)aWYBAXZVabab（四）（四） 重影点的

23、投影重影点的投影退出退出重影点及可见性判别重影点及可见性判别结论：结论： X、Y分别相等，分别相等，H面重影面重影(H面投射线上面投射线上)，Z大可见。大可见。 正上（下）方正上（下）方 X、Z分别相等，分别相等，V面重影面重影(V面投射线上面投射线上)，Y大可见。大可见。 正前（后）方正前（后）方 Y、Z分别相等，分别相等，W面重影面重影(W面投射线上面投射线上)，X大可见。大可见。 正左（右）方正左（右）方退出退出（二）（二）各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性（四）（四）直线上的点直线上的点 ( (五）两直线的相对位置五）两直线的相对位置 （六）直角投影（六）直角投影2-3 直线

24、的投影直线的投影（一）（一） 直线的投影图直线的投影图（三）（三）直线段的实长和对投影面的倾角直线段的实长和对投影面的倾角退出退出空间两点决定一条直线。将直线两端点空间两点决定一条直线。将直线两端点同面投影同面投影相相连即得到连即得到直线的投影直线的投影。XZabOYWYHabba直线对投影面的倾角直线对投影面的倾角：直线与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的：直线与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的夹角，分别称为该直线对该投影面的倾角，分别用夹角，分别称为该直线对该投影面的倾角，分别用、表示表示 。退出退出直线投影的基本性质直线投影的基本性质直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长

25、投影反映线段实长ab=AB 真实性真实性直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 ab=0 积聚性积聚性abmBAM直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 abAB 类似性类似性ABababAB退出退出投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线正平线（平行于面）（平行于面）侧平线侧平线（平行于面）（平行于面）水平线水平线（平行于面）（平行于面）正垂线正垂线（垂直于面）（垂直于面）侧垂线侧垂线（垂直于面）（垂直于面）铅垂线铅垂线（垂直于面）（垂直于面）一般位置直线一

26、般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面（二）各种位置直线的投影特性（二）各种位置直线的投影特性退出退出ba水平线水平线Babb a A反映反映AB实长实长NEW1 1、投影面平行线、投影面平行线退出退出1. H面投影反映实长。即：面投影反映实长。即：ab=AB;V、W面投影分别平行于面投影分别平行于H面的两根轴。面的两根轴。 即即 abOX轴，轴，abOYW轴；轴；3. H面投影与面投影与OX轴夹角反映直线对轴夹角反映直线对V面的倾角面的倾角； 与与OYH轴的夹角，反映直线对轴的夹角，反映直线对W面的倾角面的倾

27、角。水平线的投影特征：水平线的投影特征：正平线和侧平线可得出类似的投影特征正平线和侧平线可得出类似的投影特征YOWYHZXabababababab水平线退出退出f ee f fe 投影面平行线投影面平行线1. 在其平行的投影面上的投影反映实长，在其平行的投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角。并反映直线与另两投影面倾角。2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的角面的角: 与与W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长dc cc d d a b b

28、ab a 实长实长退出退出铅垂线铅垂线2、投影面垂直线、投影面垂直线（铅垂线、正垂线、侧垂线铅垂线、正垂线、侧垂线）退出退出H面投影积聚成一点；面投影积聚成一点；V、W面投影反映实长，面投影反映实长，ab=ab=AB； V、W面投影，分别垂直于面投影，分别垂直于H面的两根轴面的两根轴 即：即： abOX轴轴ab OYW轴轴 。正垂线和侧垂线可得出类似的投影特征正垂线和侧垂线可得出类似的投影特征铅垂线投影特征铅垂线投影特征:OZbaa(b)baYHXYW铅垂线退出退出投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线侧垂线侧垂线2.另外两个投影面上的另外两个投影面上的投影反映实长。投影反映实长。 且垂直于相应

29、的投影轴。且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的投影面上的在其垂直的投影面上的投影积聚成点投影积聚成点。投影特性投影特性: :d c d(c)d c e f efe (f )积聚积聚为点为点积聚积聚为点为点正垂线正垂线a (b )abb a 积聚积聚为点为点退出退出VZWYHXbaOabbaAB投影特性：投影特性： 三个投影都缩短了。即三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实长及都不反映空间线段的实长及与三个投影面倾角，且与三根投影轴都倾斜。与三个投影面倾角，且与三根投影轴都倾斜。XZabOYWYHabba3、一般位置直线、一般位置直线投影长度和倾角之间的关系为：投影长度和倾角之间的关系为：

30、 ab=ABcos；ab=ABcos；ab=ABcos。用用直角三角形法直角三角形法求直线的实长及对投影面的倾角！求直线的实长及对投影面的倾角！退出退出|zA-zB |AB（1）求直线的实长及对水平投影面的夹角）求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角 |zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab（三）、直线段的实长和对投影面的倾角退出退出（2）求直线的实长及对正面投影面的夹角）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|退出退出ABab ZABa b XABYa b 退出退出已知线段的实长已知线段的实长

31、AB，求它的水平投影。，求它的水平投影。a|zA-zB| abABab|zA-zB|a退出退出例例2-11已知直线已知直线AB的实长，及点的实长，及点A的投影，并知其的投影，并知其30，=45，完成其正面投影及水平投影。，完成其正面投影及水平投影。 b作图：作图：AB为斜边，为斜边，B1AB=30，B2AB=45作两直角三角形，求出作两直角三角形，求出Z， Y，Lab,L a b利用利用Z,L a b求求bbaxaZYAB利用利用Y,及点的投影规律求及点的投影规律求b退出退出 点在直线上，其投影必在直线的点在直线上，其投影必在直线的同面投影上。即具有同面投影上。即具有从属性。从属性。 不垂直于

32、投影面的直线上点，将不垂直于投影面的直线上点，将线段分割成比例，投影后仍成同比例。线段分割成比例，投影后仍成同比例。即具有即具有定比性（定比分割）。定比性（定比分割）。 AC/CB=ac/cb= ac / cb 若点的投影有一个不在直线的同面若点的投影有一个不在直线的同面投影上，投影上， 则该点必不在此直线上。则该点必不在此直线上。判别方法：判别方法：ABVHCbcac b a d d在在不在不在C点点 直线直线AB上上D点点 直线直线AB上上D（四）直线上的点（四）直线上的点退出退出例例2-12 2-12 ：判断点判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上

33、，上， 故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法是另一判断法是因因a k :k b ak:kb 故点故点K不在不在AB上。上。退出退出 已知点已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVO O退出退出（五）两直线的相对位置（五）两直线的相对位置 平行两直线平行两直线 相交两直线相交两直线 交叉两直线（异面）交叉两直线（异面） 退出退出1. 1. 两直线平行两直线平行 若空间两直线相互平行，它们的若空间两直线相互平行，它们的各同面投影也一定互相行各同面投影也一定互相行。

34、反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也反之，若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行互相平行 。 平行性平行性: 同面投影都相互平行同面投影都相互平行 平行平行 定比性（长度比、定比性（长度比、方向性方向性） 同面投影之比相等，同面投影之比相等， 并都等于空间线段之比。并都等于空间线段之比。dcbadcbacdabCDABABCDa b c dab cd a”b” c”d”退出退出abcda b c d 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。 对于对于一般位置直线一般位置直线，只要有两个同面投影互只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就

35、平行。平行。结论：结论：AB/CDX退出退出cbadd b a c b d c a 对于对于投影面平行线投影面平行线，只有，只有两个同面投影互相平行，空间两个同面投影互相平行，空间直线直线不一定不一定平行。若用两个投平行。若用两个投影判断，其中应影判断，其中应包括反映实长包括反映实长的投影。的投影。结论结论:AB:AB与与CDCD不平行不平行判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断如何判断退出退出HVXABCDabcda b c d abcdb a c d 2.2.两直线相交两直线相交判别方法：判别方法：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投

36、影必相则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。kk 交点是两直线交点是两直线的共有点的共有点k kK退出退出cabb a c d k kd过过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影退出退出3两直线交叉两直线交叉交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组平行；可能三组投影都相交，其各组同面投影交点的连线与相应的投平行；可能三组投影都相交，其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即影轴不垂直，即不符合点的投影规律不符合点的投影规律。

37、反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。 退出退出34d b a abcdc3 (4 )1(2 ) 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律。点的投影规律。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影，重影点的投影，用其可用其可帮助判断两直线的空间位帮助判断两直线的空间位置。置。、是是H面的重影点，面的重影点，、是是V面的重影点。面的重影点。1 2

38、 AB与与CD两直线相交吗两直线相交吗投影特性：投影特性：结论：结论：AB与与CD两直线不相交两直线不相交退出退出 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1退出退出例2-13直线AB、CD的投影如图所示，判断AB、CD的相对位置。退出退出退出退出（六）、直角投影定理（六）、直角投影定理一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直，一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直，但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：(1) (1) ABCDABCD(垂直交叉)o ox xaabcdbcd(2) (2) AB

39、BCABBC(垂直相交)o ox xa aa ab bc cb bc c退出退出o ox xa aa ab bc cb bc cd dd d证明证明:ABabCDdcQABCD如果两直线垂直如果两直线垂直(包含交叉垂直包含交叉垂直），其中一条直线），其中一条直线是某一投影面平行线时，两直线在该投影面上的投影垂是某一投影面平行线时，两直线在该投影面上的投影垂直。直。H退出退出判断下列几组直线是否垂直：判断下列几组直线是否垂直：aaccbbbaabccbacabcaabbddccaa(bbcdc)d退出退出例2-14：已知矩形ABCD中BC边的两投影bc和bc以及AB边的正面投影ab（abOX轴）

40、，求作长方形的两面投影 dad退出退出s a b a b s a b aa bb ss 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及线直线及线外一点外一点两平行直线两平行直线两相交直线两相交直线平面图形平面图形s a b s a b aa b bss c d aa b bss aa b bcc dd aa b bss 1 1、几何元素表示法、几何元素表示法（一）平面的表示方法（一）平面的表示方法 三、三、 平面的投影平面的投影退出退出 PV PW PH水平迹线水平迹线PH正面迹线正面迹线PV侧面迹线侧面迹线PW2 2、用迹线表示、用迹线表示new退出退出（二）、各种位置平面的投影特性（二

41、）、各种位置平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影反映实形投影反映实形 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面显实性显实性类似性类似性积聚性积聚性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性退出退出平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平

42、行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面平面对投影面的倾角平面对投影面的倾角：平面与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的：平面与水平投影面、正立投影面、侧立投影面的两面角，分别称为该平面对该投影面的倾角，分别用两面角，分别称为该平面对该投影面的倾角，分别用、表示。表示。退出退出VWHPPH 投影特性：投影特性：1、H面投影积聚成一条直线，面投影积聚成一条直线， 与与OX、 OY的夹角的夹角反映反映 、 ；2、V、W面投影为原形的类似形面投影为原形的类似形。ABCa

43、cbababbaccc2、投影面垂直面、投影面垂直面退出退出1、投影面垂直面、投影面垂直面 正垂面铅垂面侧垂面轴测投影图平面投影图应用举例退出退出VWHCABabcbacabccabbbaacc2 2、投影面平行面、投影面平行面退出退出投影面平行面投影面平行面 正平面水平面侧平面轴测投影图平面投影图应用举例退出退出投影特性投影特性 1 、投影均为投影均为 ABC的的类似形类似形，面积缩小面积缩小；2 、 不反映不反映 、 、 的真实角度的真实角度 。 abcbacababbaccbacCAB3 3、一般位置平面、一般位置平面退出退出铅垂面的迹线表示法 退出退出水平面的迹线表示法 退出退出一般位

44、置平面的迹线表示法退出退出PQBFECp 例：找出投影图中所标的平面、平面及、例：找出投影图中所标的平面、平面及、直线的三投影，并判断它们的空间位置。直线的三投影，并判断它们的空间位置。qqq pp平面为一般位置平面；平面为一般位置平面；平面为正平面。平面为正平面。直线为正平线；直线为正平线；直线为水平线。直线为水平线。实实形形实实长长退出退出 一、点、直线在平面内一、点、直线在平面内 二、二、不在平面内的直线与平面的相对位置不在平面内的直线与平面的相对位置 三、平面与平面的相对位置三、平面与平面的相对位置（一）、直线与平面平行（二）、直线与平面相交（三）、直线与平面垂直（一）、平面与平面平行

45、 （二）、平面与平面相交（三）、平面与平面垂直退出退出（一）、点在平面上（一）、点在平面上点在平面内的条件是：点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。点在该平面内的一条线上。 退出退出（二）、直线在平面上（二）、直线在平面上直线在平面内的条件是：直线在平面内的条件是：通过平面内的两点通过平面内的两点或或通过平通过平面内一点并平行于平面内的面内一点并平行于平面内的另一直线。另一直线。 (a) 通过平面内的两点通过平面内的两点 (b) 过平面内一点且平行过平面内一点且平行于平面内的一直线于平面内的一直线退出退出例2-15 已知平面ABC上点M的正面投影m ，求点M的水平投影m。 分析：分析：

46、作图：作图：利用点、线从属关系求出利用点、线从属关系求出M的水平投影的水平投影m。退出退出 例例2-162-16在平面在平面ABCABC内作一条距内作一条距H H面为面为20mm20mm的水平线的水平线 。n m nm20c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？退出退出（一）、直线与平面平行（一）、直线与平面平行直线与平面平直线与平面平行的几何条件是：行的几何条件是：直线平行于平面直线平行于平面内的一条直线内的一条直线。 线面平行问题就归结线面平行问题就归结为为: 面上取线面上取线和和线线线线平行平行的两问题的两问题. .二、不在平面内的直线与平面的相对位置二、不在平面内的直线

47、与平面的相对位置退出退出n a c b m abcmn例：过例：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？退出退出（二）、直线与平面相交（二）、直线与平面相交直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求直线与平面的求直线与平面的交点交点 判别直线的判别直线的可见性可见性 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。交点的性质：交点的性质：共有性、唯一性、分界性。共有性、唯一性、分界性。利用投影图及交点的利用投影图及

48、交点的唯一性、分界性唯一性、分界性利用交点的共有性利用交点的共有性退出退出分析：分析： 作图：作图： 判可见性：判可见性： 例求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 退出退出例2-18 求铅垂线MN与一般位置平面ABC的交点 分析：分析： 作图：作图： 判可见性：判可见性： 1（2）12退出退出（三）、直线与平面垂直（三）、直线与平面垂直一直线如果垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂一直线如果垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂直于该平面，且直线垂直于平面上的所有直线。直于该平面，且直线垂直于平面上的所有直线。对于垂直于特殊位置平面的直线一定为特殊位置直线。当直线垂直于投影面垂直面时，该直

49、线平行于平面所垂直的投影面。我们只讨论直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。我们只讨论直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。退出退出（一）、平面与平面平行（一）、平面与平面平行 若一平面上的若一平面上的两相交直线两相交直线对应平行于另一平面上的对应平行于另一平面上的两两相交直线相交直线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平相互平行，则它们行，则它们具有积聚性具有积聚性的那的那组投影必相互平行。组投影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdefABCA1B1C1PQ三、平面与平面的相对位置三、平面

50、与平面的相对位置退出退出过点A作平面ABC平行于平面DEF f d a e dfea b bOX c c过一点，作一平面的平行面只有一个过一点，作一平面的平行面只有一个退出退出（二）、平面与平面相交（二）、平面与平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特只讨论两

51、平面中至少有一个处于特殊位置的情况。殊位置的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。退出退出例2-19 求两正垂面ABC和DEF的交线 分析：分析： 作图：作图： 判可见性：判可见性： 交线应在交线应在两三角形的公两三角形的公共部分。共部分。能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能!退出退出例：求铅垂面和一般位置平面的交线 分析：分析： 作图：作图： 判可见性：判可见性： 退出退出（三）、平面与平面垂直（三）、平面与平面垂直如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面必垂直于该平面

52、。必垂直于该平面。 当两个互相垂直的平面同垂直于一个投影面时，两平面有积聚性的同面投影垂直，交线是该投影面的垂直线。 我们只讨论平面都处于特殊位置的情况。我们只讨论平面都处于特殊位置的情况。退出退出一、分析平面的形状一、分析平面的形状不是类似形，必有积聚性平面立体投影图平面立体投影图 退出退出分析图中各线框所代表的平面退出退出(1)(1)(2)(2)(3)(3)二、分析平面的相对位置二、分析平面的相对位置退出退出二、分析平面的相对位置二、分析平面的相对位置退出退出三、分析平面与平面的交线三、分析平面与平面的交线退出退出 换面法的基本投影规律换面法的基本投影规律 六个基本问题六个基本问题 应用举

53、例应用举例 退出退出问题的提出：解题复杂解题方便能转换吗？aabbcc三角形实形aabb 两点之间距离aabbccdd 直线与平面的交点距离实形abcdabcd 两平面夹角退出退出VHXABabab老投影体系V/H新投影面V1新投影体系V1/HX1新轴a1b1新投影一、变换原理解决方法：更换投影面 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。退出退出VHAB a babX新投影面的选择原则1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。平行于新的投影面平行于新的投影面垂直于新的投影面垂直于

54、新的投影面2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。V11b1aX1退出退出VHA aaaxX 更换一次投影面 旧投影体系 X VHA点的两个投影：a, aA点的两个投影：a, a1 新投影体系的建立点的投影变换规律X1V1a1ax1VHXV1HX1 aaa1axax1. 新投影体系HVX11 aa1 X1 a1ax1 = aax一般规律：退出退出XVHaaax更换H面(2) 求新投影的作图方法VHXV1HX1 由点的不变投影向新投影轴作垂线垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aaX1H1Va1axax1ax1更换V

55、面a1作图规律：.退出退出 更换两次投影面再把H面换成平面H2， H2 V1，得到新投影体系: X2 V1 H2 新投影体系的建立按次序更换AaVH aaxXX1V1a1ax1H2X2ax2a2X先把V面换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系:HVX11退出退出ax2 aaXVH 求新投影的作图方法a2X1HV1X2V1H2 作图规律 a2 a1 X2 轴 a2ax2 = aax1a1axax1.退出退出VHAB a babX二、换面法的六个基本问题1. 把一般位置直线变换成投影面平行线用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB/V1。X1HV1空间分析： 换H面行吗？不行！作图：例：求

56、直线AB的实长及与H面的夹角。 a babXVH新投影轴的位置？a1b1与ab平行。V1X1.a1b1退出退出2 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线作用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。X1VHXABababH1a1b1X1H1Va1 (b1)XVHabab退出退出a1b1VH aaXB bbA3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：a babXVHX1HV1V1H2X2作图：X1V1a1b1X2H2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a2b2ax2a2b2.与与a 1 b 1垂直垂直一次换面把直线变成投影面平行线；退出退出b1距离dd1X1HV1X2V1H2c2 d例：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。c c b aabXVH 如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。APBDCcabd作图: 求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c1a1a2b2d2过c1作线平行于x2轴。.如何确定d1点的位置？直线变换的应用举例退出退出 在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。 一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？ a