刚体定轴转动(2015)

1、第4章刚体的定轴转动 1. 1. 刚体的性质刚体的性质刚体是一种特殊的质点系。刚体是一种特殊的质点系。刚体中各质点的相对位置始终不变刚体中各质点的相对位置始终不变形变忽略不计形变忽略不计刚体运动的描述刚体运动的描述刚体的运动方式分为：平动、转动（绕定轴转动、绕定刚体的运动方式分为：平动、转动（绕定轴转动、绕定点转动）和滚动（平动转动）点转动）和滚动（平动转动）转动：转动：刚体上所有质点都绕同一点或直线（转轴）作圆周刚体上所有质点都绕同一点或直线（转轴）作圆周运动。运动。刚体的一般运动可以分解为：刚体的一般运动可以分解为：基点的平动基点的平动+绕基点的转动。绕基点的转动。平动：平动：1）自由刚体

2、的自由度为6，非自由刚体的自由度小于6。2）对称刚体的质心在对称轴上，非对称刚体可先设法分割为若干对称刚体，再找其质心位置。3）刚体内力作功为零。4）刚体内力矩为零。刚体运动的性质：由于刚体不形变的特点，使其具有下列力学特性：定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬时角加速度为 ，刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P 的大小 瞬时线速度瞬时切向加速度瞬时法向加速度这是定轴转动中线量线量与角量角量的基本关系zOirifiFitFi2.2.刚体定轴转动刚体定轴转动相对于某轴的力矩是改变质点相对于某轴的力矩是改变质点绕该轴转动的原因：绕该轴转动的原因：Fit ri +fit ri = miri2

3、 外力矩外力矩内力矩内力矩 miiiiiamfFfit转动定律转动定律对对 m mi i用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：iiiiiiirFrfrm a对所有质元的同样的式子求和：对所有质元的同样的式子求和：Fit ri +fit ri = miri2 一对内力的力矩之和为零，所以有一对内力的力矩之和为零，所以有: :Fit ri = （ miri2） 令令I miri2 ，I为刚体对为刚体对于转轴的于转轴的转动惯量转动惯量用用M表示表示Fit ri （合外力矩合外力矩）则有则有 M I fij mj mifjirorjriOiZ刚体所受的对于刚体所受的对于某一固定转动轴某一固定转动轴的的合外力

4、矩合外力矩等于刚体等于刚体对此转轴对此转轴的转动惯量与刚体的转动惯量与刚体在在此合外力矩此合外力矩作用下所获作用下所获得的角加速度的乘积。得的角加速度的乘积。几点说明：M I 与与 Fm a 地位相当地位相当2）1 1）刚体是特殊的质点组，所有质点组的规律均适用于刚体。）刚体是特殊的质点组，所有质点组的规律均适用于刚体。但由于刚体不形变的特点，在研究刚体转动问题时可借用角量但由于刚体不形变的特点，在研究刚体转动问题时可借用角量简化对运动的描述。简化对运动的描述。3 3） m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性， I反映刚体的转动惯性。与转动反映刚体的转动惯性。与转动惯量有关的因素为刚体的质量

5、分布和轴的位置。惯量有关的因素为刚体的质量分布和轴的位置。4 4） 借助转动惯量可讨论刚体定轴转动问题，计算转动惯量前，借助转动惯量可讨论刚体定轴转动问题，计算转动惯量前，必须先明确定轴的位置。必须先明确定轴的位置。2i iiImr若质量连续分布若质量连续分布2Ir dmdm为质量元，简称质元。其计算方法如下：为质量元，简称质元。其计算方法如下：dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别分别为质量的线密度、为质量的线密度、面密度和体密度。面密度和体密度。线分布线分布面分布面分布体分布体分布转动惯量的计算转动惯量的计算例

6、例1 1、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RdmO例例2 2、求质量为、求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。lORrdr例例3 3、求长为、求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX前例中前例中I I C C表示相对通过质心的轴的转动惯量，表示相对通过质心的轴的转动惯量， I I A A表示相对通过棒端的轴的转动惯量

7、。两轴平行，相表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距距L/2L/2。可见：可见：222211121243ACLIImmLmLmL推广上述结论：推广上述结论：若有任一轴与过质心的轴若有任一轴与过质心的轴平行，相距为平行，相距为d d，刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为I I，则有：则有：I I Cmd2。这个结论称为这个结论称为平行轴定理平行轴定理。1 1）平行轴定理）平行轴定理定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于平定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。量之和。zxyIIIxozyxydm2 2

8、）垂直轴定理）垂直轴定理几种常见刚体定轴转动的I右图所示刚体对经右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如的轴的转动惯量如何计算？何计算？( (棒长为棒长为L、圆半径为圆半径为R）例例4 4、一个质量为、半径为、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。和此时滑轮的角速度。mg类比法质点平动与刚体定轴转动m平动惯

9、性平动惯性I转动惯性转动惯性质点平动质点平动d角位移角位移dr位移位移速度速度角速度角速度角加速度角加速度a加速度加速度P动量动量L 角动量角动量刚体定轴转动刚体定轴转动运动学量的类比FMPmLI 212kEm212krEIdFAFrdmAM动力学量的类比质点平动质点平动刚体定轴转动刚体定轴转动类比法质点平动与刚体定轴转动力学规律的类比MI Fm addPFmtaddLMIt 2201122dAII2201122dAmm质点平动质点平动刚体定轴转动刚体定轴转动类比法质点平动与刚体定轴转动刚体的重力势能刚体的重力势能hhihcxOmCm一一个质元：个质元：iighm()iiPiiiiEm g h

10、gm h重p GcEm g h整个刚体：整个刚体：一个不太大的刚体（一个不太大的刚体（重心相对位置不变重心相对位置不变）的重力势能）的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。转动中的功和能转动中的功和能力矩的功力矩的功|cosrdFrdFdW力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。称为力矩的功。称为力矩的功。rdF cos MrFrFcoscosMddW xOrvFPdrd功的另一种表示方法功的另一种表示方法刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力

11、矩做功的效果来解释。功的效果来解释。iiiiiiKrmvmE22)(2121刚体上所有质元的动能之和为：刚体上所有质元的动能之和为：22221)(21Irmiii将定轴转动的转动定律两边乘以将定轴转动的转动定律两边乘以d d 再同时对再同时对 积积分有分有: :21222121II21dIdtdtdI21ddtdI21合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量刚体的转动动能的增量。12KKEEW上式即为：上式即为：这个结论称为定轴转动的动能定理。这个结论称为定轴转动的动能定理。转动动能之差转动动能之差21Md刚体的角动量、角动量

12、定理刚体的角动量、角动量定理1 1）刚体的角动量）刚体的角动量刚体上的一个质元刚体上的一个质元, ,绕固定轴做圆周运动角动量为绕固定轴做圆周运动角动量为：vmrPrL质点对点的角动量为：质点对点的角动量为：iiiiiimrvmrL2所以刚体绕此轴的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：IrmLLiiiii)(2刚体对固定转动轴的角动量刚体对固定转动轴的角动量L L, ,等于它对该轴的转动惯等于它对该轴的转动惯量量I I 和角速度和角速度 的乘积。的乘积。2 2）刚体的角动量定理）刚体的角动量定理dtLdM 质点的角动量定理为：质点的角动量定理为：A A：微分形式：微分形式：对质点组讨论对质点组讨

13、论:dtiLdiM内外iMiMiM ijijMiM内 jj iMiM外 iiMidtiLddtLdMiiMiM)( 内外iijijMM外 ZmjmifjirorjriOifijdtLdMM外 刚体是特殊的质点组刚体是特殊的质点组, ,在定轴转动中只考虑力矩和角在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴的分量，设转轴为动量平行于转轴的分量，设转轴为z z 轴轴, ,取角动量定取角动量定理沿理沿z z轴的分量式有轴的分量式有: :dtdLMzz外0 iijijM在定轴转动中，可用标量表示：在定轴转动中，可用标量表示：IdtdIIdtdLdtdM)(刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理的沿固定轴方向

14、的分量式的一种特殊形式。B:B:积分形式积分形式LLLdLMdttLL12021左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为的积累效果，称为冲量矩冲量矩；右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。刚体定轴转动中的守恒定律动量守恒动量守恒对于含有刚体的系统对于含有刚体的系统, ,如果在运动过程中所受合外力如果在运动过程中所受合外力为零为零, ,则此系统的动量为恒矢量。则此系统的动量为恒矢量。cPm 动量守恒的刚体，质心速度不变。动量守恒的刚体，质心速度不变。刚体定轴转动中的守恒定律机械能守恒机械能守恒对

15、于含有刚体的系统对于含有刚体的系统, ,如果在运动过程中只有保守内如果在运动过程中只有保守内力作功力作功, ,则此系统的机械能守恒。则此系统的机械能守恒。2211221122ccIm g hIm g h做定轴转动的刚体机械能包括绕定轴的转动动能做定轴转动的刚体机械能包括绕定轴的转动动能和势能。而刚体的总动能等于质心的平动动能与和势能。而刚体的总动能等于质心的平动动能与绕质心的转动动能之和。绕质心的转动动能之和。例例5 5、一个质量为、一个质量为、半径为、半径为的定的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一

16、端挂一质量为一质量为的物体而下垂。忽略轴处的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体摩擦，求物体由静止下落高度由静止下落高度时时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。例题另解例题另解刚体定轴转动中的守恒定律角动量守恒角动量守恒做定轴转动的刚体，如果在运动过程中相对于定轴做定轴转动的刚体，如果在运动过程中相对于定轴的合外力矩为零的合外力矩为零, ,则此系统相对该轴的角动量守恒。则此系统相对该轴的角动量守恒。ooLI质点组质点组L L不变的含义为：不变的含义为：刚体：I不变 非刚体：I不变M M=0=0的原因，可能的原因，可能F F0 0；r r=0;=0;Fr.Fr.在定轴转动中还有在定轴

17、转动中还有M0M0，但但它与轴平行，即它与轴平行，即M Mz z=0,=0,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。角动量依然守恒。例例1.1.如图所示如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端止悬于顶端长棒的下端, ,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求子弹求子弹穿出后棒的角速度穿出后棒的角速度 。已知棒长为。已知棒长为l, ,质量为质量为M. .3.刚体定轴转动的典型例题请问请问: :子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒吗? ?为为什么什么? ?总角动量守恒吗总角动量守恒吗

18、? ?若守恒若守恒, ,其方程其方程应如何写应如何写? ?v0vmMO解解: :以以f f代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹的阻力, ,对子弹有对子弹有: :0043)(mvvvmfdt子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：矩为：f ldtlf dtI因因, , 由两式得由两式得ff002394413mv lmvJM lIM l v0vmM例例2.2.如图所示桌面上有一均匀细杆，质量为如图所示桌面上有一均匀细杆，质量为m、长度、长度为为l，它与桌面之间的摩擦因数为，它与桌面之间的摩擦因数为 细杆以初始角速细杆以初始角速度度 0绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间绕垂直

19、于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动停止转动xdxxO变力矩的功解：以细杆为研究对象作受力分析，重力及桌面的支持力解：以细杆为研究对象作受力分析，重力及桌面的支持力对定对定轴轴不产生力矩，只考虑摩擦力矩不产生力矩，只考虑摩擦力矩/m l在杆上距离在杆上距离O点点x x处一长为处一长为d dx的质元，质量为的质元，质量为 xmdd细杆的质量密度为细杆的质量密度为 ddMmgx /2/2/201d2d4lllMMg x xmgl 001d04tmgl tI力矩为：力矩为：积分：积分：由角动量定理：由角动量定理：03ltg得：得：例例2 2、质量分别为、质量分别为M1、M2, ,半径分别为半

20、径分别为R1 、R2的两均匀的两均匀圆柱圆柱, ,可分别绕它们本身的轴转动可分别绕它们本身的轴转动, ,二轴平行。原来它二轴平行。原来它们沿同一转向分别以们沿同一转向分别以 1010， 2020的角速度匀速转动的角速度匀速转动, ,然后然后平移二轴使它们的边缘相接触平移二轴使它们的边缘相接触, ,如图所示如图所示. .求最后在接求最后在接触处无相对滑动时触处无相对滑动时, ,每个圆柱的角速度每个圆柱的角速度 1 1， 2 2。R2M2R1M1R1M1R2M22211RR二圆柱系统角动量守恒故有二圆柱系统角动量守恒故有对上述问题有以下的解法对上述问题有以下的解法: :在接触处无相对滑动时在接触处

21、无相对滑动时, ,二二圆柱边缘的线速度一样圆柱边缘的线速度一样, ,故有故有2211220110JJJJ2222211121,21RMJRMJ其中由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1 1， 2 2。这种解法对吗。这种解法对吗? ?正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反柱接触时摩擦力大小相等、方向相反, ,力矩和冲量矩的力矩和冲量矩的大小正比于半径大小正比于半径, ,方向相同方向相同: :)()(202222101111JfdtRfdtRJfdtRfdtR得消去,fdt)()(2022101121JJRR1

22、221RR从前已知由此可解得由此可解得: :)( )(21222211121222112221111MMRRMRMRJRJRJRJR )( )(21111122221222121112222MMRRMRMRJRJRJRJR 2222211121,21RMJRMJ其中例例3 3、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度，令它自静止状态，令它自静止状态下下垂垂, ,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度下端达到的高度h。解解: :碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆摆锤的速度为002ghv chchh=3h0/2bamlhol.令碰撞后直杆的角速度为令碰撞后直杆的角速度为 ，摆锤的速，摆锤的速度为度为v。由角动量守恒，有由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的: :0()m lvvI222011()22m vvI机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度为