第六节稳定裕度

1、Tuesday, December 14, 20211第六节 稳定裕度Tuesday, December 14, 20212稳定裕度的概念使用稳定裕度概念综合系统本节主要内容：Tuesday, December 14, 20213 当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： 。对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。gccgA,180)(, 1)()(gA)(c1cg)(c)(gAcg)()(L)(ggL定义： 和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。)(1ggAk)(180c在对数坐标图上，用 表

2、示 的分贝值。即gLgk)(log20log20gggAkLTuesday, December 14, 20214显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统， 和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。0gL1)(gA00gL0幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定。gkgLgLgk比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系

3、统的不稳定。相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。cTuesday, December 14, 20215例设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。)5)(1(sssk-)(sR)(sC解：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。dB821当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.Tuesday, December 14, 20216相位裕度和幅值裕度的计算： 相位裕度：先求穿越频率c

4、)10(04. 0112| 12 . 0| 1|2 . 0)(22时当 kssskA在穿越频率处， ，所以 ，解此方程较困难，可采用近似解法。由于 较小（小于2），所以：1)(A4)04. 01)(1 (222c25. 1, 112)(2cA解得：穿越频率处的相角为：38.1552 . 090)(11ccctgtg相角裕度为：6 .2438.155180)(180cTuesday, December 14, 20217 幅值裕度：先求相角穿越频率g相角穿越频率处 的相角为：1802 . 090)(11gggtgtgg902 . 011ggtgtg即：由三角函数关系得：24. 2, 12 . 0

5、ggg解得：33216. 004. 0112)(22ggggA所以，幅值裕度为：)(6 . 9)(log20dBALggTuesday, December 14, 20218dB1230当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。Tuesday, December 14, 20219例某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-4k1025. 02s) 11 . 0(5 . 2ss)(

6、sR)(sC解：当k=10时，开环传递函数为：) 11 . 0)(1025. 0(200)(ssssGk手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至 ；2、在 之间画斜率为-40的斜线；3、 后画斜率为-60的斜线。10401040Tuesday, December 14, 202110210210150150cg c c上图蓝线为原始波德图。 ，显然 闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？ 38,180210)(cccTuesday,

7、December 14, 20211115030180)(c ，从图中看出： 。所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:10cdBAALcg22)10(log20)(log20所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 ，所以20g)(10| )20(log20| )(log201515dBAALgkkg设新的开环放大系数为 ，原始的开环放大系数为k=200，则有 （讨论 时较明显）。解得：1log20log2022kk 1151k1kTuesday, December 14, 202112稳定裕度的定义稳定裕度的定义的的几何意义几何意义,gk

8、c剪切频率剪切频率 相角裕度相角裕度)(180cjG 1)( cjGg相位交界频率相位交界频率gk幅值裕度幅值裕度1()ggkG j 180)(gjG的的物理意义物理意义,gk系统在系统在 方面的稳定储备量方面的稳定储备量 gk幅值幅值相角相角一般要求一般要求 40 2gk Tuesday, December 14, 202113稳定裕度的计算稳定裕度的计算)(180cjG 解法解法I I：由幅相曲线求：由幅相曲线求,gk。例例3)10)(2(100)110)(12(5)( sssssssG，求，求,gk。(1)(1)令令1)( cjG2222102100 ccc 1000400104242

9、ccc 9 . 2 c 试根得试根得)9 . 2(180 109 . 2arctan29 . 2arctan90180 5 .181 .164 .5590Tuesday, December 14, 2021141()ggkG j(2.1)令令 180)(g 10arctan2arctan90gg 90tan2011022ggg 可得可得 9010arctan2arctangg 202 g 47. 4 g )dB6 . 7(4 . 210010247. 42222 gggg Tuesday, December 14, 2021151()ggkG j(2.2)将将G(j )分解为实部、虚部形式分解

10、为实部、虚部形式)10)(2(100)( jjjjG 令令0)(Im YGjG )100)(4()20(1001200222 jYXjGG 47. 420 g 得得4167. 0)( gXG 代入实部代入实部4 . 24167. 01 4167. 0)( gG Tuesday, December 14, 2021161( 4.47)gkG j)110)(12(5)( ssssG由由L L(w):(w):1)( cjG 16. 310 c 得得4 . 24167. 01 解法解法II II：由：由BodeBode图图求求,gk。210125ccc )(180cjG )16. 3(180 1016

11、. 3arctan216. 3arctan90180 8 .14541.1767.57909 . 2 5 .1847. 4102 g Tuesday, December 14, 202117)(180cjG 解解. .作作L L(w)(w)求求c 5 .128 . 4arctan58 . 4arctan28 . 4arctan905 . 28 . 4arctan180 3 .20218 .434 .67905 .62180例例4 4，求，求,gk。)15 .12)(15)(12()15 . 2(6)( ssssssG1)( cjG 8 . 45 . 226 c cccc 5 . 2261125

12、 . 26 Tuesday, December 14, 2021181()ggkG j求求 g g 905 . 2215 . 22arctan55 .12155 .12arctan22gggggg 整理得整理得135. 35 . 23005 .125222222222 ggggg 1805 .12arctan5arctan2arctan905 . 2arctan)(ggggg 905 . 2arctan2arctan5arctan5 .12arctangggg 901arctanBABA 1 BA05 .31275.4924 gg 解出解出) s/rad(4 . 7 g Tuesday, December 14, 202119稳定裕度的稳定裕度的概念概念( (开环频率指标开环频率指标) )稳定裕量的稳定裕量的定义定义稳定裕度稳定裕度计算方法计算方法的几何意义的几何意义,gkc剪切频率剪切频率 相位裕量相位裕量)(180cjG 1)( cjGg相位交接频率相位交接频率gk幅值裕量幅值裕量1()ggkG j 180)(gjG的物理意义的物理意义,gk稳定裕量的稳定裕量的意义意义)(180)