现代控制理论课件2

1、控制系统的状态空间分析与综合2v矩阵不满秩，该系统不可控。v弹簧和木块，因为在整个系统中弹簧和木块可以储存系统的总机械能，其中木块表现为动能，弹簧表现为势能，而阻尼器则把系统的能量转化为别的能量，如热能耗散，所以阻尼器不是储能元件 3第一章第一章 控制系统的状态空间控制系统的状态空间表达式表达式（数学模型）（数学模型）41.1 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式一、状态一、状态 表征系统运动的信息和行为。表征系统运动的信息和行为。二、状态变量二、状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。变量为状态变量。5注意

2、：注意：1、n阶系统有阶系统有n个独立变量。个独立变量。2、状态变量的个数取决于系统中独立储能元、状态变量的个数取决于系统中独立储能元 件的个数。件的个数。3、同一个系统，究竟选取哪些变量作为独立、同一个系统，究竟选取哪些变量作为独立变量，不是唯一的，重要的是这些变量应该变量，不是唯一的，重要的是这些变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方程的是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数。阶数。6三、状态向量 把n个状态变量 看作为向量 的分量，则 就称为状态向量。记作：)()()(21txtxtxn、)(tx)(tx)(,),(),()()()()()(2121txtxtxtxtxtxtxt

3、xnTn或7四、状态空间 以状态变量以状态变量 为坐标轴所构成的为坐标轴所构成的n n维空间，称为状态空间。维空间，称为状态空间。五、状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。称为系统的状态方程。nxxx、218 例如：通过例如：通过R-L-C网络说明如何用状态变网络说明如何用状态变量描述系统。量描述系统。 以以 作为系统的两个状态变量，易写作为系统的两个状态变量，易写出含有状态变量的一阶微分方程组：出含有状态变量的一阶微分方程组： iuc、uuRidtdiLidtduccc9六、输出方程 在指定系统输出的情况下，该输出与状态在指定系

4、统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。程。七、状态空间表达式 状态方程和输出方程总合起来，构成对一状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述，成为系统的状态个系统完整的动态描述，成为系统的状态空间表达式。空间表达式。10状态变量的选取：状态变量的选取：1、同一系统可以取不同的状态变量；、同一系统可以取不同的状态变量；2、状态变量的选取是非唯一的；、状态变量的选取是非唯一的；3、系统状态变量的数目是唯一的。、系统状态变量的数目是唯一的。11单输入单输出定常系统： 为：则状态方程的一般形式其状态变量为：,21nxxxu

5、bxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111nnxcxcxcy221112单输入单输出定常系统： 其中：态空间表达式为：用向量矩阵表示时的状xCybuAxxT维状态向量； nxxxxn2113单输入单输出定常系统：其中：态空间表达式为：用向量矩阵表示时的状xCybuAxxT方阵；为称为系统矩阵系统内部状态的联系，nn,aaaaaaaaaAnn2n1nn22221n1121114单输入单输出定常系统： 其中：态空间表达式为：用向量矩阵表示时的状xCybuAxxT的列阵；或控制矩阵，这里为为输入矩阵输入对状态的作用，称121

6、nbbbbn15多输入多输出定常系统：r个输入、m个输出 为：则状态方程的一般形式其状态变量为：,21nxxxrnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax2211221122221212222121212121111212111116多输入多输出定常系统：r个输入、m个输出rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcy2211221122221212222121212121111212111117多输入多输出定常系统： 其中：态空间表达式为：用向量矩阵表

7、示时的状DuCxyBuAxx维状态向量； nxxxxn2118多输入多输出定常系统： 其中：态空间表达式为：用向量矩阵表示时的状DuCxyBuAxx方阵；为称为系统矩阵系统内部状态的联系，nnaaaaaaaaaAnnnnnn,21222211121119多输入多输出定常系统： 其中：态空间表达式为：用向量矩阵表示时的状DuCxyBuAxx维输入向量 ruuuur2120多输入多输出定常系统： 其中：态空间表达式为：用向量矩阵表示时的状DuCxyBuAxx维输出向量 myyyym2121多输入多输出定常系统： 其中：态空间表达式为：用向量矩阵表示时的状DuCxyBuAxx输入（或控制）矩阵；为r

8、nbbbbbbbbbBnrnnrr21222211121122多输入多输出定常系统： 其中：态空间表达式为：用向量矩阵表示时的状DuCxyBuAxx输出矩阵；为nmcccccccccCmnmmnn21222211121123多输入多输出定常系统： 其中：态空间表达式为：用向量矩阵表示时的状DuCxyBuAxx直接传递矩阵；为rmdddddddddDmrmmrr21222211121124v八、状态空间表达式的系统方块图xCybuAxxTDuCxyBuAxx25bTCAx xuyBCDAx xuyxCybuAxxTDuCxyBuAxx261-2 状态空间表达式的模拟结构图v基本元件 K)(tx)

9、(tx)(1tx)(2tx)(3txxKxa积分器 b加法器 c比例器 27模拟结构图的绘制步骤：v积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。28例例1:1:设一阶系统状态方程为设一阶系统状态方程为 则其状态图为则其状态图为:x ax bu291223312313632xxxxxxxxuyxx 例例2 2 设三阶系统状态空间表达式为设三阶系统状态空间表达式为30则其状态图为则其状态图为311-3 状态空间表达式的建立（一）v三个途径：1、系统方块图2、物理

10、或化学机理3、从微分方程或传递函数得到32一、从系统方块图出发建立状态空间表达式一、从系统方块图出发建立状态空间表达式v方法：方法： 将系统方块图中的各个环节变换成模拟结构将系统方块图中的各个环节变换成模拟结构图，并把每个积分器的输出作为一个状态变图，并把每个积分器的输出作为一个状态变量量 , 其输入便是相应的其输入便是相应的 ，然后，由模拟，然后，由模拟图直接写出系统的状态方程和输出方程。图直接写出系统的状态方程和输出方程。ixix 33例例1：系统框图如图所示，输入为：系统框图如图所示，输入为u，输出为，输出为y。试求其状态空间表达式。试求其状态空间表达式。3435312322232214

11、1313111111KxxTKxxxTTK KKxxxuTTTyx 36写成矩阵形式，系统的状态空间表达式为：写成矩阵形式，系统的状态空间表达式为：xyuTKxTTKKTKTTKx001001010001111412223337 2.已知系统结构图如图所示已知系统结构图如图所示,其状态变量为其状态变量为 。 试求动态方程，并画出状态变量图。试求动态方程，并画出状态变量图。 321x,x,x u2x3x2xu2x3x2sx3s2xuxxxxsxsxxx2x2xxx2x2sxxs)1s ( s2xxx21221212313113321132112321 即即即即即即解：由结构图可得解：由结构图可得

12、:381122331123001023020230100 xxxxuxxxyxxx 由上述三式，可列动态方程如下：由上述三式，可列动态方程如下：状态变量图如下：状态变量图如下：39二、从系统的机理出发建立状态空间表达式二、从系统的机理出发建立状态空间表达式例1、求图示机械系统的状态空间表达式外力 位移 Ku(t)my(t)b)(tuymybky牛顿力学定律yx 1 yx2令-弹性系数阻尼系数myubyky4021xx )(12tumymbymkyx)(121tumxmbxmk1xy 动态方程如下41状态空间表达式为： 21xxmbmk1021xxum102101xxy42例：设有如图所示的机例

13、：设有如图所示的机械系统。它由两个彼械系统。它由两个彼此耦合的平台构成。此耦合的平台构成。并借助于弹簧和阻尼并借助于弹簧和阻尼到达地基。试选择合到达地基。试选择合适的状态变量，写出适的状态变量，写出该系统的状态空间模该系统的状态空间模型。型。43v解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：11122112211122112222M y =u-k (y -y )-f (y -y )M y =k (y -y )+f (y -y )-k y -f y令令1 12 21 11 12 23 32 24 4x x = =y yx x = =y yx x

14、 = =y yx x = =y y121111212341111134111212412342222x = xkfkf1x =-x -x +x +x +uMMMMMx = xkfk +kf +fx =x +x -x -xMMMM44解：以解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程作为中间变量，列写该回路的微分方程 选选 )(tidiLdt)(tuc)(tu)(tucc1idtRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出Rii1x2xidtc1C例例3、求图示、求图示RLC回路的状态空间表达式回路的状态空间表达式45 为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵向量的形式为： 1x2xdtd

15、iLR1xL12x)(tuL1c11xy2x)(tuc1x2xLRL1c101x2xL10)(tu46令 为状态向量则：y1x2x101x2xxTxLRL1c10 xL10)(tuy10 x474.有电路如图所示，设输入为有电路如图所示，设输入为 ，输出为，输出为 ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。解解 ：此题可采用机理分析法，：此题可采用机理分析法，首先根据电路定律列写微分首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得式。也可以先由电路图求得系统传

16、递函数，再由传递函系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。数求得系统状态空间表达式。这里采用机理分析法。这里采用机理分析法。 1u2u48 设 C1两端电压为uc1，C2两端的电压为uc2，则212221cccduuCRuudt112121cccduuduCCdtRdt11cxu22cxu1121121121212111cccduRR CuuudtR R CR CR C 2121222222111cccduuuudtR CR CR C 选择状态变量为：选择状态变量为：状态空间表达式为：状态空间表达式为：4912111211212121212122222221111111RR Cxxx

17、uR R CR CR CxxxuR CR CR Cyuux 12121121211112222222211111RR CR CR R CR CxxuxxR CR CR C11210 xyux 50v已知系统结构图如图所示已知系统结构图如图所示,其状态变量为其状态变量为x1 , x2。试求动态方程，并画出状态变量图。试求动态方程，并画出状态变量图。-2 -1010-2 -1010X = 1-1 -1 X+ -1 1 UX = 1-1 -1 X+ -1 1 U0-1 -2000-1 -2001100011000Y =X+UY =X+U-1 -1 110-1 -1 110 1 1-23-23X =X+UX =X+U1 11010Y = 1 0 XY = 1 0 X51例：如图所示系统由例：如图所示系统由3个环节个环节A、B、C组成，组成，它们各自对不同输入它们各自对不同输