随机变量及其分布第2讲实用教案

1、回顾：1）分布函数的定义(dngy)，几何意义2）0-1分布，均匀分布，泊松分布用于什么情形，分布律表达如何，如何简写？1第1页/共60页第一页，共60页。2例2 一个靶子是半径为2米的圆盘, 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离(jl). 试求随机变量X的分布函数.402xxXP解 若x0, 则Xx是不可能事件, 于是 F(x)=PXx=0.若0 x2, 由题意, P0Xx=kx2, k是某一常数, 为了(wi le)确定k的值, 取x=2, 有P0X2=22k. 但已知P0X2=1, 故得k=1/4, 即第2页/共60页第

2、二页，共60页。3于是(ysh).2, 1,20,4/,0,0)(2xxxxxF 若x 2, 由题意X x是必然事件, 于是(ysh)F (x )=P Xx =1. 综上所述, 即得X 的分布函数为.400)(2xxXPXPxXPxF第3页/共60页第三页，共60页。4它的图形是一条(y tio)连续曲线如图所示.2, 1,20,4/,0,0)(2xxxxxFx1231/21OF(x)第4页/共60页第四页，共60页。5另外, 容易看到本例中的分布函数(hnsh)F (x )对于任意 x 可以写成形式,d)()(xttfxF.,0,20,2)(其它tttf 这就是说, F (x)是非负函数f

3、(t )在区间(-,x)上的积分, 在这种情况下我们(w men)称 X 为连续型随机变量.其中(qzhng)第5页/共60页第五页，共60页。64 连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度第6页/共60页第六页，共60页。7如果对于随机变量X的分布函数(hnsh)F (x ), 存在非负函数(hnsh)f (x ), 使对于任意实数x 有)1.4(d)()(xttfxF 则称 X 为连续型随机变量, 其中函数f (x) 称为X 的概率密度函数, 简称概率密度. 连续型随机变量的分布函数是连续函数. 在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量. 本课程(kchng)只讨论这

4、两种随机变量.第7页/共60页第七页，共60页。8由定义(dngy)知道, 概率密度f (x)具有以下性质:).()(,)(,4.d)()()()(),( , 3.1d)(,2.0)(, 12112212121xfxFxxfxxfxFxFxXxPxxxxxxfxfxx则有连续在点若对于任意实数第8页/共60页第八页，共60页。9由性质2知道(zh do)介于曲线y =f (x)与Ox 轴之间的面积等于1. 由性质3知道(zh do)X 落在区间 (x1,x2 的概率 P x1Xx2等于区间(x1,x2上的曲线y =f (x)之下的曲边梯形面积.Oxf(x)1Oxf(x)x1x21第9页/共60

5、页第九页，共60页。课堂练习：10(1)已已知，一个连续型随机变量的概率密度函数为f(x),则其分布函数为：_(2)知一个连续型的随机变量的分布函数为F(x),其概率密度函数在x点上连续，则f(x)=_ (请用F(x)的函数表达来表示)(3) 连续型随机变量落在区间a,b的概率在几何上的意义为：（请作简图表示）(4) 思考：f(a)的直观含义是什么呢？(5) 在连续型中 P(X=a)=0，a为任意(rny)常数，怎么理解这一点？第10页/共60页第十页，共60页。11由性质(xngzh)4在f (x )的连续点x 处有)2 . 4(.)(lim)()(lim)(00 xxxXxPxxFxxFx

6、fxx 看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似, 这就是为什么称f(x)为概率密度的原因(yunyn). 由(4.2)式知道, 若不计高阶无穷小, 有P (x 0, 则由X=a a -Dx X a得0P X=a P a -Dx X a=F (a)- F (a-Dx).在上述不等式中令Dx0, 并注意(zh y)到X为连续型随机变量, 其分布函数F (x )是连续的, 即得P X=a =0.(4.4)4841)1(27271)3(FFXP第16页/共60页第十六页，共60页。17因此, 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时, 可以(ky)不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间.

7、例如有 P a X b =P a X b=P a Xb .在这里, 事件X=a并非不可能事件, 但有PX=a=0. 这就是说, 若A是不可能事件, 则有P(A)=0; 反之, 若P(A)=0, 并不一定意味着A是不可能事件.以后当提到一个随机变量X的概率分布时, 指的是它的分布函数(hnsh); 或者, 当X是连续型时指的是它的概率密度, 当X是离散型是指的是它的分布律.第17页/共60页第十七页，共60页。18介绍三种(sn zhn)重要的连续型随机变量第18页/共60页第十八页，共60页。19课堂练习：如果一个(y )随机变量的概率密度函数为,( )0,caxbf x其它 试确定(qudn

8、g)常数c第19页/共60页第十九页，共60页。20(一)均匀分布 设连续型随机变量(su j bin lin)X具有概率密度)5 . 4(, 0,1)(其它bxaabxf 则称X在区间(q jin)(a,b)上服从均匀分布, 记为XU(a,b).第20页/共60页第二十页，共60页。21如果X U (a ,b), 则它落在(a,b)中任意子区间内的概率(gil)只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关. 事实上，任给长度为 l 的子区间 (c, c +l ) , a c c +l b, 有.d1d)(ablxabxxflcXcPlcclcc这一点也可以从其概率密度函数，以及(yj)概率的几何

9、含义结合起来理解第21页/共60页第二十一页，共60页。22由(4.1)式得X的分布函数为（请同学(tng xu)们自行求解，在此略）)6 . 4(., 1, 0)(bxbxaabaxaxxFOab1F(x)x第22页/共60页第二十二页，共60页。23例2 设电阻值R是一个(y )随机变量, 均匀分布在9001100. 求R的概率密度及R落在9501050的概率.解 按题意, R的概率密度为5 . 0d20011050950., 0,1100900,90011001)(1050950rRPrrf故有其它试求P800R0为常数, 则称X服从参数为q的指数分布. 容易(rngy)得到X的分布函数

10、为)8 . 4(., 0, 0,e1)(/其它xxFx22e,0,( )0,xxf x其它课堂练习： 服从(fcng)参数为_ 的指数分布第24页/共60页第二十四页，共60页。25f (x)的图形(txng):Oxf(x)123123=1/3=1=2第25页/共60页第二十五页，共60页。26如X 服从(fcng)指数分布, 则任给s,t 0, 有 PXs+t | X s=PX t(4.9)事实上.eee)(1)(1)()(|/)(tXPsFtsFsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPtsts 性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队(pi du)论中有广泛的运用. 简

11、单介绍在计算机科学中的排队(pi du)论第26页/共60页第二十六页，共60页。两个描述首事件发生(fshng)的分布 指数分布：在一个无记忆的连续时间随机过程中直到首事件出现的时间模型(mxng)（也是唯一无记忆性的连续分布） 几何分布：唯一无记忆的离散型分布，一系列独立的伯努利试验中直到首次成功的次数(csh)模型27第27页/共60页第二十七页，共60页。28(三)正态分布 设连续型随机变量(su j bin lin)X 的概率密度为)10. 4(,e21)(222)(xxfx 其中m, s (s 0)为常数(chngsh), 则称X 服从参数为m,s 的正态分布或高斯(Gauss)分

12、布, 记为X N (m,s2).第28页/共60页第二十八页，共60页。29f (x)具有的性质:1, 曲线关于(guny)x=m对称. 这表明对于任意h 0有 P m -h X m =P m X m +h .2, 当x =m 时取到最大值.21)(fX 离m 越远, f (x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间(q jin), 当区间(q jin)离 m 越远, X 落在这个区间(q jin)上的概率越小.在x = m s 处曲线有拐点. 曲线以Ox 轴为渐近线.第29页/共60页第二十九页，共60页。30练习(linx)：如X N (m,s2),如图1所示Oxf(x)图2图3图1222(

13、+1)2(1)21( )e21( )e2xxf xf x则 的图约为（图2，图3中选1个）的对称轴为：_第30页/共60页第三十页，共60页。31xOf(x)图3图1图2第31页/共60页第三十一页，共60页。32由(4.10)式得X 的分布(fnb)函数为)12. 4(,de21)(222)(xttxF1F(x)0.5xO第32页/共60页第三十二页，共60页。33练习：标准正态分布指的是：m=_, s =_时的正态分布. 其概率密度函数的表达式为：_，通常简写(jinxi)为_;其分布函数的表达式为：_，通常简写(jinxi)为_.第33页/共60页第三十三页，共60页。34特别, 当m=

14、0, s = 1时称X 服从标准正态分布(fnb). 其概率密度和分布(fnb)函数分别用j (x)和F (x)表示, 即有)14.4(.de21)()13.4(,21)(2/2/22xtxtxex 易知F (-x )=1-F(x)(4.15) (上式很常用) 人们(rn men)已经编制了F(x)的函数表, 可供查用(见附表2,P382). 要懂得自己查表哦！ 如： F (0 )=？，F(0.3)=？ F (-0.5 )=？ F(9)=？ F(-8)=？第34页/共60页第三十四页，共60页。352,(0,1)XXNZN 引理若则得令,de21222)(uttxXPxXPxZPxt),(de

15、212/2xuxZPxu证的分布函数为XZ由此知ZN(0,1).此证明作了解即可，但是(dnsh)结论很重要第35页/共60页第三十五页，共60页。36若X N (m, s2 ), 则它的分布(fnb)函数F (x )可写成:)16.4(.)(xxXPxXPxF)17. 4(.122121xxxXxPxXxP 则对于任意(rny)区间(x1,x2, 有第36页/共60页第三十六页，共60页。37例如(lr)，设XN(1,4)，查表得.3094. 06915. 016179. 0)5 . 0(1 6179. 0)5 . 0()3 . 0(210216 . 16 . 10XP关键：普通(ptng)

16、标准正态分布懂得向标准正态分布靠拢，以及F(-x)=1-F(x)第37页/共60页第三十七页，共60页。38设XN (m,s2), 由F (x) 的函数表还能得到:P m -s X m +s =F (1)-F (-1) =2F (1)-1 = 68.26%P m-2s X m+2s =F (2)-F (-2)=95.44%P m-3s X z a =a,0a1,(4.18)则称点 z a 为标准(biozhn)正态分布的上a 分位点.由 j (x) 的对称性知 z1-a= -z azaa第42页/共60页第四十二页，共60页。43作业(zuy) 第二章习题 第57页开始 第20,24 题补充题

17、某企业准备通过招聘(zhopn)考试招收300名职工,其中正式工280人,临时工20人;报考的人数是1657人,考试满分是400分.考试后得知,考试总平均成绩,即u=166分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,问他能否被录取?能否被聘为正式工?第43页/共60页第四十三页，共60页。445 随机变量(su j bin lin)的函数的分布第44页/共60页第四十四页，共60页。45在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如, 在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量圆轴的直径d, 而关系(gun x

18、)的却是截面积A=pd2/4. 这里, 随机变量A是随机变量d的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数 Y=g (X), (g ()是已知的连续函数)的概率分布.第45页/共60页第四十五页，共60页。46例1 设随机变量X具有(jyu)以下的分布律, 试求Y=(X-1)2的分布律. 解 Y所有(suyu)可能值为0,1,4, 由 PY=0=P(X-1)2=0=PX=1=0.1, PY=1=PX=0+PX=2=0.7, PY=4=PX=-1=0.2,第46页/共60页第四十六页，共60页。47例2 设随机变量(su j bin lin)X具有概率密度., 0, 40,8

19、)(其它xxxfX.282882)(yFyXPyXPyYPyFXY 求变量Y=2X+8的概率密度. 解 分别记X,Y的分布(fnb)函数为FX(x),FY(y). 下面先来求FY(y).第47页/共60页第四十七页，共60页。48将FY(y)关于(guny)y求导数, 得Y=2X+8的概率密度为., 0,168,328, 0, 4280,2128812828)(其它其它yyyyyyfyfXY.28)(yFyFXY第48页/共60页第四十八页，共60页。49例3 设随机变量X具有概率密度 fX (x ), -x0时有).()()(2yFyFyXyPyXPyYPyFXXY第49页/共60页第四十九

20、页，共60页。50将FY(y)关于(guny)y求导数, 即得Y的概率密度为.0,0,0),()(21)(yyyfyfyyfXXY).()()(yFyFyFXXY(5.1)第50页/共60页第五十页，共60页。51例如(lr): 设XN (0,1), 其概率密度为xxx,e21)(2/2.0,0,0,e21)(2/2/1yyyyfyY 则Y=X 2的概率密度为. 0, 0, 0),()(21)(yyyfyfyyfXXY此时(c sh)称Y服从自由度为1的c2分布.第51页/共60页第五十一页，共60页。52定理 设随机变量X具有概率密度f X (x), -x 0 (或恒有g (x)0. 此时g

21、 (x)在(-, )严格(yng)单调增加, 它的反函数 h (y )存在, 且在(a, b) 严格(yng)单调增加, 可导. 分别记 X,Y 的分布函数为FX ( x ),F Y (y). 因Y 在(a ,b) 取值, 故当y a 时, FY(y)=P Y y =0; 当y b 时, FY (y )=P Y y =1. 当ay b 时,FY (y )=P Y y =P g (X ) y =P X h (y) =FX h ( y ).第53页/共60页第五十三页，共60页。54FY(y)=FX h (y ) .将FY (y)关于(guny)y求导数, 即得Y 的概率密度)3.5(.,0,),()()(其它ayyhyhfyfXY