大学物理II----静电场习题-2015525

1、1大学物理大学物理静电学部分静电学部分2015.5.182基本概念基本概念 1.电场强度：电场强度：电场中某点电场强度在数值上等于单电场中某点电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受力位正电荷在该点受力/EF q点电荷的场强：点电荷的场强：204rqEer电荷组的场强：电荷组的场强：21014niriiiqEer连续分布电荷的场强：连续分布电荷的场强：201d4rqEer场源电荷连续分布：204rdqdEer204rdqEdEer1)电荷线分布.dxdq电荷的线密度,线元2)电荷面分布.dsdq电荷的面密度,面元3)电荷体分布.dqdV电荷的体密度,体积元21014niriiiqEer2014q

2、Err场源为点电荷：场源为点电荷系：dxdsdV42.电势：电势： 电场中某点的电势在数值上等于将单位电场中某点的电势在数值上等于将单位 正电荷由该点移动到电势零点时电场力正电荷由该点移动到电势零点时电场力 所做的功所做的功(0)0dPppWUElq点电荷的电势：点电荷的电势：04qUr电荷组的电势：电荷组的电势：1014niiiqUr连续分布电荷的电势：连续分布电荷的电势：01d4qUr电场强度与电势的关系电场强度与电势的关系EU 注重典型场 注重叠加原理 rQUrrQE02044rE0202E无限长柱面？63.电势差：电势差：电场中电场中a、b两点的电势差，在数值上两点的电势差，在数值上

3、等于单位正电荷从等于单位正电荷从a点移到点移到b点时，电点时，电 场力做的功。场力做的功。dbababaUUUEl4.电势能：电势能：电荷电荷q在电场中某点的电势能，在数在电场中某点的电势能，在数 值上等于把电荷值上等于把电荷q从该点移到电势零从该点移到电势零 点时，电场力所做的功。点时，电场力所做的功。(0)daaaWqElqU一、一、 真空中的静电场真空中的静电场基本规律基本规律 iEEqFE0/库仑定律库仑定律还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。0dd0SLqEsEl高斯定理：静电场的环路定理：0 () PUd点电势：PPPEl1. 线索线索82. 求静电

4、场的方法：求静电场的方法：(1)求求E场强叠加法场强叠加法高斯定理法高斯定理法电势梯度法电势梯度法补偿法补偿法SqsE0d内VgradE9 叠加法：叠加法：场强积分法：场强积分法：(2)求求U （零点要同）（零点要同）； UUii 。）（ 04d0UVqrq分段，积分也要分段）分段，积分也要分段）（ E d)()(0UPPplE （3）电势、电势差的计算 1).方法一：场强积分法(由定义)步骤：(1)先算场强(2)选择合适的路径L(3)分段积分(计算) 2).方法二：电势叠加法步骤： (1)把带电体 分为无限多电荷元dq(2)由dq dU (3)由dU U = dU 113. 几种典型电荷分布

5、的几种典型电荷分布的EV和 点电荷（？）点电荷（？） 均匀带电球面（？）均匀带电球面（？） 均匀带电球体（？）均匀带电球体（？） 均匀带电无限长直线（？）均匀带电无限长直线（？） 均匀带电无限大平面（？）均匀带电无限大平面（？） 均匀带电细圆环轴线上一点（？）均匀带电细圆环轴线上一点（？） 无限长均匀带电圆柱面（？）无限长均匀带电圆柱面（？）14均匀带电球面：均匀带电球面：200()1()4rRQErRr均匀带电球体：均匀带电球体：30201()41()4QrErRRQErRr无限长均匀带电直线：无限长均匀带电直线：012Er001()41()4QUrRRQUrRr15均匀带电半径为均匀带电半

6、径为R的细的细圆环轴线上一点：圆环轴线上一点：223/2014()QxExR无限长均匀带电平面两侧：无限长均匀带电平面两侧：02E电偶极子轴线延长线上一点电偶极子轴线延长线上一点:(距电偶极子中心距电偶极子中心x)30124pEx电偶极子中垂线上一点电偶极子中垂线上一点:(距电偶极子中心距离距电偶极子中心距离y)3014pEy 22 1/2014()QUxR16静电平衡静电平衡-导体内部和表面无电荷定向移动导体内部和表面无电荷定向移动静电平衡时静电平衡时, ,导体表面场强垂直表面导体表面场强垂直表面导体是个等势体，导体表面是个等势面导体是个等势体，导体表面是个等势面推论：推论：2.导体的静电平

7、衡导体的静电平衡有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算导体上的电荷重新分布导体上的电荷重新分布电场电场利用：利用：相互影响相互影响静电场的基本规律静电场的基本规律（高斯定理和环路定理）（高斯定理和环路定理）电荷守恒定律电荷守恒定律导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件静电场的叠加原理静电场的叠加原理17电容：电容：表征导体和导体组静电性质的一个物理量表征导体和导体组静电性质的一个物理量孤立导体的电容孤立导体的电容QCU孤立导体球的电容孤立导体球的电容04CR平行板电容器平行板电容器0rSCd 同心球形电容器同心球形电容器012214/()rCR RRR 同轴柱形电容器同轴柱

8、形电容器0212ln/rLCRR 183.3.静电场中的电介质静电场中的电介质电介质对电场的影响电介质对电场的影响D的高斯定理的高斯定理0SD dSq0DEP电位移矢量电位移矢量在电场具有某种对称性的情况下在电场具有某种对称性的情况下,可以首先由高斯定可以首先由高斯定理求解出电位移矢量理求解出电位移矢量D:DEPq 思路思路19静电场的能量密度静电场的能量密度2121122ewEDED E 对任意电场都适合对任意电场都适合静电场的能量静电场的能量eeVWw dV 电容器的储能：电容器的储能：22111222eQWC UQ UC 4. 能量：能量：2020电场能量的计算电场能量的计算221112

9、22QWCUQUC（1）带电电容器储存的能量可以按照公式进行计算：（2 2）电场能量计算的步骤：）电场能量计算的步骤：（a a）根据电荷分布，计算出电场强度的分布规律，得到电根据电荷分布，计算出电场强度的分布规律，得到电场能量密度场能量密度21122ewDEE（b b）取适当的体积元）取适当的体积元dVdV，在所取的体积元中各点的电场强度量值，在所取的体积元中各点的电场强度量值相等。通常在球对称电场中取薄球壳为体积元相等。通常在球对称电场中取薄球壳为体积元dV=4dV=4r r2 2drdr；在轴对；在轴对称的电场中取薄圆柱壳为体积元称的电场中取薄圆柱壳为体积元dV=2dV=2rldrrldr

10、。（c c）按照电场能公式）按照电场能公式： eeVWw dV正确定出积分上下限，计算出结果正确定出积分上下限，计算出结果。211.如图，在一电荷体密度为如图，在一电荷体密度为 的均匀带电球体中，挖出一个以的均匀带电球体中，挖出一个以 O 为球心的球状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心为球心的球状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心O的的 位置矢量用位置矢量用 表示。试证球形空腔表示。试证球形空腔 内的电场是均匀电场，内的电场是均匀电场， 表达式为表达式为 。bbE03OObr1r2S1S2解：解：12111d4sESErP点的场强：点的场强：21EEEP22222d4sESEr21031143

11、4rrE103r1013rE01dV01dV220322434rrE203r2023rE)(3210rrb03222.求均匀带电无限长圆柱体求均匀带电无限长圆柱体 ( , R) 的电场分布。的电场分布。OREE rE 1/rrOR解：解：在柱体内在柱体内 (r R), 选长为选长为 l 的的同轴同轴柱柱形高斯面，利用高斯定律形高斯面，利用高斯定律02222001002d RlrlRlrlqrlESES 内内在柱体外在柱体外 (r R)，取同样高斯面，取同样高斯面，00002d lqrlESES 内 RrrrRrRrE, 2,2020 所以得电场分所以得电场分布的矢量表达布的矢量表达l23rOa

12、bR1R2rbra3.均匀带电球层，内半径为均匀带电球层，内半径为R1，外半径为，外半径为R2，体电荷密度为体电荷密度为 。求图中。求图中a点和点和b点电势。点电势。解：解： 取薄球壳，半径为取薄球壳，半径为r，厚为，厚为dr，可视为均匀带电球面，可视为均匀带电球面，其带电量为其带电量为rrqd4d2 rdr对对a点，此带电球面产生的电势为点，此带电球面产生的电势为rrrrrrqd4d44dd0020 )(2dd21220021RRrrRRa 24对对b点，当球壳半径点，当球壳半径r rb时，其产生的电势为时，其产生的电势为rrrrrrqd4d44dd0020 )(2dd2220022bRrb

13、rRrrb )23(631222021bbbbbrRrR rOabR1R2rbrardr25O 直线直线+ d导导体体板板4.如图，求如图，求 O 点处感应电荷密度点处感应电荷密度 。xO解：解：取导体板内很邻近取导体板内很邻近O点的点的O点，直线在点，直线在O点产生的电场点产生的电场dxxEd020144d 感应电荷在感应电荷在 O 点产生的电场点产生的电场022 E由总电场由总电场021O EEEd 2 得得26S解解: 根据电荷分布对壁的平分面的根据电荷分布对壁的平分面的面对称性，可知电场分布也具有这面对称性，可知电场分布也具有这种对称性。由此可选平分面与壁的种对称性。由此可选平分面与壁

14、的平分面重合的立方盒子为高斯面，平分面重合的立方盒子为高斯面，如图所示，高斯定理给出：如图所示，高斯定理给出：0int/2 qSE 2/Dd 5.一无限大均匀带电厚壁，壁厚为一无限大均匀带电厚壁，壁厚为D，体电荷密度为，体电荷密度为 ，求其电场分布，并画出求其电场分布，并画出 E-d 曲线，曲线，d为垂直于壁面的为垂直于壁面的坐标，原点在厚壁的中心坐标，原点在厚壁的中心。D2/Dd ,2int dSq 0 dE ,int DSq 02 DE dE-d 曲线如图曲线如图EdO02 D02 D 2/D2/D 27rLQEr 02 解：解：两极面间的电场两极面间的电场在电场中取体积元在电场中取体积元

15、rrLVd)2(d 则在则在 dV 中的电场能量为：中的电场能量为：VEWrd2d20 6.一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为R1和和R2，两极面间充满相对介电常数为两极面间充满相对介电常数为 r的电介质。求此电容的电介质。求此电容器带有电量器带有电量Q时所储存的电能。时所储存的电能。L+QQ rR1R2 21d221d02RRrrrLQWW 1202ln221RRLQr CQ221 )/ln(2120RRLCr 28解解:(1)q1和和q2分别为内外球所带电量分别为内外球所带电量,由电势叠加原理：由电势叠加原理：6041221101 RqRq 联立可得联

16、立可得 可得可得 C107 . 6101 q(2) 由由：cm1020103 . 1107 . 6910221 Rqqr7.两个同心的均匀带电球面，半径分别为两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm，R2=20.0cm，已知内球面的电势为，已知内球面的电势为 , 外球面的电外球面的电势为势为 。 (1) 求内外球面所带电量；求内外球面所带电量； (2)两个球两个球面之间何处电势为零。面之间何处电势为零。 V601 V302 304122102 Rqq C103 . 192 q0412210 Rqrq OR1R2298. 如图，有一空气平板电容器极板面积为如图，有一空气平板电容器极板面

17、积为S，间距为，间距为d。现将该电容器接在端电压为。现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，求的电源上充电，求极板上的电荷极板上的电荷Q、极板间电场强度、极板间电场强度E和电容器的电容和电容器的电容C 。 (1)充足电后充足电后 (2)平行插入一块面积相同、厚度为平行插入一块面积相同、厚度为(d)相对电相对电容率为容率为r的电介质板；的电介质板； (3)将上述电介质板换为相同大小的导体板时。将上述电介质板换为相同大小的导体板时。Udr30解解:(1)空气平板电容器的电容空气平板电容器的电容00SCd充电后，极板上的电荷、极板间的电场强度充电后，极板上的电荷、极板间的电场强度E0为为00SQUd(2)插入电介质后，视为空气平板电容器与介质插入电介质后，视为空气平板电容器与介质平板电容器的串联平板电容器的串联(2)(2)平行插入一块面积相同、厚度为平行插入一块面积相同、厚度为 、相对电容、相对电容 率为率为 的电介质板？的电介质板？()d rUd0UEd222222QQUUUCCUdr31则此时电容器的电容为则此时电容器的电容为02()rrSQCUd 02()rrSUQCUd 介质内的电场强度介质内的电场强度21()rUUEd 空气中的电场强度空气中的电场强度21()rrUUEdd2200()rQQUdSS Udr32(3)插入导体板后，极板上的自