函数值域方法总结未打印

1、求函数值域方法求值域的常用方法：1、直接观察法2、配方法3、换元法4、分离常数法5、数形结合法6、判别式法7、函数单调性法8、反函数法9、基本不等式法1、直接观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1求下列函数的值域1.y=3x+2(-1x1) 2. 3.（记住图像） 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5略 当x>0，=，当x<0时，=值域是2，+).（此法也称为配方法）函数的图像为：变式1：1.求函数y=3-的值域 2.函数 的值域3. 函数的值域2、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一，利用二次函数的有关性质、图象作出分

2、析，特别是求某一给定区间的最值与值域。例2 求下列函数的值域：1.； 2.变式2：1.； 2.； 3、换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例3求函数 的值域 解：（换元法）设，则 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。例求函数 的值域解：（换元法）令，则 由指数函数的单调性知，原函数的值域为 例（选）求函数 的值域解：（平方法）函数定义域为： 例 （选不要

3、求）求函数的值域解：（三角换元法） 设 小结：（1）若题目中含有，则可设 （2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设其中 变式3：1.求函数的值域2.求y2x3的值域3. 求的值域4、分离常数法：例4求函数的值域.解：反函数法： 由经过整理变形得,此时把看作自变量看作因变量,是 的函数,函数的定义域为,所以函数的值域为. 分离常数法： , 函数的值域为.变式4： 1. 求函数的值域 2. 求函数的值域 . 3. 函数的值域是 4. -10134-4xy5、数形结合法：例5 求 的值域解法一：（图象法）可化为 如图，

4、观察得值域解法二：（零点法）画数轴 利用可得。-103解法三：（选）（不等式法） 同样可得值域变式5：求的值域？ （）（三种方法均可）016、判别式法：例6 函数 的值域解法一：（逆求法） 解法二：（换元法）设 ，则 解法三：（判别式法）原函数可化为 1） 时 不成立2） 时，10综合1）、2）值域解法四：（三角换元法）设，则 原函数的值域为变式6：10 1.求函数的值域5解法一：（判别式法）化为1）时，不成立2）时，得综合1）、2）值域解法二：（复合函数法）令，则 所以，值域 2. 函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为 解法二：（不等式法）1）当时，2） 时，综合1）2）知，原函数值域为

5、 3. 求函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为 解法二：（不等式法）原函数可化为 当且仅当时取等号，故值域为7、函数单调性法：例7求函数的值域。解：令则在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：变式7：求函数 的值域解：（换元法）令，则 由指数函数的单调性知，原函数的值域为 8、反函数法：例8求函数的值域。由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。反解得即故函数的值域为：。（反函数的定义域即是原函数的值域） 变式8：1.求函数y=值域。 2.求函数的值域。解答：先证明有反函数，为此，设且，。所以为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：。此函数的定义域为，故原函数的值域为。9、基本不等式法：例9函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为 解法二：（基本不等式法）1）当时，2） 时，综合1）2）知，原函数值域为变式9：1.求函数的值域解法一：（判别式法）原式可化为 解法二：（基本不等式法）原函数可化为 当且仅当时取等号，故值域为2.求函数的值域解：令 ，则原函数可化为利用函数在上是减函数，在上是增函数，得原函数值域为小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为的形式，采用部分分式