第5章刚体的转动

1、5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述5.2 转动定律转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算5.4 转动定律的应用转动定律的应用5.5 角动量守恒角动量守恒5.6 转动中的功和能转动中的功和能5.7 进动进动第第5章章 刚体的转动刚体的转动F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-141刚体是刚体是特殊特殊的的质点系质点系有关质点系的规有关质点系的规律都可用于刚体律都可用于刚体（理想化模型）（理想化模型）受力时形状和体积都不改变的物体受力时形状和体积都不改变的物体受力时各质点间的受力时各质点间的相对位置保持不变相对位置保持不变5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述一、刚体一、刚

2、体F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-142平平 动动定轴转动定轴转动定点转动定点转动一般运动一般运动平动与转平动与转动的混合动的混合有一个轴固定有一个轴固定其它质点绕轴做其它质点绕轴做角速度、角加速角速度、角加速度相同的圆周运度相同的圆周运动动有一个点固定有一个点固定其它质点都在其它质点都在以该点为球心以该点为球心的球面上运动的球面上运动任意两点的联任意两点的联线方向固定线方向固定所有质点的位所有质点的位移、速度、加移、速度、加速度相同速度相同二、刚体的运动二、刚体的运动平动、转动平动、转动F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-143刚体的定轴转动可以用

3、其上刚体的定轴转动可以用其上一个点的一个点的圆周运动圆周运动描述描述M0M0刚体的定轴转动可以用刚体的定轴转动可以用角量角量描述：描述：各质点角量相同各质点角量相同转动平面转动平面： 垂直于转动轴所作的平面垂直于转动轴所作的平面定轴转动中各质点都在转定轴转动中各质点都在转动平面内绕轴与面的交点动平面内绕轴与面的交点作不同半径的作不同半径的圆周运动圆周运动三、刚体转动的角量描述（运动学问题）三、刚体转动的角量描述（运动学问题）F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1441. 定轴转动的角量定轴转动的角量角位移：角位移： 角速度角速度：M0rd d dtd 22dtddtd 大小

4、：大小：方向：方向：沿轴与沿轴与 相同或相反相同或相反角位置：角位置： 角加速度角加速度：F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-145()ddt ddt ddt .const t 0 22100 )(tt )(20202 2. 定轴转动角量和线量的关系定轴转动角量和线量的关系r v2 ran tdadt v为定轴转动转动平面为定轴转动转动平面内质点距轴的距离内质点距轴的距离刚体作匀刚体作匀加速转动加速转动dtrd)( r F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-146质点系质点系外力矩外力矩：?M 角动量角动量：?L 角动量定理、角动量守恒定律？角动量定理、角

5、动量守恒定律？dtLdM 对定轴转对定轴转动的刚体动的刚体5.2 转动定律转动定律OFr对转动有贡献的力矩对转动有贡献的力矩F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-147沿轴向的力矩沿轴向的力矩质点系质点系dtLdM 5.2 转动定律转动定律一、力矩一、力矩（对轴对轴） (1) 力在转动平面内力在转动平面内OF r/rr FrM Frr )(/rFrF 对转动有贡献的力矩对转动有贡献的力矩zMFrMz 力不在转动平面内？力不在转动平面内？F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-148 FrkMMzF/F转动转动平面平面or/rFrM F r)()(/ FFrr只

6、能引起轴的只能引起轴的变形变形，对转动对转动无贡献无贡献0kMz 使刚体绕使刚体绕z z轴旋转轴旋转在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩力在转动平面内的分力对转轴的力矩im FrFr/ FrFr/只有沿轴向的力矩才能只有沿轴向的力矩才能对定轴转动产生影响对定轴转动产生影响 沿沿Z 轴分量轴分量ZMM izzMMMF. Y. MengF. Y. Meng2021-12-149 (2) 力不在转动平面内力不在转动平面内角动量角动量 质点质点 对轴的角动量对轴的角动量： imiiiiLrmv转动转动平面平面iriv所

7、有质点所有质点的的角动量均沿角动量均沿z z轴轴 2iizrmLiir v总角动量：总角动量：imi iimr v 2iirm izL 2iirm- 刚体对刚体对 Z 轴轴( (转轴转轴) )的转动惯量的转动惯量 zJ二、刚体角动量二、刚体角动量 zzJL - 刚体对刚体对 Z 轴轴( (转轴转轴) )的角动量的角动量F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1410Oi im 对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元im O iFir,siniziiiziiiMrFMF r 合外力矩合外力矩iiiizrFM sin 外外 zzJL dtdLMzz 外外zJ 对定轴，可不对定轴，可不

8、写角标写角标z，记作，记作 JM dtdJz F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1411三、刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律(4) J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。动惯量不同。 (3) J 和质量分布有关；和质量分布有关；(2) M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；的力矩为正；惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动 (1) M 一定，一定，J讨论：讨论：刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 JM 2iirmF. Y. MengF. Y. M

9、eng2021-12-1412四、四、 转动惯量转动惯量平动：平动：dPdFmdtdt v线动量线动量mv转动：转动：dLdMJdtdt 角动量角动量 J转动惯量是转动中惯性大小的量度转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1413 连续线分布连续线分布 连续面分布连续面分布mLdxmsds 连续体分布连续体分布dV5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1414Jr dm 2dm质元的质量质元的质量r质元到转轴的距离质元到转轴的距离质量连

10、续分质量连续分布的刚体布的刚体iiJrm 2分立质点结分立质点结构的刚体构的刚体可视为分立质点结构的刚体可视为分立质点结构的刚体忽略轻细硬杆的质量忽略轻细硬杆的质量0.75转轴转轴转轴转轴F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1415质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对中垂轴的J匀直细杆对端垂轴的匀直细杆对端垂轴的平行轴定理平行轴定理JCCmJ平行平行dd-两平行轴距离两平行轴距离2mdJJc F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1416m0任取质元任取质元 dm dmrJ2 dmr22mr dm距离轴距离轴 r匀质薄圆盘对心垂

11、轴的匀质薄圆盘对心垂轴的 取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元匀质细圆环的匀质细圆环的F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1417r 连续线分布连续线分布 连续面分布连续面分布mLmsdxds 连续体分布连续体分布dVdmdx dSdmdVdmdmrJ 2dxdm Jdxr 2 dSdm dSrJ 2 dVdm JdVr 2转动惯量的计算转动惯量的计算F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1418 一一. . 常用的几个常用的几个J均匀圆环：均匀圆环：均匀圆盘：均匀圆盘：均匀杆：均匀杆：2121mlJc RmC CRmCCAml2l2221mRJc 垂直

12、垂直231mlJA 关于转动惯量关于转动惯量质点：质点：2mrJ 2mRJc F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1419 二二. .计算计算 J 的几条规律的几条规律1. 对同一轴对同一轴J 具有可叠加性具有可叠加性2. 平行轴定理平行轴定理CdmJCJ平行平行同样的轴，质量分布不同时，同样的轴，质量分布不同时，J不同不同同样质量，轴的方位不同，同样质量，轴的方位不同，J不同不同d-两平行轴距离两平行轴距离x z im iryyxzJJJ 4. 假想将物体的质量集中在半径为假想将物体的质量集中在半径为 rc 的细圆环上，而保持转动惯量不变，的细圆环上，而保持转动惯量不变，

13、 称这圆环半径为物体的称这圆环半径为物体的回转半径回转半径。xoy 面的面的平面刚体平面刚体 iiJJ2mdJJc 3.正交轴定理正交轴定理2cmrJ F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1420Rmm= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2 aa物体从静止开始运动时，滑轮的物体从静止开始运动时，滑轮的 转动方程转动方程解：解：F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-14212m1m5.4 转动定律的应用转动定律的应用 JM 12112(22)2mmmgTmmm 21212(22)2mmmgTmmm 1212()(2)

14、mmgR mmm Rm细绳缠绕轮缘细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力恒力F滑轮角加速度滑轮角加速度 b b细绳线加速度细绳线加速度 agm1 F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-14221m例例3 3. 已知：已知：R=0.2m, m=1kg, v0=0, h=1.5m, ,绳轮无相对滑绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间动，绳不可伸长，下落时间t=3s. . 求轮对求轮对O轴轴J=?v0=0定定轴轴Rtm绳绳hJmRmgR 2 F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1423O例例4. 有一均质细直杆在一个粗糙的水平面上可绕一条通过有一均质细直杆在一个粗糙的

15、水平面上可绕一条通过其一端的竖直轴旋转，它与平面之间的摩擦系数为其一端的竖直轴旋转，它与平面之间的摩擦系数为 。设杆。设杆子质量为子质量为m, ,长度为长度为 l ，其初始转速为，其初始转速为 0 0 。试求当它的转速。试求当它的转速为原来的一半时所用的时间。为原来的一半时所用的时间。lo odxx03ltg F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1424例例5. 一半径为一半径为R，质量为，质量为 m 匀质圆盘，平放在粗糙的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初，令圆盘最初以角速度以角速度 0绕通过中心且垂直

16、盘面的轴旋转，问它经过绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动多少时间才停止转动？rRdr e由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1425dm解：解：把圆盘分成许多环形质元把圆盘分成许多环形质元2ddmr r e dMrdmg 2rgredr 22ger dr e是盘的厚度是盘的厚度圆盘所受阻力矩就是圆盘所受阻力矩就是MdM 23MmgR 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即根据定轴

17、转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度获得负的角加速度. .geR 323dJdt F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1426202Rger dr 202Rger dr 2mR e 212dmRdt 22132m gRdtm R d 设圆盘经过时间设圆盘经过时间t 停止转动，则有停止转动，则有tgtR 00021dd32由此求得由此求得Rtg 034F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1427 0 t00dMJJdt 例例6. 圆盘质量圆盘质量m，半径为，半径为R，厚度不计，圆盘水平，且，厚度不计，圆盘水平，且可绕过盘心可绕过盘心O且垂直于盘面

18、的光滑轴转动。设在转动过且垂直于盘面的光滑轴转动。设在转动过程中受到的单位面积的空气阻力满足程中受到的单位面积的空气阻力满足 f=-kv (其中其中k为大为大于零的常数，于零的常数，v 为盘上任一点的运动线速度）。当为盘上任一点的运动线速度）。当t=0时，圆盘的角速度为时，圆盘的角速度为 0. 求求:圆盘在任意时刻的角速度。圆盘在任意时刻的角速度。rRdr edMrF 22rdrkrr drrk34 rk vds2dr 圆环受阻力矩：圆环受阻力矩：刚体的角动量刚体的角动量 JrmLii 2一、定轴转动刚体的角动量定理（定轴转动定律）一、定轴转动刚体的角动量定理（定轴转动定律）dtdLM dtd

19、J J dtJd)( )( JddLMdt 微分形式：微分形式：5.5 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律合外力矩合外力矩M在在dt时间内的冲量矩时间内的冲量矩12122121LLJJJdMdttt 积分形式：积分形式：- 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1429当当 合外力矩为零合外力矩为零刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。刚体对转轴的角动量保持不变。 - 对定轴角动量守恒对定轴角动量守

20、恒由角动量定理由角动量定理常常矢矢量量 L二、定轴转动刚体的角动量守恒定律二、定轴转动刚体的角动量守恒定律dtLdM 角动量守恒角动量守恒定轴转动定轴转动.0constJconstLdtdLMzMzzz 若若F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1430a. .时时，当当0 zMJ= =恒量恒量= =恒量恒量b. . J 大大 小小, J 小小 大大。 时时，当当0 zM讨讨论论：恒量恒量 J二、定轴转动刚体的角动量守恒定律二、定轴转动刚体的角动量守恒定律若刚体有几部分组成，且都绕同一轴转动，若刚体有几部分组成，且都绕同一轴转动，.0constLMiiizz 时，时，当当外外

21、但角动量可在内部传递但角动量可在内部传递F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1431例如：花样滑冰运动员的例如：花样滑冰运动员的“旋旋”动作动作F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-14322021-12-14F. Y. Meng33直升飞机防止机身旋动的措施直升飞机防止机身旋动的措施收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1434茹科夫斯基椅茹科夫斯基椅轮、转台与人系统初态全静导致站台导致站台反向转动反向转动人沿某一转向拨动轮子轮

22、人台F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1435例例1 如图所示，一静止的均匀细棒，长为如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为、质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动在水平面内转动。一质量为。一质量为m速率为速率为v的子弹在水平的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入棒的自由端，设击穿棒面内沿与棒垂直的方向射入棒的自由端，设击穿棒后子弹的速率减为后子弹的速率减为v/2,则此时棒的角速度应为（则此时棒的角速度应为（ ）Ovv/2m，M，LLm F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1436

23、2Lm 213ML Lm 2213mLML 课本课本 P177/ 5.11大学物理习题集大学物理习题集P10/63、64、66、71 74、76、80、81F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1437作业作业力矩的功力矩的功：当刚体在外力矩作：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功时，就称力矩对刚体做功。 力力 对对P 点作功点作功：FrdFdA sin rdF 2cosrdF dr FrdP5.6 转动中的功和能转动中的功和能一、力矩的功一、力矩的功 drF sin Md 0ddMMA对于刚体定轴转动情形，因质点间无对于

24、刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。相对位移，任何一对内力作功为零。 rd力矩的空间力矩的空间积累效应积累效应对于恒力矩：对于恒力矩： MA MdtMddtdAP 功率功率F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1438221iivm 2222121 iiiiKrmvmE二、二、 刚体的转动动能刚体的转动动能第第i个质点的动能：个质点的动能：221 J 刚体的转刚体的转动动能：动动能：合外力矩对定轴转动刚体作功合外力矩对定轴转动刚体作功 = = 刚体转动动能增量刚体转动动能增量三、定轴转动的动能定理三、定轴转动的动能定理- 刚体定轴转刚体定轴转动的动能定

25、理动的动能定理dtdJJM 2121 dJMd2122122121 JJEEAkk dd ddJ 21222121 JJ F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1439对于一个不太大的质量为对于一个不太大的质量为m的刚体，它的重力的刚体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和四、刚体重力势能四、刚体重力势能cPmghE 刚体重力势能：刚体重力势能：ihim 0 PE pECch刚体的重力势能和它的全部质量刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样集中在质心时所具有的势能一样mhmmgiii iiighm F. Y

26、. MengF. Y. Meng2021-12-1440五、定轴转动的功能原理五、定轴转动的功能原理若只有保守力做功若只有保守力做功质点系功能原理对刚体仍成立质点系功能原理对刚体仍成立)()(1122pkpkEEEEAA 内非内非外外常量常量且且若若内非内非外外 pkEEAA0, 0常量常量 221 JmghEcF. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1441例例1、质量为、质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v和杆子和杆子发生

27、完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。 ）求碰撞后系统的角速度和杆子能上摆的最大角度求碰撞后系统的角速度和杆子能上摆的最大角度vmML0 pEF. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1442221123cos12mMmMgLmmMgL rr 12mmJ0 1例例2. 人和转盘的转动惯量为人和转盘的转动惯量为J0，哑铃的质量为，哑铃的质量为m，初始转速，初始转速为为1 1，求：双臂收缩由，求：双臂收缩由r1变为变为r2时的角速度及机械能增量时的角速度及机械能增量F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1443圆盘下摆圆盘下摆 时质

28、点时质点 的的角速度角速度、切向、法向加速度、切向、法向加速度的大小的大小匀质圆盘匀质圆盘盘缘另盘缘另固固连连一质点一质点水平静水平静止释放止释放通过盘心垂直通过盘心垂直盘面的水平轴盘面的水平轴解：解：F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1444刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式刚体的平动刚体的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动xvt ddvxatt22ddddPm v212KEm vFmAFx ddFtdFma FtPP 0d22011d22Fxmm vvF. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1445作业作业课本课本

29、P178/ 5.14P178/ 5.14大学物理习题集大学物理习题集P10/67、70、72、73 77、78、79、82F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1446摩擦轮对接问题摩擦轮对接问题22J1J12J1J10对接前后角动量是否守恒对接前后角动量是否守恒? ?1r2r10 1o2oF. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1447例例3. 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为 1 1、 2.2.。求：求：1）对接后共同的角速度对接后共同的角速度 ; 2）对接过对接过程中的机械能损失程中的机械能损失22J1J1

30、 F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-14481r2r10 1o2o例例4. 两个均质圆盘转动惯量分别为两个均质圆盘转动惯量分别为J1和和J2，开始时第一个圆开始时第一个圆盘以盘以 的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近轴接近. .求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度10 1Ngm1ffgm22N解：解：无竖直方向上的运动无竖直方向上的运动gmfN22 以以O1点为参考点，系统的外力矩点为参考点，系统的外力矩)(2122rrgmNM )(21rrfM 作用在系统上的外力矩

31、不为作用在系统上的外力矩不为0只能用转动定律做此题只能用转动定律做此题以两转盘为系统以两转盘为系统 ，分析受力，分析受力0 系统的系统的角动量不守恒角动量不守恒F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1449盘盘1：111frdtdJ 盘盘2：222frdtdJ 21210121)( rJrJ 不打滑条件：不打滑条件：2211 rr 可解得：可解得：212221102211rJrJrJ 212221102112rJrJrrJ 用转动定律用转动定律212211rrdJdJ 212121 drJdrJ 21100212121 drJdrJ1r2r10 1o2o1Ngm1ffgm22

32、NF. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1450解：设两轮间摩擦力解：设两轮间摩擦力 f 例例5. 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度为两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度为 , , 求：对接后两轮求：对接后两轮无相对滑动无相对滑动时的角速度时的角速度21 、01、 J2J111r2r2211 rr11222211221 JrJrJr 11222211212 JrJrJrr 111frdtdJ 222frdtdJ 21210121)( rJrJ212211rrdJdJ 212121 drJdrJ 2110212121 drJdrJF. Y. MengF. Y. Meng2021

33、-12-1451221 mmgh 12ghv 例例6. .如图，匀质圆盘如图，匀质圆盘M静止，有一粘土块静止，有一粘土块m从高从高h处下落处下落，与圆盘粘在一起。已知，与圆盘粘在一起。已知M=2m,=60；求碰撞后瞬间圆；求碰撞后瞬间圆盘的盘的0=? P转到转到x轴时圆盘的轴时圆盘的=? =?MoPmhxy解：解：m下落下落碰撞碰撞 t 极短，对极短，对 m +盘系统，冲力远盘系统，冲力远大于重力，故重力对大于重力，故重力对O力矩可忽略，角力矩可忽略，角动量守恒：动量守恒： cosmvR2221mRMRJ 4cos22310 Rgh 得：得：由由0 J 222mR 3F. Y. MengF.

34、Y. Meng2021-12-1452则：则： sinmgR 对对M、m、地球系统，机械能守恒、地球系统，机械能守恒令令 P和和x轴重合时，轴重合时，0 pEMoPmxyoR,mgM 得：得：由由53 sincos222RgRgh RhgR34221 060 RgmRmgRJM222 P和和x轴重合时，由转动定律轴重合时，由转动定律 JM 2021 J221 J 5P转到转到x轴时圆盘的轴时圆盘的=? =?F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1453例例7、质量为、质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一水平的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一轴自由

35、转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v和杆子发生完全非弹和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。性碰撞并且和杆子粘在一起。 ）求：碰撞后系统的角速度求：碰撞后系统的角速度和杆子能上摆的最大角度和杆子能上摆的最大角度vmMLL43gLMmmgLMmMm 2143169311692143arccos22max F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1454例例8 . .半径为半径为R的均匀细圆环，可绕通过环上的均匀细圆环，可绕通过环上O点且垂直于环点且垂直于环面的水平光滑轴在竖直平面内转动，若环最初静止时直径面的水平光滑轴在竖直平面内

36、转动，若环最初静止时直径OA沿水平方向沿水平方向( (如图所示如图所示) )。环由此位置下摆，求。环由此位置下摆，求A到达最低到达最低位置时的速度位置时的速度ROAAF. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1455 从等倾角从等倾角 处静止释放处静止释放两匀直细杆两匀直细杆地面两者瞬时角加速度之比两者瞬时角加速度之比F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1456解：杆解：杆+ +地球系统，地球系统，E 守恒守恒求：杆下摆求：杆下摆 角后，角后，角速度的大小角速度的大小及及轴对杆的作用力轴对杆的作用力？ 例例1010、均匀直杆、均匀直杆m，长为，长为 ，初始时水

37、平静止，轴光滑初始时水平静止，轴光滑lOC41 l只有重力作功，只有重力作功，01 kE初初态态：10PE 令令: :2221 JEk 末态：末态： sin42lmgEP 10sin4212 lmgJ则：则：2cJJmd221124mm 27248m 得：、由217sin62 gF. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1457应用质心运动定理：应用质心运动定理：camgmN ： 3sincmaNmg ：t 4coscttmaNmg 5sin7642 gac b b4 cta 67cos3 gact cos4mgJb 可解出：可解出：、由由6543tmgmgNcos74sin71

38、3 7sin62 g F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1458F 内内问 题 说 明球和刚性杆的碰撞：球和刚性杆的碰撞： 角动量守恒，动量不守恒设轴反力的水平分量为设轴反力的水平分量为xFvmlxF2xcxF lJlFFmam 内内内内21122xmlFFJFF 内内内内内内如果是弹性碰撞，碰撞过程：如果是弹性碰撞，碰撞过程： 动能守恒，角动量守恒，动量不守恒 0 xFF. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1459回转仪定向原理回转体回转体 （转动惯量转动惯量 ）万向支架基 座受合外力矩为零受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；回转体质量呈轴对称分布；

39、轴摩擦及空气阻力很小。轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒角动量守恒恒矢量若将回转体转轴若将回转体转轴指向任一方向指向任一方向则转轴将保持则转轴将保持该方向不变该方向不变而不会受基座而不会受基座改向的影响改向的影响F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1460 MdLdt 则则只改变方向只改变方向 L不改变大小。不改变大小。例：陀螺进动问题例：陀螺进动问题LLdLM 时，时，当当LM LdOgm5.7 进动（旋进进动（旋进 dtMLd M/ p F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1461旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象旋进：高速旋转的物体，

40、其自转轴绕另一个轴转动的现象M ddt p p令令：p 即即：sinpML sinJM 1 L dL MdLdt 90MJ p p当当时时， 进动角速度进动角速度其中：其中：M为外力矩，为外力矩，L为自转角动量为自转角动量dtLdM dtdsinL p F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1462pLsin M L dL以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：这时才有这时才有总总 p 总总只有高速自转只有高速自转 时，时，才有才有p LJ 当考虑到当考虑到 对对 的贡献时，的贡献时，自转轴在旋进自转轴在旋进时还时还会出现微小的上下的周期摆动，

41、会出现微小的上下的周期摆动， 这种运动叫这种运动叫章动章动 p 总F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1463p 实际上，转动中的进动现象相当于平动中的匀速实际上，转动中的进动现象相当于平动中的匀速圆周运动，类比如下：圆周运动，类比如下：刚体的进动刚体的进动质点匀速圆周运动质点匀速圆周运动类比类比具有角动量并在具有角动量并在外力矩作用下外力矩作用下具有动量并在外具有动量并在外力作用下力作用下两因素相互垂直两因素相互垂直两因素相互垂直两因素相互垂直角动量改变方向角动量改变方向，自旋轴转动，自旋轴转动动量改变方向，动量改变方向，作圆周运动作圆周运动成因成因共同点共同点结果结果F

42、. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1464 转动定律转动定律刚体定轴转动刚体定轴转动 定轴的定轴的角动量守恒角动量守恒 定轴的转动的定轴的转动的动能定理动能定理F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1465 机械能守恒机械能守恒辅导书刚体测试题辅导书刚体测试题F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1466P50 选择题选择题 4、10、11P52 填空题填空题 3、6、8P54 计算题计算题 4、5辅导书刚体测试题辅导书刚体测试题F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1467 4一轻绳跨过一具有水平光滑轴、一轻绳跨过一具

43、有水平光滑轴、质量为质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为有质量为m1 和和m2 的物体的物体(m1m2)，如图所示。绳与轮之间无相对滑动，如图所示。绳与轮之间无相对滑动。若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，。若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力（则绳中的张力（ ）。）。 (A) 处处相等；处处相等； (B) 左边大于右边；左边大于右边； (C) 右边大于左边；右边大于左边； (D) 哪边大无法哪边大无法判断。判断。辅导书刚体测试题辅导书刚体测试题F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1468一质量为一质量为m，长为，长为l的均匀细棒，一端铰接于水

44、平地板，的均匀细棒，一端铰接于水平地板，且竖直直立着。若让其自由倒下，则杆以角速度且竖直直立着。若让其自由倒下，则杆以角速度 撞撞击地板。如果把此棒切成击地板。如果把此棒切成 长度，仍由竖直自由倒下长度，仍由竖直自由倒下，则杆撞击地板的角速度应为（，则杆撞击地板的角速度应为（ ）。）。 l 2m,l, m,l, 22辅导书刚体测试题辅导书刚体测试题F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1469一质量为一质量为m，长为，长为l的均匀细棒，一端铰接于水平地的均匀细棒，一端铰接于水平地板，让其自由倒下，如果把此棒切成板，让其自由倒下，如果把此棒切成 长度，瞬长度，瞬时角加速度之比（

45、时角加速度之比（ ）。）。l 2m,l,b bm,l,b b 22 辅导书刚体测试题辅导书刚体测试题F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1470有一半径为有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直轴以匀角速度心的竖直轴以匀角速度 转动，转动， 转动惯量转动惯量为为J。此时有一质量为。此时有一质量为m 的人站在转台中心的人站在转台中心。当人沿半径向外跑到转台边缘时，。当人沿半径向外跑到转台边缘时， 转台转台的角速度应为的角速度应为 0辅导书刚体测试题辅导书刚体测试题F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-14713一飞轮以一飞轮以600 转转/分的转速旋转，转动惯量为分的转速旋转，转动惯量为2.5 kgm2，现加一恒定的制动力矩使飞轮在，现加一恒定的制动力矩使飞轮在2 s 内停内停止转动，则该止转动，则该恒定制动力矩恒定制动力矩的大小的大小M_辅导书刚体测试题辅导书刚体测试题F. Y. MengF. Y. Meng2021-12-1472如图所示。质量为如图所示。质量为M，长度为，长度为L