第14章结构的弹性稳定计算

1、结构力学第14章 结构的弹性稳定计算 1 基本概念2 临界荷载的确定 3 等截面直杆的临界荷载 4 变等截面直杆的临界荷载 5 偏心受压直杆的稳定 6 剪力对临界荷载的影响 7 组合压杆的稳定 8 刚架的稳定计算 14.1引言 在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问题在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问题 Fpl图图 1(1)当当 时，压杆处时，压杆处于稳定的平衡状态于稳定的平衡状态 pcrpFF 22lEIFpcr特点：特点： 当有微小横向干扰力时，压杆发当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横向干扰力时，生弯曲，当撤消该横向干扰力时，压杆又恢复直线平衡状态。压杆又恢复直线平

2、衡状态。(2)当时当时 ，压杆处于随遇或称中性的平衡状态，压杆处于随遇或称中性的平衡状态 pcrpFF 特点：特点： 当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此该横向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此弯曲状态下保持新的曲线平衡状态。弯曲状态下保持新的曲线平衡状态。 (3)当当 时，压杆处于不稳定平衡状态时，压杆处于不稳定平衡状态 pcrpFF特点：特点： 当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲，当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲，直至破坏。这一现象称为压杆丧失第一类稳定性。直至破坏。这一现象称为压

3、杆丧失第一类稳定性。 除了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问除了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问题，如题，如 q受均布外压的圆柱壳受均布外压的圆柱壳Fp刚架结构刚架结构瘦高薄壁构件瘦高薄壁构件除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题 Fp图图 2 (1) 当当 时，压杆的挠度随着时，压杆的挠度随着Fp的增大而增加（不一定是线性的）的增大而增加（不一定是线性的） pcrpFF (2) 当当 时，即使时，即使Fp不增大，压不增大，压杆的挠度可持续增加。杆的挠度可持续增加。 pcrpFF 此时称压杆丧失了第二类稳定。此时称

4、压杆丧失了第二类稳定。 由上可知，由上可知，第二类稳定问题的特征为第二类稳定问题的特征为：平衡形式不发生改：平衡形式不发生改变，结构失稳是由于丧失了继续承载能力。变，结构失稳是由于丧失了继续承载能力。 不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程中都是不容许发生的。因为它们或是不能保持结构原有的中都是不容许发生的。因为它们或是不能保持结构原有的工作状态，或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破工作状态，或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破坏。因此，在工程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的，坏。因此，在工程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的，对

5、于受压构件或结构还应进行稳定校核。对于受压构件或结构还应进行稳定校核。 在本章中，主要讨论在弹性范围内结构的第一类在本章中，主要讨论在弹性范围内结构的第一类稳定问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临稳定问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临界荷载。界荷载。 14.2确定临界荷载的能量法 确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是最重要的方法是静力法和能量法。静力法在材料力学中已最重要的方法是静力法和能量法。静力法在材料力学中已讲过，在本节中介绍能量法。讲过，在本节中介绍能量法。 静力法在确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，静力法在

6、确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，如当微分控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界如当微分控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界条件较复杂时，导出的特征行列式是高阶的求解困难等。条件较复杂时，导出的特征行列式是高阶的求解困难等。在这些情况下采用能量法具有较大的优势。在这些情况下采用能量法具有较大的优势。 势能驻值原理势能驻值原理 在弹性结构（线性或非线性的）的一切可能位移中，在弹性结构（线性或非线性的）的一切可能位移中，真实的位移使结构的总势能为驻值，即真实的位移使结构的总势能为驻值，即 0TUEp（14-1） 上式中，上式中，U为结构应变能，为结构应变能，T 为外力功（为外力功（

7、为荷载为荷载势能）。势能）。 TEp* 应当注意应当注意，所谓的，所谓的“可能位移可能位移”是指满足结构变形协是指满足结构变形协调条件的各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调调条件的各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调条件，而且满足结构平衡条件。因此，（条件，而且满足结构平衡条件。因此，（14-1）式实际）式实际上就是能量形式的平衡条件。即（上就是能量形式的平衡条件。即（14-1）式是弹性体系）式是弹性体系处于平衡的充要条件。处于平衡的充要条件。 但是在上节提到，平衡又分但是在上节提到，平衡又分稳定平衡稳定平衡、中性平衡中性平衡和和不不稳定平衡稳定平衡三种形式。下面通过一个单自由度体系，

8、直观说三种形式。下面通过一个单自由度体系，直观说明三种平衡形式的特点。明三种平衡形式的特点。 如图如图3所示弹性支承上的刚性杆，顶所示弹性支承上的刚性杆，顶端水平弹性支承的刚度系数为端水平弹性支承的刚度系数为k，取，取初始位置为参考状态初始位置为参考状态 y Fp图图 3l则体系的总势能为则体系的总势能为 ppFUE 221ykUlyll2211cos122 221ylFklFUEppp讨论：讨论： （1）当当 时，若时，若y0，则，则Ep恒大于零。此时称体恒大于零。此时称体系是系是正定的正定的。此时总势能取得驻值必为极小值。体系。此时总势能取得驻值必为极小值。体系处于稳定的平衡状态，这就是最

9、小势能原理，即对于处于稳定的平衡状态，这就是最小势能原理，即对于稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能Ep为极为极小值。总势能与小值。总势能与y的关系如图的关系如图 (a)所示所示pFkl yEp(a)221ylFklFUEppp（2）当当 时，若时，若y0，则，则Ep恒小恒小于零。此时称体系是于零。此时称体系是负定的负定的。此时总势。此时总势能取得驻值必为极大值。总势能与能取得驻值必为极大值。总势能与y的的关系如图关系如图(b)所示，体系处于不稳定的所示，体系处于不稳定的平衡状态。在平衡状态。在y=0处有横向干扰力作用，处有横向干扰力作用，就会迅速倾

10、覆。就会迅速倾覆。 pFkl yEp(b)（3）当当 时，总势能时，总势能Ep恒为零。恒为零。总势能与总势能与y的关系如图的关系如图(c)所示，体系处所示，体系处于中性的平衡状态。称处于这一临界状于中性的平衡状态。称处于这一临界状态的荷载为态的荷载为临界荷载临界荷载，记，记 。此时，在此时，在y=0处有微小的横向干扰力作处有微小的横向干扰力作用，会体系在新的倾斜位置上维持新的用，会体系在新的倾斜位置上维持新的平衡。平衡。 pFkl klFpcryEp(c) 以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自由度以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自由度体系或弹性体情况要复杂些，但下面的结论是共性的

11、体系或弹性体情况要复杂些，但下面的结论是共性的 当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。 利用上述结论，可以确定体系的临界荷载利用上述结论，可以确定体系的临界荷载0ppFUE由由 得得 UFpcr（14-2） 如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定体系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临体系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临界荷载为近似值。假如体系的自由度大于界

12、荷载为近似值。假如体系的自由度大于1，则满足，则满足(14-2）式的式的Fp值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即 UFpcrmin（14-3） 上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐此推导上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐此推导受压直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具受压直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具体形式。体形式。 如图如图5所示弹性直杆所示弹性直杆 Fp图图 5yx当达到临界状态时，则对于任一可当达到临界状态时，则对于任一可能位移有能位移有 0ppFUE上式中为压杆弯曲后，所增加的应变能上式中为压

13、杆弯曲后，所增加的应变能（压缩变形能在初始状态也存在）。由于（压缩变形能在初始状态也存在）。由于处于中性平衡状态，给杆一个微小的弯曲处于中性平衡状态，给杆一个微小的弯曲变形，则变形，则 dxEIxMU221 yEIxM dxyEIU221dsdsdx又又 dxydxdxydxdsd22211 dxydxyEIUFpcr22minmin (14-4) 例例1 如图示压杆，用能量法求其临界荷载。如图示压杆，用能量法求其临界荷载。 Fpl解解 在材料力学中，已求得临界荷载的在材料力学中，已求得临界荷载的精确解为精确解为 222lEIFpcryx设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为 lxay2cos1

14、该曲线满足全部的位移和力的边界条件。该曲线满足全部的位移和力的边界条件。 ;2sin2lxlaylxlay2cos22 222cos242024202llaEIdxlxlaEIdxyEIll 222sin222022202lladxlxladxyll 222224222467. 222222lEIlEIllallaEIdxydxyEIFpcr 上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁的挠曲线，即的挠曲线，即 xlaxy3223232225 .

15、2524336lEIlalaEIdxydxyEIFpcr 可以求得可以求得这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约1.3% 例例2 如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷载。如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷载。 Fpl解解 在材料力学中，已求得临界荷载的在材料力学中，已求得临界荷载的精确解为精确解为 22lEIFpcryx设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为 lxaysin该曲线满足全部的位移和力的边界条件。该曲线满足全部的位移和力的边界条件。 ;coslxlaylxlay sin22sin42024202llaEIdxlxlaEIdxyEIll 2cos22022202lladxl

16、xladxyll2222242228696. 922lEIlEIllallaEIdxydxyEIFpcr 上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲线，即线，即 3232llxxaxy可以求得可以求得27252228824. 9351730144lEIlalaEIdxydxyEIFpcr 这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约0.1% 前面讨论了最简单情况（等截面两端刚性支承）压杆前面讨论了最简单情况（等截面两端刚性支承）压杆临

17、界荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好临界荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好地反映失稳曲线，此时，可采用级数解答。地反映失稳曲线，此时，可采用级数解答。 设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为 1iiixay（14-5） 上式中，上式中， i(x)为满足给定位移边界条件的已知函数，为满足给定位移边界条件的已知函数，ai为待为待定系数。定系数。 在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹性失稳曲线也很难找出精确表达式，因此，（性失稳曲线也很难找出精确表达式，因此，（14-5）式只）式只能取有限项。设取前能取有限项。设取前n项项

18、 niiixay1将其代入临界荷载公式得将其代入临界荷载公式得 npniiiniiipcraaaFdxxadxxaEIdxydxyEIF21212122minminmin 这样就把求临界荷载问题转变为求这样就把求临界荷载问题转变为求Fp的极值问题。的极值问题。 Fp的极值条件为的极值条件为 niaFip2 , 10令：令： ;21dxxaEIAniii dxxaBniii21则则 niBaBABaAaFiiip2 , 102由于由于B0 ，A/B=Fp ，则上式可改写为，则上式可改写为 niaBFaAipi2 , 10因为因为 njjijinjjjidxxxEIadxxxaEIaA1122 n

19、jjijinjjjidxxxadxxxaaB1122则则Fp的极值条件可改写为的极值条件可改写为 niaCnjjij2 , 101（14-6） 其中其中 dxxxFxxEICjipjiij（14-6）式是关于）式是关于ai(i=1,2n)的的n阶齐次线性方程组，有非阶齐次线性方程组，有非零解的条件为零解的条件为 0212222111211nnnnnnCCCCCCCCCD（14-7） 将上式展开，即得一个关于将上式展开，即得一个关于Fp的的n次代数方程，它有次代数方程，它有n个个正实根，最小的一个即为所求的临界荷载正实根，最小的一个即为所求的临界荷载Fp cr 14.3 等截面直杆的临界荷载 一

20、一 刚性支承上等截面直杆的临界荷载刚性支承上等截面直杆的临界荷载 常见的等截面直杆在刚性支承上的临界荷载在材常见的等截面直杆在刚性支承上的临界荷载在材料力学中已求出，归纳如下料力学中已求出，归纳如下 22lEIFpcr 为长度系数为长度系数Fp =1lFp =2Fp =0.7Fp =0.5Fp =1二二 弹性支承上等截面直杆的临界荷载弹性支承上等截面直杆的临界荷载 工程中经常会遇到弹性支承上的压杆，对于该类压工程中经常会遇到弹性支承上的压杆，对于该类压杆稳定问题的求解方法与刚性支承上的压杆一样，只是杆稳定问题的求解方法与刚性支承上的压杆一样，只是要复杂些。要复杂些。如图示压杆，采用静力法求其临

21、界荷载。如图示压杆，采用静力法求其临界荷载。Fplk yx yFxMp由由 xMyEI 得得 22nyny (a) 其中其中 EIFnp2(a)式的解为式的解为 nxBnxAysincos上式中上式中A、B、 为待定常数，由边界条件确定为待定常数，由边界条件确定00 xy由由 得得0A(b)由由lxy得得nlBnlAsincos(c)由由得得kFypx0knEIkFBnp2(d)由由(b) 、(c)、(d)组成的关于未知量组成的关于未知量A 、B、 的齐次线性方的齐次线性方程组，有非零解的条件为程组，有非零解的条件为 0100sincos101knEInlnl将上式展开整理得将上式展开整理得

22、EIknlntan或或 EIklnlnltan这就是所求的这就是所求的稳定方程稳定方程，解此超越方程即可获得临界荷载。，解此超越方程即可获得临界荷载。 对于一些工程中的简单结构的稳定问题可简化为此模型。对于一些工程中的简单结构的稳定问题可简化为此模型。如如 FpkFp1kkFp1kFpEA= 三三 竖直杆在自重作用下的稳定竖直杆在自重作用下的稳定 如图所示结构，在自重作用的稳如图所示结构，在自重作用的稳定性分析已有级数形式（定性分析已有级数形式（-1/3阶阶贝塞尔函数）的精确解。贝塞尔函数）的精确解。 qlxya2837. 7lEIqlcr下面采用能量法求其近似解。下面采用能量法求其近似解。

23、设：设： lxay2cos1则则 ;2sin2lxlaylxlay2cos22 2222cos222142024202llaEIdxlxlaEIdxyEIUll 下面计算外力功，取出微段下面计算外力功，取出微段dx，则该微段因弯曲引起的轴，则该微段因弯曲引起的轴向下降距离为向下降距离为 dsdsdxdxyd221于是该微段上部重量所做的功为于是该微段上部重量所做的功为 dxyxlq221)(则全部自重所做的功为则全部自重所做的功为 222210222102141222sin)(2221)(llaqdxlxxlqlaqdxyxlqTll由由 得得 0TUEp22242221421298. 882

24、141221222lEIlEIllallaEIqlcr这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约5.9% 若取级数的前两项若取级数的前两项 lxalxay23cos12cos131可以求得可以求得 2838. 7lEIqlcr这个近似解仅比精确解大约这个近似解仅比精确解大约0.013%，精度显著提高。，精度显著提高。 14.4 变截面直杆的临界荷载变截面直杆的临界荷载 下面用静力法讨论阶梯压杆的临界荷载，如图所示下面用静力法讨论阶梯压杆的临界荷载，如图所示阶梯压杆阶梯压杆 l1l2lEI1EI2xy 令上部压杆任一截面的侧移令上部压杆任一截面的侧移为为y1，下部压杆任一截面的，下部压杆任一截

25、面的侧移为侧移为y2。则这两部分压杆。则这两部分压杆的挠曲控制方程为的挠曲控制方程为 ppppFyFyEIFyFyEI222111(a) (a)式的解为式的解为 nxBnxAynxBnxAysincossincos222111(b) 其中其中 ;121EIFnp222EIFnp上述解共含有上述解共含有A1、B1、A2、B2和和 五个待定量，它们可由五个待定量，它们可由边界条件确定边界条件确定 由由 002xy得得02A(c) 由由 得得002xy02B(d) 由由 得得lxy10sincos1111lnBlnA(e)由由 得得2221lxlxyy222222211211sincossincos

26、lnBlnAlnBlnA(f)由由 得得2221lxlxyy2222222221112111cossincossinlnnBlnnAlnnBlnnA(g)由上述由上述5式组成的关于式组成的关于A1、B1、A2、B2和和 的齐次线性方的齐次线性方程组，有非零解的条件为其系数矩阵的行列式为零，即程组，有非零解的条件为其系数矩阵的行列式为零，即 00coscossinsin0sinsincoscos00sin0cos01000100102222112222112221222111lnnlnnlnnlnnlnlnlnlnlnln展开得展开得 0sincoscossinsinsinsincoscosco

27、s2122212212121221221221lnlnlnlnnnlnlnlnnnlnlnln利用利用l=l1+l2及相应的三角函数公式上式整理可得及相应的三角函数公式上式整理可得 0sinsincoscos2211122211lnlnnnlnln或或 212211tantannnlnln这就是所求的这就是所求的稳定方程稳定方程，解此超越方程即可获得临界荷载。，解此超越方程即可获得临界荷载。对于其它形式的变截面压杆可采用类似的方法处理，也可对于其它形式的变截面压杆可采用类似的方法处理，也可采用能量法求其近似解。采用能量法求其近似解。 结构力学第14章 结构的弹性稳定计算 1 基本概念2 临界荷

28、载的确定 3 等截面直杆的临界荷载 4 变等截面直杆的临界荷载 5 偏心受压直杆的稳定 6 剪力对临界荷载的影响 7 组合压杆的稳定 8 刚架的稳定计算 14.5 14.5 偏心受压直杆的稳定偏心受压直杆的稳定 如图所示等截面直杆，受偏心压力如图所示等截面直杆，受偏心压力Fp作用。作用。 Fpleyx 建立如图所示坐标系则任一截建立如图所示坐标系则任一截面的弯矩为面的弯矩为 yeFxMp弹性曲线的近似微分方程为弹性曲线的近似微分方程为 yeFxMyEIp 或或 enyny22 (a) 其中其中 EIFnp2(a)式的解为式的解为 enxBnxAysincos(b) 其中其中A、B为待定常数，由

29、边界条件确定为待定常数，由边界条件确定 00 xy由由得得eA 由由0lxy得得2tansincos1nleenlnlB因此，因此， 1sin2tancosnxnlnxey (c) 由上式可知，当由上式可知，当nl= 时，除了时，除了x=0, l截面外，截面外， y。此时。此时的荷载即为临界荷载。故的荷载即为临界荷载。故 22lEIFFFpepepcr与中心受压杆临界荷载相同。与中心受压杆临界荷载相同。 对于梁中点的挠度，由对于梁中点的挠度，由(c)式式（x=l/2）得）得 12cos12nleylyl/2 Fp关系曲线如图所示。关系曲线如图所示。 Fpyl/2e=0Fpeyl/2 Fp关系曲

30、线关系曲线e1e2e2e10Fpyl/2e=0Fpeyl/2 Fp关系曲线关系曲线e1e2e2e10由图可知由图可知 (a) yl/2 Fp关系曲线是非线性的；关系曲线是非线性的； 是是yl/2 Fp关系曲关系曲22lEIFpe(b)线的渐进线；线的渐进线； (c) e愈大，曲线偏离渐进线愈大。愈大，曲线偏离渐进线愈大。 必须指出必须指出，上述结论只是理，上述结论只是理论上的，因为假定变形是线论上的，因为假定变形是线弹性、小变形的与真实情况弹性、小变形的与真实情况相差较大。实际情况如下图相差较大。实际情况如下图所示，当时所示，当时Fpe1014.6 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响 如

31、图所示压杆如图所示压杆 xyFpl设：设：yM表示弯矩所产生的挠度，表示弯矩所产生的挠度， yQ表示由于剪力影响所产生的附表示由于剪力影响所产生的附加挠度。则加挠度。则 QMyyy对上式两边求两次导得对上式两边求两次导得 QMyyy (a) 由挠曲线近似微分方程得由挠曲线近似微分方程得 EIxMyM (b) 剪力引起的杆轴线附加角位移为剪力引起的杆轴线附加角位移为 Qy由第由第6章知，章知， （k为截面形状系数）为截面形状系数） GAFkQdxdMGAkGAFkyQQ则则由上式得由上式得 22dxMdGAkyQ (c) 又又 ypxM yGAFkypQ (d) 把把(b)、(d)代入代入(a)

32、整理可得整理可得 02 ymy (e) 其中其中 GAFkEIFmpp1202 ymy (e) (e)式的解为式的解为 mxBmxAysincos(f) 00 xy由由得得0A由由得得0lxy2 , 1iiml最小值为最小值为ml= ，由此得临界荷载为，由此得临界荷载为 221lGAFkEIFpcrpcr(g) 由上式可解得由上式可解得 pepepepcrFFFGAkF11pepepepcrFFFGAkF11式中式中 22lEIFpe无剪力影响时的欧拉临界荷载无剪力影响时的欧拉临界荷载 peFGAk11对于钢材，对于钢材，G=80GPa，欧拉临界应力，欧拉临界应力 e=200MPa，则，则 1

33、4001111kGke 说明在实体结构中，剪力的影响是很小的，通常可说明在实体结构中，剪力的影响是很小的，通常可略去不计。略去不计。 也可采用能量法来讨论剪力的影响，设弹性曲线为也可采用能量法来讨论剪力的影响，设弹性曲线为 lxaysin1取无弯曲状态势能为零，则取无弯曲状态势能为零，则 lQldxGAxFkdxEIxMU020222 lxaFyFxMppsin1 lxlaFyFdxxdMxFppQcos1 2222cos2sin22221210222210221llGAaFlEIaFdxlxlGAaFdxlxEIaFUpplplp外力功为外力功为 22cos221222102222102ll

34、aFdxlxlaFdxyFTplplp0TU由由得得222241441llGAkEIFpcr即即 pepepepcrFFFGAkF11结果相同。结果相同。 14.7 组合压杆的稳定问题组合压杆的稳定问题 常见的组合压杆有常见的组合压杆有缀条式缀条式和和缀板式缀板式两种，如图所示。两种，如图所示。 缀条式缀条式缀板式缀板式FpFp 缀条式组合压杆缀条式组合压杆缀条缀条是由斜杆和横杆组成，一是由斜杆和横杆组成，一般采用单个角钢，它们与般采用单个角钢，它们与主要构件（两边槽钢）的主要构件（两边槽钢）的连接一般可看作铰接。连接一般可看作铰接。 缀板式组合压杆一般缀板式组合压杆一般情况下无斜杆，缀板与主

35、情况下无斜杆，缀板与主要构件（两边槽钢）的连要构件（两边槽钢）的连接一般看作刚接。接一般看作刚接。 关于组合压杆的临界荷载精确解目前还没有，这一关于组合压杆的临界荷载精确解目前还没有，这一问题的近似解是由铁摩辛柯（问题的近似解是由铁摩辛柯（S.P Timoshenko）提出的。）提出的。 一 缀条式组合压杆缀条式组合压杆 取出一个节间缀条式组合压杆如图所示。取出一个节间缀条式组合压杆如图所示。 FQ=1FQ=1dbApAq则在单位力则在单位力FQ=1作用下，缀条变作用下，缀条变形产生的剪变形为形产生的剪变形为 d11式中式中 11为为FQ=1时，沿其方向上所引时，沿其方向上所引起的位移。由于各

36、杆铰接。则起的位移。由于各杆铰接。则 iiiNEAlF211在缀条式组合压杆中，剪力主要由缀条承担，因此，上式在缀条式组合压杆中，剪力主要由缀条承担，因此，上式计算时仅考虑缀条的影响。计算时仅考虑缀条的影响。 轴力：轴力： ;11NF;cos12NF03NF 2211cossin1tan1qpiiiNAAEdEAlF则则 2cossin1tan11qpAAE在上节中曾推导了剪力对临界荷载的影响，结论为在上节中曾推导了剪力对临界荷载的影响，结论为 pepepcrFFGAkF11其中其中 为单位剪力作用时所产生的剪变形。用为单位剪力作用时所产生的剪变形。用 代替代替 ，即可得，即可得近似的近似的缀

37、条式组合压杆的临界荷载公式为缀条式组合压杆的临界荷载公式为 GAkGAkpepepeqppcrFFFAAEF12cossin1tan1111式中式中peqpFAAE21cossin1tan1111注意注意：在计算欧拉临界荷载时，：在计算欧拉临界荷载时，I只需考虑两边主要构件只需考虑两边主要构件（如槽钢）对形心的惯性矩即可，不必考虑缀条，因缀条（如槽钢）对形心的惯性矩即可，不必考虑缀条，因缀条承担剪力。承担剪力。 二 缀板式组合压杆缀板式组合压杆 缀板式组合压杆可视为单缀板式组合压杆可视为单跨双层刚架。并近似地认为主跨双层刚架。并近似地认为主要构件的反弯点在节间中间，要构件的反弯点在节间中间，取

38、出一节如图所示。取出一节如图所示。 d/2bIbd/2Id1/21/21/21/2则在单位力则在单位力FQ=1作用下，缀板变形产生的剪变形为作用下，缀板变形产生的剪变形为 d11式中式中 11为为FQ=1时，沿其方向上所引起的位移。时，沿其方向上所引起的位移。 1M2d2d4d4d4d4d图图bdbdEIbdEIddbdEIddEIdsEIM12243826164232211因此因此 bdEIbdEId12242与缀条式组合压杆推导相同，可得与缀条式组合压杆推导相同，可得 pepepedbpcrFFFEIdEIbdEF222412111其中其中 pedbFEIdEIbdE241211122pe

39、dbFEIdEIbdE241211122从从 2的表达式可以看出，的表达式可以看出， 2随着间距随着间距d的减小而增大，当的减小而增大，当d=0时，时， 2=1与实体结构相同。与实体结构相同。 在一般情况下，缀板的刚度要比主要构件（如两边的在一般情况下，缀板的刚度要比主要构件（如两边的槽钢）大的多，因此，可取槽钢）大的多，因此，可取EIb=，于是临界荷载计算公，于是临界荷载计算公式可近似地简化为式可近似地简化为 pepepedpcrFFFEIdEF222411114.8 刚架的稳定计算 这里仅考虑刚架在这里仅考虑刚架在结点处结点处承受集中荷载承受集中荷载且结构丧失稳且结构丧失稳定前各杆只有轴向

40、变形而无弯曲变形定前各杆只有轴向变形而无弯曲变形的情况。在此条件下，的情况。在此条件下，刚架失稳属于刚架失稳属于第一类稳定问题第一类稳定问题。 如图所示承受结点荷载作用刚架如图所示承受结点荷载作用刚架 Fp2Fp1当荷载达到临界值时，在微小的干当荷载达到临界值时，在微小的干扰力作用下，将产生弯曲变形，当扰力作用下，将产生弯曲变形，当干扰力撤除后，并在新的弯曲变形干扰力撤除后，并在新的弯曲变形状态下维持平衡。状态下维持平衡。 确定结构临界荷载，一般而言，采用位移法较为方确定结构临界荷载，一般而言，采用位移法较为方便。其基本原理与第便。其基本原理与第8章基本相同，所不同之处是在转角章基本相同，所不

41、同之处是在转角位移方程中增加考虑轴力的影响。位移方程中增加考虑轴力的影响。 一一 考虑轴力影响的等截面直杆转角位移方程考虑轴力影响的等截面直杆转角位移方程 FplFpABEI取出受压直杆如图所示取出受压直杆如图所示 Fp A B(a)FpFQABFQBAMABMBAxy由由 0Y得得QQBAQABFFF任一截面的弯矩为任一截面的弯矩为 yFxFMxMpQAB则弹性曲线的微分方程为则弹性曲线的微分方程为 yFxFMyEIpQAB (a) 令：令： EIFlup则则(a)式整理得式整理得 pQABFxFMluyluy 22 (b) (b)式的通解为式的通解为 pQABFxFMluxCluxCysi

42、ncos21(c) 上式四个待定量上式四个待定量C1、C2、MAB和和FQ由边界条件确定由边界条件确定 由由 00 xy得得01pABFMC(d) 由由 Axy0得得ApQFFClu2(e) 由由 得得lxypQABFlFMuCuCsincos21(f) 由由 得得BlxyBpQFFCuluCulu21cossin(g) 注意到注意到 lFMMFpBAABQ，利用上述四式可解得，利用上述四式可解得 uliuliFFuliuiuiMuliuiuiMBAQBAQABBABABAAB221112121126642624（14-8） 上式中，上式中，i为线刚度，为线刚度， 、 、 和和 为考为考虑轴向

43、力效应的修正系数。虑轴向力效应的修正系数。 u1 u2 u1 u2 ;122tan4tan11uuuuu 122tan21sin2uuuuu 2tan21322312211uuuuuu 122tan32122212uuuuuu容易证明（应用洛毕塔法则），当容易证明（应用洛毕塔法则），当Fp0，u0时时 12121uuuu此时为普通情况下的转角位移方程。此时为普通情况下的转角位移方程。 二二 讨论：讨论： 若若A端铰支，端铰支，B端固定端固定 如图所示如图所示FplFpABEIFp BFp FQABFQBAMBAxy此时有此时有MAB=0在（在（14-8）式的第一式令）式的第一式令MAB=0得得

44、 uliuliFFuliuiuiMuliuiuiMBAQBAQABBABABAAB221112121126642624（14-8） uuluA211321将其代回（将其代回（14-8）式的第二、三式得）式的第二、三式得 luuliFFuliMBQBAQABBBA33333（14-9） 其中：其中： ;tan1323uuuu 1tan323uuuu uliuliFFuliuiuiMuliuiuiMBAQBAQABBABABAAB221112121126642624（14-8） luuliFFuliMBQBAQABBBA33333（14-9） 由（由（14-8）和（）和（14-9）式可以看出，杆端内力与轴力）式可以看出，杆端内力与轴力Fp（在（在u里）的关系是非线性的，而与杆端位移的线性关系里）的关系是非线性的，而与杆端位移的线性关系仍然成立。因此，在稳定问题中，对于杆端位移分析时，仍然成立。因此，在稳定问题中，对于杆端位移分析时，仍可采用叠加原理。但需注意，