将军饮马问题PPT课件

1、看图思考：看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 禁止践踏禁止践踏两点之间，线段最短两点之间，线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短第1页/共18页将军饮马问题：将军饮马问题： 将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？路程最短？ 这就是被称为这就是被称为将军饮马将军饮马而而广为流传的问题。广为流传的问题。第2页/共18页P两

2、点之间线段最短两点之间线段最短. 根据：根据：BA两点在一条两点在一条直线两侧直线两侧例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？样走路程最短？ 最短路线：最短路线：将军饮马：将军饮马：A -P- B.第3页/共18页 例例2.2.如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B， 途中马要到河边饮水一次，途中马要到河边饮水一次， 问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？ AB河河两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(

3、 (二二) )一次轴对称：一次轴对称：第4页/共18页BABC例例2作法：作法：（1）作点）作点B关于直线关于直线 MN 的对称点的对称点 B（2）连结）连结BA，交，交MN于点于点 C； 所以所以 点点C就是所求的点就是所求的点MN两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：第5页/共18页 BC+AC BC +AC ，即，即AC+BC最小最小NABCBC 直线直线MN是点是点B、B的对称轴，的对称轴， 点点C、C在对称轴上，在对称轴上，BC=BC，BC=BC 在在MN 上任取另一点上任取另一点C，连结连结BC、BC、 AC 、 BC 例例2证明：证明：在在A

4、B C中，中，AB AC+B C， BC+AC = BC+AC = BAMBC +AC = BC +AC 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：第6页/共18页例例2 2变式变式1 1：已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、 ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上确定一点上确定一点R R， 使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧( (二二) )一次轴对称：一次轴对称：第7页/共18页.AA.B.CA.MON例例3已知如图已知如图 和和 内一点内一点 ,M O NM O NA(2)AAO

5、MBONC连结 和 ，交于 ，交于 。,B C则点为所求。( (三三) )二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部求作求作:OM上一点上一点B, ON上一点上一点C, 使使AB+BC+AC最小最小作法（1）作点A关于OM、 ON的对称点A、A”第8页/共18页草地草地河边河边.驻地驻地A例例3.3.如图：一位将军骑马从如图：一位将军骑马从驻地驻地A A出发，先牵马去出发，先牵马去草地草地 OMOM吃草，再牵马去吃草，再牵马去河边河边ONON喝水，喝水， 最后回到驻地最后回到驻地A A，问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？OMN( (三三) )二次轴对

6、称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部第9页/共18页例例3 3变式变式1 1：已知：已知P P是是ABCABC的边的边BCBC上的点，上的点， 你能在你能在ABAB、ACAC上分别确定一点上分别确定一点Q Q和和R R， 使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？( (三三) )二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部第10页/共18页例4 4：如图，A A为马厩，B B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马， 再到河边饮马，然后回到帐篷， 请你帮助确定这一天的最短路线。（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两

7、点在两相交直线内部第11页/共18页例例4 4答案：如图答案：如图,A,A是马厩是马厩,B,B为帐篷为帐篷, ,牧马人某一天要牧马人某一天要从马厩牵出马从马厩牵出马, ,先到草地边某一处牧马先到草地边某一处牧马, ,再到河边再到河边饮马饮马, ,然后回到帐篷然后回到帐篷. .请你帮他确定这一天的最短请你帮他确定这一天的最短路线路线. .ABABCD（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部第12页/共18页.B. .C.DAB.AONM（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部例4 4变式1 1：已知： MONMON和 M

8、ONMON内两点A A、B B。 求作：点C C和点D,D,使得点C C在OMOM上， 点D D在ONON上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。第13页/共18页 例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上， 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部第14页/共18页.,.AOMABONB作法:(1)作点 关于的对称点点 关于的对称点(2)ABOMCOND连结 和 ，交于 ，交于 。则点C、D为所求。.AABBCDMON例4变式2：（四）二次轴对称：（四）二次轴对称： 两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部第15页/共18页（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线， 将军饮马的实质