2016届山西省太原市高三第二次模拟考试数学(理)试题

1、2016 届山西省太原市高三第二次模拟考试数学（理）试题数学试卷（理工类）第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分洪60分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A=x Iog2（x1） c2,B=xacxc6，且（A B=x|2”发生的概率为.2ab15. 在ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c，若2c,则.C的大小是sin B sin A2tx2+J2tsi n( x+)+x16. 已知关于x的函数f(x)24的最大值为a，最小值为b，若2x +cosxa b = 2，则实数t的值为_ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17

2、. (本小题满分 12 分)1已知Sn是数列3?的前n项和，印=2，且4Sn=anan 1，数列 0?中，0 二，且4nbn(n 1) -bn(1)求数列 a1的通项公式;18.(本小题满分 12 分) 如图，在斜三棱柱ABCAB1C1中，AB丄AC，且AB = AC=5，AR=BC=13，AB =12.(1)求证：平面ABBA平面ACC1A1；(2)求二面角A -BB1-C的正切值的大小(2 )设 cn=an1 223bn(n N)，求 g 的前n项和Tn.19.（本小题满分 12 分）近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康， 对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾

3、霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动，预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五5 天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3 天均为 50%后 2 天均为 80%且每一天出现雾霾与否是相互独立的（1）求未来一周 5 天至少一天停止组织集体活动的概率；（2） 求未来一周 5 天不需要停止组织集体活动的天数X的分布列；（3） 用 表示该校未来一周 5 天停止组织集体活动的天数，记“函数f （x） = X2- X - 1在 区间（3,5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率20.（本小题满分 12 分）2 2已知椭圆 与+与=1（aAb0）的离心率为a b（1）已知点A,B是椭圆上两点

4、，点C为椭圆的上顶点，ABC的重心恰好是椭圆的右焦点F，求A, B所在直线的斜率;（2）过椭圆的右焦点F作直线I?，直线h与椭圆分别交于点M , N，直线 J 与椭圆分别交于点P,Q，且+|NQ，求四边形MPNQ的面积S最小时直线l1的方程21.（本小题满分 12 分）x2Bi过焦点2.已知函数f（x）二e -ax -bx -1（a,b R，e为自然对数的底数）(1)若对于任意a 0,11,总存在x. 1,2，使得f(x)O成立，求b的最小值;(2)若f(1)=0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分,作

5、答时请写清题号22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图，。1与。2相交于A, B两点，AB是。2的直径，过A点作。1的切线交。2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与。1，。2交于C, D两点.(1) 求证：PAPD二PEPC；(2) 求证：AD二AE.工x = 2 t cos:-在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为:-的直线I的方程为 ，一，(t为参数)，= J3 +t sin a以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为訐二42，直线l与曲线C相交于不同的两点A, B.1 3sin二(1 )若，求线段AB中点M的直角坐标；3(2 )若|P

6、A|PB| =|OP|2，其中P(2,P3)，求直线I的斜率.24.(本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲设函数f(x) = 2x+1|+ |x a，aR.(1 )当a= 2时，求不等式f(x)：4的解集；13.-514.1 1时，对于-x三（-：，都有f （x）亠x _ 3成立，求a的取值范围22太原市 2016 年高三年级模试题（二）数学试卷（理工类）参考答案一、 选择题1-5.ABCBB二、 填空题6-10.CADBD小2152(2)当 a :：:11-12.ABJT 16.12n 2218.三、解答题：17.解：(1)n =1时，可得a2=4,疋“日寸，4=叫如“4SJ二&

7、amp;严十两式相减得4% =叫(一J订的奇数项和偶数项分别以 4 为公差的等差数列,t*当n = 2k1,k N时，an= a2k=4k 2 = 2n；当n =2k，k N时，an二a2k=4k=2n. an= 2n (n N ).1nbn3n 1n1 1*bn- (n2),n=1也适合，bn- (n N ),3n +13n +1(2)1bn 1n 1111=- -=-nbnn(n 1)bn 1ng1n(n 1)1nbn1(n -1)01(n -2)bn,1(n-21n-1)1(n -1)bn4n 2218.n再由错位相减得Tn=212取平面TABBA的一个法向量n(0,1,0),设平面BC

8、C1B1的一个法向量 压二(x, y, z),由n由.门2S0，得-12x 5z, BC =012x 5y =0 BB0取x =5，则n2=(5,-12,12),n112=_.12，设二面角12A-BB -C的大小为-,则cos313tan，=13面角A-BQ -C的正切值为1312(1 )证明：在ABC中，AB2AC2=BC2AC _ AB, 又AB丄AC,且AB,AB是平面ABBA内的两条相交直线， AC_ 平面ABB,A，又ACu 平面ACGA,平面ABBA丄平面ACGA.(2)在ABA中，AB2AB2二AA；,AB丄AB,双AB _ AC，且AB, AC是平面ABC内的两条相交直线,-

9、AB丄面ABC,建立如图所示的坐标系，则B(0,0,0),A(12,0,0),C(12,5,0),A1(0,0,5),B,(-12,0,5),故=3或4,(3)因为函数f(x) =X2- x-1在区间(3,5)上有且只有一个零点，且0空5,则ff (5) 则由题意：MP 2NQ= NP2(XM-Xp)2(yyp)2(XN-XQ)2(yN-yQ)2=(XN-Xp)2(yN-yp)2 (XM-xJ2(yM -YQ)2整理得：XNXPXMXQ-XMXP-XNXQYNYPYMYQ- YMYP- YN0，即(XN-XM)(Xp-XQ) (YN- YM)(YP- YQ)=，所以h - b若直线h I?中有

10、一条斜率不存在，不妨设12的斜率不存在，则J - X轴,所以MN|= 2扭，|PQ|f；2,故四边形MPNQ的面积SUIPQIIMN | = lx2w2汇吋2 = 2.2 2若直线h,l2的斜率存在，设直线li的方程为：y = k(x-1)(k =0),-2X2则由2y =1，得(2k21)x2-4k2x 2k2-2 =0,y =k(x -1)则XMXN4k22k21xMxN2k2一22k21MN |=毎1 + k2|xM-xN=1 k、:-4%/2;,:2)同理可求得,pQ| =(1：k)，故四边形2 +k2MPNQ的面积:1-|PQ|MN12 2(1k2) 2 2(1 k2)2 222k1

11、2 k2kj 2k169(当k = _1取“=”)，此时，四边形MPNQ面积S的最小值为16:：: 2，9所以直线|1方程为：xy1 =0或x y1 = 0.21.解:(1)设g(a) =ex_ax2_bx T，则x 1,2时,g(a)在0,11上为减函数,所以只要g(0) =ex-bx-仁0,所以只要ex-bx -0在1,2上有解即可x即b_e _1在1,2上有解，设x因为h(x)=ex(x-1) 1x20,所以h(x)在1,2上为增函数,只要b - h(1) = e-1,所以b由f (1) = 0,得e-a b -1=0,二b = e-a -1,f(x) =ex_2ax _e a 1, 又

12、f (0) =0.若函数f (x)在区间(0,1)内有零点，设x0为f (x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0) = f(x。)=0可知,f(x)在区间(0,x。)内不可能单调,则f (x)在区间(0,怡)内不可能恒为正，也不可能恒为负，故f (x)在区间(0,冷)内存在零点为，同理f (x)在区间(冷,1)内存在零点X2，故函数f (x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间，f (x)在区间(0,1)内至少有两个零点.x设u(x) = f(x)=e -2ax-b, u (x)二ex2a.r 1e当a J或a_e时，函数f (x)在区间(0,1)内单调，2 2不满足“函数f(x)在区间

13、(0,1)内至少有三个单调区间”；1e当2”：a： 时，f(x)在区间(0,1 n(2a)内单调递减，在区间(In(2a),1)内单调递增,因此人(0,1 n(2a),X2(In(2a),1),又f(x)min=g(ln(2a) =2a 2aln(2a) e a 1 =3a -2aln(2a) e 1,人1e令v(x) =3x 2xln(2x) -e 1 (:：x：)，则v(x)=1 21 n(2x),2 2令v(x)=0,得X=,列表如下:e2)h(x)h xe e依表格知：当1：x：e时，v(x)max二e - e仁：0,2 2 f(x)min=3a2al n( 2a)e 1：0恒成立，于

14、是，函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间满足1ea 0解得e-2：a：1，综上所述，a的取值范围为(e-2,1).22. (1 )PE,PB分别是O2的割线， PAPE =PDPB,又PA,PB分别是O1的切线和割线，2PA =PC *PB,PE PDPA PC，PAPD二PEPC.(2)连结AC,ED, BC是O1的直径， CAB =90,AC是。2的切线，PAPC由(1)知PA=PCAC/ ED,PE PD1e- a 0u(10-7 ,4AB _ DE,CAD ADE,又AC是O2的切线，-CAD二AED,-7 ,4 . AED =/ADE , AD =AE,（或AB _ DE

15、 AB是02的直径，由垂径定理得，AD二DE,AD二AE.）所以点M的坐标为（X -）.1313得(cos2二4sin2：)t2(8 3 sin工4cos：)t 12 = 0，当时，设点3x =2 2M对应的参数为t0，直线I方程为，（t为参数），y“3+空代入曲线C的普通方程x_ Hy2=1,得13t256t 48 = 0，4设直线C上的点A,B对应参数分别为t1,t2，则t0二t1t22813x =2 +t cos。(2 )将y =J3 +tsi n ax2代入曲线C的普通方程一：注4=1因为|PA|PB|=吐2丨=122 2cos二4sin :,OP2=7，所以122 2cos二4sin

16、 :25解得tan鳥- 一，由于162（1）曲线C的普通方程是xy2=1,4-7 ,4也=32cos a (2 73 s in a cos ) 0，故tan =，4所以直线l的斜率为524.解1(1 )令2x+1|=0，得x=寸;令 卜2| = 0,得x = 2.1当x2时，原不等式化为2x+1+x-2v4，即xc5，无解；3112当一x : 2时，原不等式化为2x 1 2 - x：4，即x : 1，得一x：1.22113当x时，原不等式化为-2x-1 2 - X：4，即x -1，得-1：x乞,22所以原不等式的解集为X -1 CX 1.1(2)令g(x) = f (x) +X，当X兰一时，g(x) =|x a X 1，2r1,1,、丨一1 -a,a vx兰由a -一，得g(x) = 2，22x+a1,x兰a 1 1对于-