最优增长理论

1、第第3 3章章 无限期界模型无限期界模型 （拉姆齐（拉姆齐- -卡斯卡斯- -库普曼模型）库普曼模型） （ RCKRCK模型）模型）本章目录 一、问题的提出及模型假定 二、厂商行为 三、家庭行为 四、稳态均衡 五、RCK经济运行的效率 六、平衡增长路径 七、修正的黄金资本存量 八、贴现率的变动 九、基本结论 十、课堂讨论及作业一、问题的提出及模型假定一、问题的提出及模型假定 在索洛模型中，储蓄率在索洛模型中，储蓄率s s被假定为外生参数，被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。人均消费水平。 那么，储蓄率是如何决定的？必须

2、引入消费那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化内生化”。（一）、问题的提出（一）、问题的提出（二）、模型假定（二）、模型假定 1 1完全竞争市场结构完全竞争市场结构 2 2长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）和基于利他主义的代际转让） 3 3家庭和个人完全同质家庭和个人完全同质 4 4忽略资本的折旧忽略资本的折旧 5 5暂不考虑政府行为暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系在

3、简单经济中，家庭与厂商之间的关系：二、厂商行为二、厂商行为: : 沿用新古典生产函数：沿用新古典生产函数： 根据欧拉定理：根据欧拉定理： 其中，资本的边际产品为：其中，资本的边际产品为： （真实利率）（真实利率） 有效劳动的边际产品为：有效劳动的边际产品为： （工资率）（工资率）),(ALKFY ALALYKKYY)(rkfKY)( wkkfkfALY)( )()(三、家庭行为三、家庭行为: :1.1.一些假定和符号：一些假定和符号： 总人口为总人口为L L，以速率，以速率n n增长，增长， ； 家庭的个数为家庭的个数为H H，每个家庭有，每个家庭有L/HL/H个人；个人； 每个家庭成员在每一

4、时点上提供每个家庭成员在每一时点上提供1 1单位劳动；单位劳动； 资本最初存量为资本最初存量为K(0)K(0)，每个家庭初始资本存量，每个家庭初始资本存量为为K(0)/HK(0)/H。eLtLnt)0()(2. 2. 家庭效用函数和即期效用函数家庭效用函数和即期效用函数 定义家庭终生效用函数（也称定义家庭终生效用函数（也称“幸福函数幸福函数”）为：）为： 其中，其中，C(tC(t) )为每个家庭成员的消费，为每个家庭成员的消费， 为即期效用为即期效用函数，函数， 为效用贴现率。为效用贴现率。 注意：注意： 表示将第表示将第t t期消费的效用按照期消费的效用按照 贴现贴现到第到第0 0期，即期，

5、即 。dtHLtCudtHtLtCuUottnottee)0()()()()()(u)(tCuetttteCuCutCu)0()1)(0(lim)( 假定家庭成员具有不变的相对风险规避倾向，假定家庭成员具有不变的相对风险规避倾向，并假定瞬时（即期）效用函数并假定瞬时（即期）效用函数 具有如下具有如下形式：形式：)(u1)()(1tCtCu00)1 (gn该函数具有以下几个特点：该函数具有以下几个特点：（1 1）边际效用弹性边际效用弹性不变，为不变，为 。 定义边际效用弹性定义边际效用弹性 。 对于这种效用函数，家庭成员的对于这种效用函数，家庭成员的相对风险规避倾向相对风险规避倾向为为常数常数

6、，它与各个时刻，它与各个时刻 t t的消费量的消费量 无关。无关。 （2 2）任何两个时点之间（跨期）的消费替代弹性）任何两个时点之间（跨期）的消费替代弹性不变，为不变，为1/ 1/ 。 （3 3）边际效用）边际效用 为正；当为正；当 时，边际效用随时，边际效用随C C增加而增加，当增加而增加，当 时，边际效用随时，边际效用随C C增加而减增加而减少。少。 uCuuCdCdu)(tC)( Cu11（4 4） 是为保证效用不发散（受到约束）。是为保证效用不发散（受到约束）。0)1 (gn3 3考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数 考虑劳动增进型的技术进

7、步考虑劳动增进型的技术进步, ,并定义每单位有效并定义每单位有效劳动的平均消费为劳动的平均消费为c(tc(t) )，有：，有： 注意：家庭总消费注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(tC(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H)/H代入即期效用函数得：代入即期效用函数得：gteAtA)0()()()()(tctAtC1)()(1)()(11tctAtCtCu再代入家庭效用函数，得：再代入家庭效用函数，得：1)()0(11tceAgt1)()0(1)1 (1tceAgtdtHLtCudtHtLtCuUottnottee)0()()()()(dtHLtceAgtottn

8、e)0(1)()0(1)1 (1)(dttceHLAgtottne1)()0()0(1)1 ()(1dttcHLAotgtne1)()0()0(1)1 ()(1dttcBotte1)(1HLAB)0()0(10)1 (gn其中，其中， ， （收敛条件）（收敛条件）4.4.家庭的跨期预算约束家庭的跨期预算约束 家庭面临的预算约束：家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入超过其初始财富加上一生的收入（利息（利息r r和工资和工资w w，均为外生变量）。均为外生变量）。 家庭家庭t t期的劳动收入为期的劳动收入为w(t)A(t)L(tw(t)A(t)L

9、(t)/H)/H，消费，消费支出是支出是C(t)L(tC(t)L(t)/H)/H，则家庭的跨期预算约束为：，则家庭的跨期预算约束为： 其中其中 为现金贴现因子。为现金贴现因子。 类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费为每单位有效劳动的平均消费为c(tc(t) )和每单位有效劳和每单位有效劳动的初始平均资本动的初始平均资本k(0) k(0) ，有：有：0)(0)()()()()0()()(ttRttRdtHtLtwtAeHKdtHtLtCetotodsskfdssrtR)( )()(C(tC(t)= A(t)c(t)= A(t)c

10、(t) )K(0)= k(0)A(0)L(0)/HK(0)= k(0)A(0)L(0)/H代入得：代入得：再考虑有效劳动的增长，再考虑有效劳动的增长， ，代入，并在两边消去代入，并在两边消去A(0)L(0)/HA(0)L(0)/H，得：，得：gteAtA)0()(0)(0)()()()()0()0()0()()()(ttRttRdtHtLtAtweHLAkdtHtLtAtcetgneLAtLtA)()0()0()()(0)()()(0)()()0()(ttgntRtgnttRdttweekdtetce5 5横截面条件横截面条件家庭预算约束的极限形式家庭预算约束的极限形式 用家庭资本持有量的极限

11、形式来表示预算约束用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束（等价命题）。（等价命题）。已知已知故故 将上述预算约束改写成为极限形式，有：将上述预算约束改写成为极限形式，有：0)()()()()()0(0)(0)(dtHtLtCedtHtLtwtAeHKttRttR0)()()()()0(0)(dtHtLtAtctweHKttR0)()()()()0(lim0)(dtHtLtAtctweHKvtRv 其含义是说，当时间无限延长时，家庭持有的其含义是说，当时间无限延长时，家庭持有的资本的现值的极限必须是非负的。资本的现值的极限必须是非负的。 定义第定义第v v期的家庭资本持有量的总和为：期的家庭资

12、本持有量的总和为： 右式第一项表示第右式第一项表示第v v期的初始资本存量的贡献期的初始资本存量的贡献（非负），第二项表示两期之间的储蓄贡献（可正（非负），第二项表示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。可负）。 整理有：整理有：dtHtLtAtctweHKeHvKvttRvRvR)()()()()0()(0)()()()()()()()0()(0)()(dtHtLtAtctweHKeHvKvttRvRHvKedtHtLtAtctweHKvRvttR)()()()()()0()(0)( 代入极限形式的预算约束得：代入极限形式的预算约束得： 表示家庭持有资产的现值的极限为非负。表示家庭持有资产的现值的

13、极限为非负。另外，在模型的基本假设下，我们有另外，在模型的基本假设下，我们有 从而预算约束的极限形式又可改写为从而预算约束的极限形式又可改写为0)(lim)(HvKevRvtgneLAtktLtAtktK)(00)()()()()(0)(lim)()(vkeevgnvRv6 6家庭的最优化问题家庭的最优化问题根据前面的推导已知根据前面的推导已知a.a.家庭的最大化目标函数（幸福函数）：家庭的最大化目标函数（幸福函数）：b b跨期预算约束：跨期预算约束：（均从有效劳动的人均情况来考虑）（均从有效劳动的人均情况来考虑）因此可以构造拉格朗日函数：因此可以构造拉格朗日函数： 求解最优的求解最优的c(t

14、c(t) )使使 最大，对最大，对c(tc(t) )求导数，得到一求导数，得到一阶条件为：阶条件为：dttcBUotte1)(10)()()(0)()()0()(ttgntRtgnttRdttweekdtetce)()()0(1)()(0)(0)()(1dtetcedttweekdttcBtgnttRttgntRotte两边取对数得：两边取对数得：两边再对两边再对 t t求导数，注意，则有：求导数，注意，则有：因此，因此，这就是描述这就是描述c c调整路径的调整路径的“欧拉方程欧拉方程”，它表明家庭，它表明家庭可以在不改变一生支出的现值的情况下通过调整可以在不改变一生支出的现值的情况下通过调整

15、其消费增加一生的效用。其消费增加一生的效用。tgntRteetcBe)()()(tgntRtctB)()(ln)(lnln)()()()(gntrtctcgtrgngntrgntrtctc)()1 ()()()()(对欧拉方程的理解：对欧拉方程的理解：已知，已知，C(t)=c(t)A(tC(t)=c(t)A(t) )，则人均消费增长率：，则人均消费增长率：因此，当因此，当 时，时， 00；当；当 时，时， 0kkk* *时，时， ，则则 0;0;当当kkk00。)( )(tkftrgtkftctc)()()()(tcgtkf)(*( gtkf)( )(tcgtkf)( )(tc图示：图示：3.

16、 k3. k和和c c的动态学（的动态学（k k和和c c的微分方程组和横截面条的微分方程组和横截面条件共同构成）件共同构成）（1 1）综合上两图，有以下相位图：）综合上两图，有以下相位图：（2 2）图中）图中 【证明【证明】 而收敛条件而收敛条件 故故 ，因此因此 。 （3 3）经济运行的位置分析）经济运行的位置分析 先注意先注意 与与 的如下变化关系：的如下变化关系：goldkk *)()( gnkfgoldgtkf)(*( 0)1 (gn)(*( )( tkfkfgoldgoldkk *)(tk)(tc)()()()()()( )()()()(tctctkgntkfgtkftktctdk

17、tdc 情形情形1 1：经济在某个时刻：经济在某个时刻t0t0进入左上区域（如图进入左上区域（如图3-3-4 4（1 1）；）； 情形情形2 2：经济在某个时刻：经济在某个时刻t0t0进入右下区域（如图进入右下区域（如图3-3-4 4（1 1）；）； 情形情形3 3：经济在某个时刻：经济在某个时刻t0t0位于位于c=0c=0或或k=0k=0曲线上曲线上（如图（如图3-43-4（1 1）；）； 情形情形4 4：经济在某个时刻：经济在某个时刻t0t0进入左下区域（如图进入左下区域（如图3-3-4 4（2 2）；）； 情形情形5 5：经济在某个时刻：经济在某个时刻t0t0进入右上区域（如图进入右上区

18、域（如图3-3-4 4（3 3）；）；（4 4）鞍形路径）鞍形路径 分析表明，经济运行过程中存在着唯一的一条路径通向分析表明，经济运行过程中存在着唯一的一条路径通向点点E E。经济沿着这条路径运行，最终必然趋向于点。经济沿着这条路径运行，最终必然趋向于点E E。我们。我们把这条通向点把这条通向点E E的路径叫做经济运行的鞍形路径（的路径叫做经济运行的鞍形路径（saddle saddle path,path,形似马鞍）。形似马鞍）。 趋势定理趋势定理：假定：假定RCKRCK经济的有效人均资本初始水平经济的有效人均资本初始水平k00k00，则则RCKRCK经济既不会进入左上区域，也不会运行进入右下

19、区经济既不会进入左上区域，也不会运行进入右下区域，从而只能沿着鞍形路径运行（即在任何时刻域，从而只能沿着鞍形路径运行（即在任何时刻t,t,都都有有 ，最终走向点，最终走向点E E： 且且 ）)()(tktc*)(ktkimlt*)(ctcimlt趋势定理存在的原因：趋势定理存在的原因：第一，最终资本存量必须为正；第一，最终资本存量必须为正；第二，超过资本黄金存量会使第二，超过资本黄金存量会使 发散，即发散，即家庭收入的现值无穷大于消费的现值，这与家庭收入的现值无穷大于消费的现值，这与 已已经是使家庭终生效用达到了最大化的有效人均终生消经是使家庭终生效用达到了最大化的有效人均终生消费相矛盾。费相

20、矛盾。因此，鞍形路径满足家庭的跨期消费最优化、资本存量因此，鞍形路径满足家庭的跨期消费最优化、资本存量的稳态、资本存量非负和家庭预算约束的要求。对于的稳态、资本存量非负和家庭预算约束的要求。对于任意任意k0k0，c0c0必须等于鞍形路径上的相应值，并沿着鞍必须等于鞍形路径上的相应值，并沿着鞍形路径收敛到均衡点形路径收敛到均衡点E E。)()()(vkeevgnvR0)(ttc五、五、RCKRCK经济运行的效率经济运行的效率 在在RCKRCK经济中，我们已假定了完全竞争，且分经济中，我们已假定了完全竞争，且分析的基础是经济个体实现个体最大利益。故，析的基础是经济个体实现个体最大利益。故，RCKR

21、CK经济运行在鞍形路径上是经济运行在鞍形路径上是经济有效经济有效的。的。六、平衡增长路径六、平衡增长路径 均衡点均衡点E(cE(c* *,k,k* *) )的解为：的解为： 因此模型中的各个变量的长期变动如下：因此模型中的各个变量的长期变动如下：gkf*)( *)(*)(*kgnkfc 结论结论： 将储蓄率内生化并没有改变索洛模将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路径的描述。因此，型中关于平衡增长路径的描述。因此，索洛模型关于经济增长的驱动力的解释索洛模型关于经济增长的驱动力的解释不依赖于储蓄率为常数的假定。即使储不依赖于储蓄率为常数的假定。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依然是蓄

22、率是内生的，外生的技术进步依然是人均产出持续增长的唯一根源。人均产出持续增长的唯一根源。七、修正的黄金资本存量七、修正的黄金资本存量 定理定理1 1：在拉姆齐模型中，人均资本存量：在拉姆齐模型中，人均资本存量k k收敛于收敛于k k* *，且低于索洛模型中的黄金资本存量，且低于索洛模型中的黄金资本存量k k* *, , 因此因此k k* *被称作被称作“修正的黄金资本存量修正的黄金资本存量”。 定理定理2 2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的平衡增长路径是不可能的。本存量的平衡增长路径是不可能的。 定理定理3 3：经济不收敛于产生最大：经济不收

23、敛于产生最大c c（即（即c(goldc(gold) )）的）的平衡增长路径，而是收敛于一个较低的水平平衡增长路径，而是收敛于一个较低的水平c c* *。八、贴现率的变动八、贴现率的变动 贴现率贴现率 变动的含义：相当于索洛模型中储蓄率的变动的含义：相当于索洛模型中储蓄率的变动。在家庭终生收入的限制下，如变动。在家庭终生收入的限制下，如 较高，则较少安排较高，则较少安排当前消费去换取较多未来消费；如当前消费去换取较多未来消费；如 较低，家庭会安排较较低，家庭会安排较多的未来消费。以下，以多的未来消费。以下，以 下跌为例来说明效应贴现率下下跌为例来说明效应贴现率下跌的效应。跌的效应。 比较静态：

24、由比较静态：由c c的稳态条件的稳态条件 可知，当可知，当贴现率贴现率 下降时，下降时，k k* *提高，因此提高，因此 线右移，导致线右移，导致c c和和k k* *都增加。都增加。 从收敛速度看，从收敛速度看，RCKRCK经济的收敛速度要比索洛经济的收经济的收敛速度要比索洛经济的收敛速度为快。敛速度为快。gkf*)( 0)(tc图示：图示：九、基本结论九、基本结论 1 1拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结论。的基本结论。 2 2索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于后者特殊的参数和稳态。须对应于后者特殊的参数和稳态。 3 3拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观的微观基础出发决定稳态的消费（储蓄）