求曲线的方程(教学设计)

1、求曲线的方程（2）（教学设计）教学目标：知识目标： 1.根据条件，求较复杂的曲线方程.2.求曲线的交点 .3.曲线的交点与方程组解的关系.能力目标 :1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力.2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质.情感目标：1.渗透数形结合思想.2.培养学生的辨证思维.教学重点1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y) 的关系式f(x,y)=0.2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题.教学难点1. 寻找“几何关系” .2. 转化为“动点坐标”关系 .教学方法启发诱导式教学法.启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径.教学过程一、复习回

2、顾：求曲线的方程( 轨迹方程 ), 一般有下面几个步骤:1. 建立适当的坐标系 , 设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y) ;2.写出适合条件 P的几何点集 : PM P(M) ;3.用坐标表示条件P(M ) , 列出方程f ( x, y) 0 ;4.化简方程 f ( x, y) 0 为最简形式 ;5.证明 ( 查漏除杂 ).说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤一定要到位 ,注意等价性即可.二、师生互动，新课讲解：（一）、直接法：,阐明步骤(2)、(3) 为关键步骤,说明 (5)步不要求书面表达,但思维由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这

3、等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法例 1： (1)求和定圆x2+y2=R2 的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程；(2) 过点 A(a ， o)作圆 Ox2+y 2=R2(a R o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹对 (1)分析：动点 P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或 |OP|=0解：（ 1）设动点P(x，y)，则有 |OP|=2R 或|OP|=0即 x2+y 2=4R2 或 x2+y 2=0故所求动点P 的轨迹方程为x2 +y2=4R2 或 x2+y 2=0（ 2）设弦的中点为 M(x ，y)，连结 OM ，则 O

4、MAM kOM ·kAM=-1 ，其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧 (不含端点 )变式训练1： .如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x， y)， PM y 轴，垂足为M，点 N 与点 P 关于 x轴对称且 OP ·M N 4，求动点P 的轨迹方程。22解： x4 y2 1（二）、代入法（ 相关点法）：若动点P(x ，y) 随已知曲线上的点Q(x0， y0) 的变动而变动，且x0、 y0可用x、 y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程这种方法称为相关点法( 或代入法)例 2：已知 ABC ，A( 2,0)，B(0， 2)，第三个顶点C

5、 在曲线 y3x21上移动，求 ABC 的重心的轨迹方程 2 0x1x3解析：设ABC 的重心为 G(x，y)，顶点 C 的坐标为 (x1，y1)，由重心坐标公式得，0 2 y1yx1 3x2，y1 3y2代入 y1 3x211，得 3y 2 3(3x 2)2 1.y 9x2 12x 3 即为所求轨迹方程3题后感悟 (1)代入法： 像本例将所求点M 的坐标代入已知曲线方程求得动点M 的轨迹方程的方法叫代入法(2)代入法求轨迹(曲线 )方程的基本步骤为设点：设所求轨迹上任意点M(x， y)，设动点 (已知轨迹的动点)P(x0， y0)x0 f x， y ，求关系式：求出两个动点的关系式y0 g

6、x， y .代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程变式训练2：已知 O 为直角坐标系原点，M 为圆x2 2y 23上的动点，试求MO 中点的轨迹方程。（三）、参数法： 如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量 (像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等 )的影响，此时，可先建立 x、y 分别与这个变量的关系，然后将该变量 (参数 )消去，即可得到 x、 y 的关系式例 3：过原点的直线与圆x2y 26x 5 0 相交于 A 、B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。解：设过原点的直线为y=kx ，弦 AB 的中点 M(

7、x,y)把 y=kx 代入 x2+y2-6x+5=0 得： x2+(kx)2-6x+5=0 即 : (1+k2)x2-6x+5=066kx 1x 23x2x 1 x 22y1 y 2 kx1 kx 2221k1 k1 ky1y23ky21k 2消去 k 得： y2=3x-x2弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为y2=3x-x2 。变式训练 3：x2m 2-二次函数 f ( x)( 2m 1) x1(mR)的顶点的轨迹方程是答案 :xy304（四）、 .两曲线交点问题 :例 4：已知抛物线 yx22xm 及直线 l : y2x ,当 m 为何值时 ,(1)有两个交点；(2)仅有一个交点；(3)无交

8、点 .分析：抛物线 C 和直线 l的交点个数与其方程构成的方程组的解的个数一一对应.解 :由 yx22x m消去 y 得y2 xx24xm 0(1) 抛物线C和直线 l 有两个交点 ,则方程有两根,所以424m 0 ,m 4. 故当m 4 时 ,抛物线 C 和直线 l 有两个交点 .(2) 同理 , m4 时 , 抛物线 C 和直线 l 仅有一个交点 .(3) 当时 ,抛物线 C 和直线 l 无交点 .:小结：1. 两条曲线交点的坐标应是两个曲线的方程的公共实数解. 即两个曲线方程组成的方程组的实数解 .2.两曲线交点个数与方程组的实数解一一对应.3、求曲线方程的几种方法三、课堂小结，巩固反思

9、：1、求曲线的方程( 轨迹方程 ), 一般有下面几个步骤:1. 建立适当的坐标系 , 设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y) ;2.写出适合条件P 的几何点集 : PM P(M) ;3.用坐标表示条件P(M ) , 列出方程f ( x, y) 0 ;4.化简方程 f ( x, y) 0 为最简形式 ;5. 证明 ( 查漏除杂 ).2、常用求轨迹方程的方法。四、分层作业：1 ABC 一边的两个端点是B(0 ， 6)和 C(0， -6)，另两边斜率的积是4 ，求顶点 A 的轨迹方程。9（注：暂不考虑变量的取值范围）22解： yx12点 P 与一定点F(2， 0)的距离和它到一定直线x=8 的距

10、离的比是1 2，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？解： x2y2116123. 已知曲线 C：y2x 1,定点 A(3,1),B为C上任一点 ,点 P为 AB中点 ,当B在 C上运动时 ,求 点的轨迹方程.P解: 令 P( x, y), B ( x1 , y1 ),3x1x,x12x 3,又 x1 122y1，1y1y.y12 y1.2所求 P点的轨迹方程是(2 x3)1 (2 y1)2 .4、已知点 M 到点 F(0,1) 和直线 l：y 1 的距离相等，求点M 的轨迹方程图 2解：设点 M 的坐标为 (x，y)，点 M 的轨迹就是集合PM|MF| |MQ| ，其中 Q 是点 M 到直线 y 1 的垂线的垂足 由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x2 y 1 2 |y 1|，将上式两边平方，得 x2 (y 1)2 (y 1)2，化简，得 y 14x2.下面证明方程是所求轨迹的方程(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程的解；122