微积分定理和公式

1、欢迎共阅、函数【定义1.1】设在某一变化过程中有两个变量X和y，若对非空集合D中的每一点x，都按照某一 对应规则f ,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数，记作x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域，y的取值范围即集合1y|y = f(x),xD?称为函 数的值域xoy平面上点的集合：(x, y) | y = f (x), x D :称为函数y=f(x)的图形.定义域D (或记Df )与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义 域与对应法则都相同.(二) 函数的几何特性1. 单调性(1) 【定义1.2】设函数f (x)在实数集D上有定义对于D内任意两点

2、X, x2，当x, V x2时，若总 有f(xj < f(X2)成立，则称f (x)在D内单调递增(或单增)；若总有f(xj V f(X2)成立，则称f (x)在 D内严格单增，严格单增也是单增.当f (x)在D内单调递增时，又称f (x)是D内的单调递增函数.单调 递增或单调递减函数统称为单调函数.2. 有界性【定义1.3】设函数f(x)在集合D内有定义，若存在实数M > 0,使得对任意x D,都有| f(x)| < M，则称f(x)在D内有界，或称f(x)为D内的有界函数.【定义1.4】设函数f(x)在集合D内有定义，若对任意的实数M > 0,总可以找到一 x D,

3、使得| f (x) | > M，则称f (x)在D内无界，或称f (x)为D内的无界函数.【定义1.5】设函数f(x)在一个关于原点对称的集合内有定义，若对任意x D,都有 f(-x)-f(x)(或 f(-x)=f(x),则称 f (x)为 D 内的奇(偶)函数.奇函数的图形关于原点对称，当f(x)为连续的函数时，f(x)=0,即f(x)的图形过原点.偶函数 的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设fjx) 一 f2(x)为奇函数，g1(x),g2(y)为偶函数,则f'x) 一 f2(x)为奇函数；g'x) _g2(x)为偶函数；f'x) 一 g&#

4、39;x)非奇偶函数；I fj(x) g1(x)为奇函数；fj(x) f2(x), g'x) °2(x)均为偶函数. 常数C是偶函数，因此，奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4.周期性【定义1.6】设函数f(x)d在集合D内有定义，如果存在非零常数T,使得对任意x D恒有 f(x f (x)成立,则称f (x)为周期函数.满足上式的最小正数T,称为f(x)的基本周期，简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.y二x -x是以1为周期的周 期函数.y =x与y=x-x的图

5、形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.(三) 初等函数1. 基本初等函数(1) 常数函数y=C,定义域为(-s ,+x),图形为平行于x轴的直线.在y轴上的截距为c.(2) 幕函数y =x,其定义域随着的不同而变化.但不论取何值,总在(1,+s)内有定义，且 图形过点(1,1).当> 0时，函数图形过原点(图1-2)图1-2(3) 指数函数 y = ： x(：. - 0,1),其定义域为(-g, + x).当0v v 1时，函数严格单调递减.当> 1时，函数严格单调递增.子数图形过点(0,1).微积分 中经常用到以e为底的指数函数，即y =ex (图1-3)(4) 对数函数y

6、 = log ：.x(： -0，篇胡),其定义域为(1,+g)，它与y三x互为反函数.微积分中 常用到以e为底的对数，记作y=1 nx,称为自然对数.对数函数的图形过点(1,0)(图1-4)(图 1-3)(图 1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数，不在考纲之内对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握，这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要. 例如，设f(x)在(a,b)区间内二阶可导,对任意x (a,b), f " (x) v0.则f ' (x)在(a,b)内严格单调减少；(2) f (x)在(1,b)上为凸弧，均不充分.此题可以用举例的方法来说明(1)、(2

7、)均不充分.由初等函数的图形可知，y=-x4为凸弧.y ' =-4x3在(g g + )上严格单调递减 但y" =-12x2 <0,因此(1) , (2)均不充分，故选E.此题若 把题干改成f (x) < 0,则(1) , (2)均充分，差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判 断非常便捷.2反函数【定义1.7】设函数y二f(x)的定义域为D,值域为R,如果对于每一个y R ,都有惟一确定的D与之对应,且满足y二f(x) x是一个定义在R以y为自变量的函数，记作并称其为y = f (x)反函数.习惯上用x作自变量，y作因变量，因此y = f(x)反函数常记

8、为y = f(x), R.函数y二f(x)与反函数yrf'(x)的图形关于直线y=x对称.严格单调函数必有反函数，且函数与其反函数有相同的单调性 十a%y二logax互为反 函.y =x2,x 0,+x的反函数为 y = . x ,而 y =x2,x (- ,0)的反函数为 y x (图 1-2 (b).3复合函数【定义1.8】已知函数y二f(u),u Df,y Rf .又u (x),x D ：AR ,若Df Rf非空，则称 函数为函数y = f(u)与u V:(x)的复合函数.其中y称为因变量,x称为自变量,u称为中间变量.4初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而

9、得到的一切函数统称为初等函数，初等函数在其定义域内有统一的表达式.(四) 隐函数若函数的因变量y明显地表示成y = f(x)的形式，则称其为显然函数.y =x2,y =1 n(3x2 - 1),y = ix2 -1 等.设自变量x与因变量y之间的对应法则用一个方程式 F(x,y)二0表示,如果存在函数y二f(x) (不论这个函数是否能表示成显函数)，将其代入所设方程，使方程变为恒等式：其中Df为非空实数集.则称函数y = f(x)由方程F(x,y)=0所确定的一个隐函数.如方程.xy =1可以确定一个定义在0,1上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式 即但并不是所有隐函数都可以用x的显函

10、数形式来表示，如exy x 0因为y我法用初等函数 表达，故它不是初等函数.另外还需注意，并不是任何一个方程都能确定隐函数，如x2 y2 1 = 0.(五) 分段函数有些函数，对于其定义域内的自变量x的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数，如 都是定义在( , + x)上的分段函数.分段函数不是初等函数，它不符合初等函数的定义.二、极限(不在考试大纲内，只需了解即可)二'I极限是微积分的基础.(一) 数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列，如a,a2务an称为通项.1. 极限定义【定义1.9】设数列a,当项数n无限增大时，若通项

11、a.无限接近某个常数A,则称数列；收 敛于A,或称A为数列忌？的极限,记作否则称数列：an匚发散或lim a.不存在.n 丫七2. 数列极限性质(1) 四则极限性质设lim n二a,|im yn =b,则(2) limau lim xn * =a ( k 为任意正整数).nJpC(3) 若lim.Xn =a,则数列U?是有界数列.(4) 夹逼定理设存在正整数No,使得No时，数列xn HynZn满足不等式Zn兰Xn兰yn. 若 lim yn 二 lim zn = a，则 lim 焉=a.禾利用此定理可以证明重要极限(1 丫lim 1e (e=2.718是一个无理数).nn(5) 单调有界数列必

12、有极限设数列 ；有界,且存在正整数No ,使得对任意n _ No都有Xn d < Xn (或Xn1 _Xn ),则数列：Xn的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限(1、lim 1 二 e (e = 2.718，是一个无理数). n(二) 函数的极限1. 时的极限【定义1.10】设函数f (x)在|x|_a (a 0)上有定义，当x；：时，函数f(x)无限接近常数A,f'：、J" ) 1则称f (X)当x ；:：:时以A为极限，记作I当Xr* 或X)-：时的极限当X沿数轴正(负)方向趋于无穷大，简记X : : ( x)-:：)时,f (x)无限接近常数A,则称f (X

13、) 当X小-'(X-.)时以A为极限，记作3. X； X0时的极限【定义1.11】设函数f (X)在X。附近(可以不包括X0点)有定义，当X无限接近X0(X = X0)时，函 数f(x)无限接近常数A,则称当X > X0时，f(x)以A为极限，记作4. 左、右极限若当X从X0的左侧(x :： x0)趋于x0时，f(x)无限接近一个常数A,则称A为X. x0时f (x)的左 极限，记作lim f(x) = A.或 f (冷0) = AXTK(T | 若当x从X0的左侧(X X0 )趋于X0时,f (x)无限接近一个常数A,则称A为X-； X0时f (x)的右 极限，记作 Ilim_

14、/(x) = A.或 f (x0 +0) = AxTx广(三) 函数极限的性质1 .惟一性若,lim f(x)二 A, lim f(x)=B 则 A=B.XiX)X2. 局部有界性若lim f (x) A.则在X0的某邻域内(点X0可以除外)，f(x)是有界的.X03. 局部保号性若lim f(x)二A.且A>0 (或A v0=,则存在x°的某邻域(点x°可以除外)，在该邻 Xio域内有 f (X) >0 (或 f (x) v0=。若lim f(x)二A。且在X。的某邻域(点X。可以除外)有f(x) >0 (或f(x) V0=,则必有A >0 xXo

15、(或 A < 0)。4 不等式性质若 lim f (x) = A,x_X°Xgw，且 A>B，则存在X0的某邻域(点X0可以除外),使 f(x)>g(x).若 lim f (x) = A,X0lim g(x)=B.且在x°的某邻域(点x°可以除外)有f(x) <g(x)或(f(x) <X >X0g(x)，贝U A< Bo5 四则运算同数列(四)无穷小量与无穷大量1 无穷小量的定义i【定义1.12】若lim f(x) = 0,则称f (x)是x > X0时的无穷小量。(若lim g(x)-:,则称f (x)是xX0时的

16、无穷大量)。XJX0 |2.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量 、' 、 3.无穷小量的运算性质(一-(i) 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量(ii) 无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。(iii) 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4. 无穷小量阶的比较I设 lim a(x) =0,lim - (x 0 ,X Jx0X 伙05. 等价无穷小常用的等价无穷小:X 0 是,xe -1 x, 1n(1 x) x,：x -1 x1n ： ,(1 x) - -1 ax等价无穷小具有传递性，即： (x)1(x)，又1(x)(X)等价无穷小在乘除时可以替换，即

17、：(x) ： *(x)/:(x) 1*(x),lim(或 X J：):(X)(X)limX >x0(或 x )：):(X)：*(x)第二讲函数的连续性、导数的概念与计算重点：闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算。三、函数的连续性(一) 函数连续的概念1两个定义【定义1.13】设函数y = f (x)的定义域为D,x° D。若lim f (x)二f (x°)，则称f (x)在xo点连 续；若f(x)在D中每一点都连续，则称f (x)在xo点右连续。【定义1.14】若lim f (x) = f (xo)，则

18、称f (x)在xo点右连续。若lim f (x)二f (xo)，则称f (x)在Xo点左连续。X Jxo_f (x)在Xo点连续二f (x)在Xo点既左连续又右连续。2连续函数的运算厂 I / /连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续，因而初等函数在其定义区间内处处连续。(二) 间断点1. 若lim f (x)与lim f (x)都存在，且不全等于f(x°)，则称x°为f (x)的第一类间断点。x )pxox Jxo其中若lim f (x)存在，但不等于f(x)(或f(x)在xo无定义)，则xo为f(x)的可去间断点。 若lim f(x)与lim f(x)都存

19、在，但不相等，则称X。为f(x)的跳跃间断点。XXX_xo2. 若lim f (x)与lim f (x)中至少有一个不存在，则称xo为f (x)的第二类间断点。X十XJX)(三) 闭区间上连续函数的性质若f (X)在区间a,b内任一点都连续，又lim f (x)二f (： ), lim f(x)二f (b)，则称函数f (x)在闭Xx=b-'ll区间a,b上连续。I I1. 最值定理设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上必有最大值M和最小值m,即存在a,b，使 f(xj = M,f(xJ =m,且 m 込 f(x)込 M ,x a,b。2. 价值定理设f(x)在a,b上连续，且

20、m,M分别是f(x)在a,b上最小值与最大值，则对任意的m,M， 总存在一点c a,b,使f(c)=k。【推论1】设f(x)在a,b上连续，m,M分别为最小值和最大值，且 mM<0,则至少存在一点 c a,b,使f(c) =0。【推论1】设f (x)在a,b连续，且f (a) f(b) < 0，则一定存在c a,b,使f(c)=0。欢迎共阅欢迎共阅推论1推论2又称为零值定理第二章导数及其应用一、导数的概念1 导数定义【定义2.1】设y=f(x)在xo的某邻域内有定义，在该邻域内给自变量一个改变量x ,函数值有相应改变量Ly = f (x0 ： =x) - f (x0)若极限存在,则

21、称此极限值为函数y=f(x)在xo点的导数，此时称y=f(x)在xo点可导,用dx |x= x()df (x)dyf"(x°).或y若y = f(x)在集合D内处处可导(这时称f(x)在D内可导)，则对任意X。，D,相应的导数(X。) 将随X。的变化而变化，因此它是x的函数，称其为y=f(x)的导函数，记作y ,或dy,或df(x).dxdx 丿,或x=x，或dyx x = x0表示.f(X)或2. 导数的几何意义_> # h 'L X" /若函数f(x)在点xo处可导，则f (xo)就是曲线y=f(x)在点(xo,yo)处切线的斜率，此时切线方程为

22、f ' Mir'y -y° = f (xo)(x -xo).iJ当f (xo) =o,曲线y=f(x)在点(xo,yo)处的切线平行于x轴，切线方程为y二yo二f (xo).若f(x)在点xo处连续，又当x； xo时f(x)-；心，此时曲线y=f(x)在点(xo,yo)处的切线垂直于x轴,切线方程为x=xo.3. 左、右导数*_ _ I【定义2.2】设f(x)在点xo点的左侧邻域内有定义 若极限 存在，则称此极限值为f(x)在点xo处的左导数，记为-(Xo)f (XoX)- f (Xo)- Z类似可以定义右导数.f(x)在点xo点处可导的充要条件是f(x)在点xo点处

23、的左、右导数都存在且相等，即f(Xo)存在二fXo) = f f(Xo)存在.右f(x)在(a,b)内可导，且仁(a)及口b)都存在，则称f(x)在a,b上可导.4. 可导与连续的关系若函数y = f (x)在Xo点可导，则f (x)在点Xo处一定连续. 此命题的逆命题不成立.邮导数定义,极限lim卫=lim 仝 x) - f(x°)存在可知，fg在X。点可导,I Ax3Ax必有 迥一 0，故f (x)在Xo点连续.但f (x)在Xo点连续只说明当 X- 0时,也有：.y- 0,而当Ay的无 穷小的阶低于 x时,极限即不存在，故f(x)在xo点不可导.只有紬与厶x是同阶无穷小，或勺是

24、比厶x 高阶的无穷小时1, f(x)在xo点才可导.例如，y = x3, y = x |在x = 0点连续，但不可导.二、导数的运算1. 几个基本初等函数的导数(1)y:二 c(2)y:a二 x ,(3)y:x二x ,(4)y:=log ax,y =0.* a_Jy = ax* xAxy = a 1na; y = e , yy¥ ; y" nx,x1nax二 e 1 y 二 x2.导数的四则运算(1)(2)(3)(4)U(x) .u(x)v(x)-u(x)v(x);_v(x)3.复合函数的导数设函数u二(x)在x处可导，而函数y二f(u)在相应的点u 在点x处可导，且v2(

25、x)二(x)处可导，则复合函数y二fu(x)d；=fW(x)r dy dy du0或 dx du dxc u(x)二 c u (x)；u(x) _v(x) =u (x) v (x)；u(x) v(x) = u (x) v(x) u(x) v(x)；4. 高阶导数(二阶导数)若函数区间(a,b)内可导，一般说来，其导数y>f (x)仍然是x的函数，如果y二f (x)1 d2f(x) dx2 ' dx2也是可导的，则对其继续求导数，所得的导函数称为f(x)的二阶导数，记为y： f (x), d【注】更高阶的导数MBA大纲不要求，二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及拐点 导 数的计

26、算要求非常熟练、准确第三讲微分、导数的应用重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、极值、最值的 求法三、微分1. 微分的概念【定义2.3】设y二f (x)在xo的某邻域内有定义，若在其中给xo 一改变量x,相应的函数值的改 变量冷可以表示为其中A与二x无关,则称f (x)在x0点可微，且称A x为f (x)在x0点的微分，记为 A x是函数改变量：y的线性主部.y = f(x)在X。可微的充要条件是f (x)在Xo可导，且dy=f"(xoAx).当f(x) = x时，可得X = xodx二x，因此由此可以看出，微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.(2) 微分的

27、几何意义当x由x0变到x0X时，函数纵坐标的改变量为.込，此时过x0点的切线的 纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy< y时切线在曲线下方，曲线为凹弧.当dy> ：y时切线在曲线上方，曲线为凸弧.图2-12 微分运算法则设u(x),v(x)可微，则一阶微分形式不变性：设y = f (x)是由可微函数y f (u)和u V(x)复合而成，则y二f L (x)关于x可微，且由于dy二f (u)du，不管u是自变量还是中间变量，都具有相同的形式，故称一阶微分形式不变.但导数 就不同了：若u是自变量,y f (u).若u是中间变量,u u(x),则y = fu ux.四、利用导数的

28、几何意义求曲线的切线方程求切线方程大致有四种情况，最简单的一种是求过曲线y = f(X)上一点(X。，f (xo)的切线方程,此时只需求出f(X。),切线方程为y - f(X。)= f (Xo)(x-X。).第二种情况是过曲线y = f(x)外一点(a,b),求曲线的切线方程，此时b= f(a).设切点为(x。, f (x。)，切线方程为y - f (x。)= f (x°)(x -x。),将点(a,b)代入方程中，有b - f (x。)= f (x°)(a -X。)从中求出x。,化成第一种情况的切线方程，若得到Xo惟一，则切线也不惟一.第三种情况是求两条曲线的公共切线，这两

29、条曲线可能相离，也可能相交.设两曲线为y = f (x)与 y =g(x)解题方法是设在两条曲线上的切点分别为(a, f (a), (b, g(b)这两点的切线斜率相等，从而有方程f (a)二 g (b).另外过点(a, f (a)的切线方程y f (a)二f (a)(x a)也过点(b,g(b),故有g(b) f (a)二 f (a)(b a)由、求出a,b,有了切点，切线方程也就可以写出来了 .第四种情况是求两条曲线在某公共点处的公切线设曲线y = f(ax)与y =g(x)在某点处相切，求a的值与切线方程.则可设切点为(x),g(x),从而有f(axo)=g(x°)(f(ax)

30、 丸仁)，X = Xo由两方程联和可得a的值及切点横坐标xo.即切点(xo,g(xo),再由第一种情况，写出切线方程.五、函数的增减性、极值、最值1. 函数的增减性的判定设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b)内可导，若f(x) .0或(x) ： 0),则f(x)在a,b上单 调增加(或单调减少)反之，若f (x)在(a,b) 上单调增加(或单调减少)且可导，则(x)0(或(x)空0). 二者的差异在于有没有等号.z 、 *、 12. 极值概念与判定【定义2.4】设f(x)在X。的某邻域内有定义,对该邻域内任意点X,都有f (x) > f(X°)(或f (x) >

31、 f(X°),则称f(«)为极大值(或极小值)X°为极大值点(或极小值点). 需要注意的是，极值点一定是内点，极值不可能在区间的端点取到.(1) 极值存在的必要条件：若f (x)在X0点可导，且X0为极值点，则f (X0)=0.因此,极值点只需在 f (x) =0的点(驻点)或f (x)不存在的点中去找，也就是说,极值点必定是f (x)=0或f (x)不存在的 点,但这种点并不一定都是极值点，故应加以判别.(2) 极值存在的充分条件，即极值的判别法，分为第一判别法和第二判别法.第一判别法用一阶导数判定.高f (x)在X0点连续,且f (x°)=0 (或f

32、 (X0)不存在).若存在0 , 使得当 X(X0-、,X0)时，有 f(x) >0(或 f(x)不存在)，当 X(X0,X0，)时，有f (x)<0(或 f (x)>0),此时X0为极大(极小)值点.f(X0)为极大(极小)值 若 f (x)在X0的左右不变号，则X0不是极值点.以上判别法用下表示意更清楚.X+极大值点一一极小值点+不是极值点+一不是极值点一第二判别法需用二阶导数判定，只适用于二阶导数存在且不为零的点，因此有局限性.当f &0)=0,若f "(x°) O则X0为极小值点 若f "(x°) ： 0 ,X°

33、;为极大值点，f "(x°) =0判别法失效, 仍需用第一判别法.3. 函数在闭区间a,t上的最大值与最小值极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质.求最大值与最小值只需找出极值的可疑点(驻 点和不可导点)，把这些点的函数值与区间的端点函数值比较，找出最大的与最小的即为最大值和最 小值，相应的点为最大值点和最小值点第四讲函数图形的凹凸性、拐点、不定积分重点：函数图形凹凸区间及拐点求法、找原函数的换元积分法和分部积分法六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定1概念【定义2.5】若在某区间内，曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下方，则称曲线在此区间内是 上凹的，或称为凹弧(简记为 )

34、；反之，切线位于曲线上方，则称曲线是上凸的，亦称凸弧(简记为),曲线凹、凸的分界点称为拐点2凹凸的判定设函数y=f(x)在区间(a,b)内二阶可导，若在(a,b)内恒有f (x)>0 (或f (x)<0),则曲线 y = f(x)在(a,b)内是凹弧(或凸弧).3拐点的求法与判定X / a 拐点存在的必要条件是f ”(Xo)=O或f ”(Xo)不存在(请与极值比较其共性).设f(x)在(a,b)内二阶可导,xo (ab), f(Xo) =o或f (x。)不存在若f (x)在Xo点的左右变号, 则点(xo, f (xo)是曲线y = f (x)的拐点,否则就不是拐点.由以上可以看出，

35、要求函数的单调区间和极值点，只要找出其一阶导数等于零和一阶导不存在的 点,设这种点一共有k个,则这个k个点把整个区间分成k+1个子区间，在每一个子区间内f(x)不变 号,由f (x)>O (或f (x) : O )判定f (x)在该子区间内单调递增(或递减),同时也可以将极大值点 和极小值点求出.求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶导数等于零或二阶导数不存在的点，然后用上面的方 法加以判定.第三章定积分及其应用一、不定积分1 不定积分概念【定义3.1】(原函数)若对区间I上的每一点x,都有 则称F (x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数.原函数的特性若函数f(x)有一个原函数F(x

36、),则它就有无穷多个原函数，且这无穷多个原函数可 表示为F (x) +C的形式，其中C是任意常数.【定义3.2】(不定积分)函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记作f (x)dx.若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则【定义3.3】(原函数的存在性)在区间I上连续的函数在该区间上存在原函数；且原函数在该 区间上也必连续.2. 不定积分的性质(1) 积分运算与微分运算互为逆运算(2) kf(x)dx 二k f(x)dx(常数k = 0)(3) f (x) _g(x)dx 二 f(x)dx_ g(x)dx3. 基本积分公式4. 求不定积分的基本方法和重要公式(1) 直接积分法所谓直

37、接积分法就是用基本积分公式和不定积分的运算性质，或先将被积函数通过代数或三角 恒等变形,再用基本积分公式和不定积分的运算性质可求出不定积分的结果(2) 换元积分法(I )第一换元积分法【公式3.1】若f (u)du二F(u) C，则厂 I ' / /= F(u) C F( (x) C .【说明】1°运算较熟练后，可不设中间变量u -：(x)上式可写作2°第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用它相当于将基本积分公式中的积分变量x用x的可微函数(x)替换后公式仍然成立.用第一换元积分法的思路* 、 -不定积分.f(x)dx可用第一换元积分法，并用变量替换u =

38、“X),其关键是被积函数g(x)可视为 两个因子的乘积且一个因子f ( (x)是(x)的函数(是积分变量x的复合函数)，另一个因子:(x)是(x)的导数(可 以相差常数因子).有些不定积分，初看起来，被积函数不具有上述第一换元积分法所要求的特征，在熟记基本积分 公式的前提下，注意观察被积函数的特点，将其略加恒等变形：代数或三角变形，便可用第一换元积分 法(II)第二换元积分法【公式3.2】f(x)dx量替换换令(t)(t)dt F(t) C量替换令【说明】第二换元积分法与第一换元积分法实际上正是一个公式从两个不同的方向运用第一换元法用第二换元积分法的思路令归若所给的积分.f(x)dx不易积出时

39、，将原积分变量换元法用新变量t的某一函数：(t)来替换，化成 以t为积分变量的不定积分.f(t)L(t)dt，若该积分易于积出，便达到目的。被积函数是下述情况，一般要用第二换元积分法： 11 °被积函数含根式naxF(a = 0,b可以是0)时，令n ax t，求其反函数。作替换x丄(tn-b)，可消去根式，化为代数有理式的积分2°被积函数含根式-,ea时，令 e_a=t，求其反函数，作替换x =1 n(t2_a)可消去根式。1被积函数含指数函数ax(或ex)，有时也要作变量替换：令ax =t(或ex = t)，设x二丄1 nt(或x =1 nt)，1na以消去ax(或ex

40、)。(3) 分部积分法【公式 3.3 】u(x)v(x)dx 二 u(x)v(x) - v(x)u (x)dx或【说明】分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用。用分部积分法的思路(1) 公式的意义欲求 uvdx 求vudx.(II)关于选取u和v用分部积分法的关键是，当被积函数看作是两个函数乘积时，选取哪一个因子为U二u(x),哪一个 因子为vv(x).般来说，选取u和V应遵循如下原则：1°选取作V的函数，应易于计算它的原函数；2°所选取的u和v要使积分vudx较积分uv dx易于计算；3°有的不定积分需要连续两次(或多于两次)运用分部积分法，第一次选作v (或

41、u)的函数,第二 次不能选由v (或u)所得到的v(或v).否则,经第二次运用，被积函数又将复原.(川)分部积分法所适用的情况由于分部积分法公式是微分法中两个函数乘积的求导数公式的逆用，因此，被积函数是两个函数乘积时，往往用分部积分法易见效.5. 求不定积分需要注意的问题(1 )由于初等函数在其有定义的区间上是连续的，所以每个初等函数在其有定义的区间上都有原1 1函数，但初等函数的原函数并不都是初等函数.例如e2,ex2,ex, 1等的原函数就无法用初等函数表1nx.I示.(2) 对同一个不定积分，采用不同的计算方法，往往得到形式不同的结果.这些结果至多相差一个常数，这是由于不定积分的表达式中

42、含有一个任意常数所致.第五讲重点：定积分的概念、性质、变限求导、牛顿-菜布尼兹公式、定积分的换元积方法和分部积分法二、定积分1 .定积分的定义【定义3.1】(定积分)函数f (x)在区间a,b上的定积分定义为bnI 二 a f(X)dX 二顾.°1 f ( i) X ,其中.：x =max| Xi |.由定积分的定义，可推出以下结论：(1)定积分只与被积函数和积分区间有关；bb定积分的值与积分变量无关，即f(x)dx = f (t)dt;baa(3) f (x)dx = - f (x)dx,特别地订 f (x)dx = O .定积分的几何意义设f (x)在a,b上边续，f (x)dx

43、在几何上表示介于i轴、曲线y= f (x)及直线x = a,x = b之间各 部分面积的代数和，在x轴上方取正号，在x轴下方取负号.利用定积分的几何意义，可以计算平面图形的面积，也是考纲中要求的定义应用内容.【定理3.2】(可积的必要条件)若函数f (x)在区间a,b上可积，则f(x)在a,b上有界.【定理3.2】(可积的充分条件)若函数f (x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积.【定理3.4】(可积的充分条件)在区间a,b上只有有限个间断点的有界函数f(x)在该区间上可 积.2. 定积分的性质/ I I设f (x) ,g(x)在a,b上可积bb(1) kf (x)dx =k f(

44、x)dx,k 为常数；bbb Jf(x)±g(x)dx =f(x)dx± Jg(x)dx;aaa对积分区间的可加性对任意三个数a,b,c,总有比较性质设f (x) g(x),x a,b,则bbf(x)dxE g(x)dx.特别地b1° 若 f(x) -0,Xa,b,则.f(x)dx0;*abb2° J f (x)dx 列| f(x)|dxaab(5) dx = b - a .a【定理3.5】(估值定理)若f(x)在a,b上的最大值与最小值分别为 M与m,则bm(b-a)空 f (x)dx 空 M (b - a).a【定理3.6】(积分中值定理)若f(x)

45、在a,b上连续,则在a,b上至少存在一点E，使ba f (x)dx 二 f ( )(b - a).1 b上式若写成f) 一 f (x)dx,该式右端称为函数f (x)在区间a,b上的平均值. b -a扫3. 微积分学基本定理【定理3.7】(原函数存在性定理)若函数f(x)在区间a,b上连续，则函数是f(x)在a,b上的一个原函数,即 d f x、:：J (x) a f (t)dt 二 f(x).dx r丿设(x)；- (x)可导【推论 1】设(x)= f(t)dt,则(x) = f (®(x)申"(x).(x)【推论2】设尬(x)f(t)dt,则(x)二 f ( (x) :

46、 (x) - f C (x)p (x).；(x)【推论3】(x)= f(t)g(x)dt,则- I'i-Qx)=Qx)(x)= |g(x) f(t)dt =g(x)Lf(t)dg(x)f(x)x).【定理3.8】(牛顿-莱布尼茨公式)若函数f(x)在区间a,b上连续，F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，则bj f(x)dx= F(x)La= F(b)-F(a).，是计算定积分的基本公式上述公式也称为微积分基本定理4. 计算定积分的方法和重要公式 I I.(1)直接用牛顿-莱布尼茨公式这时要注意被积函数f(x)在积分区间a,b上必须连续.(2)换元积分法【公式3.4】设函数f (x

47、)在区间a,b上连续，而函数x=F:(t)满足下列条件：1°：(t)在区间，订上是单调连续函数2°( ) =a, ( J -b;3°：(t)在二订上连续,欢迎共阅b|B则 af(x)dx 二 f( (t)(t)dt.该公式从右端到左端相当于不定积分的第一换元积分法；从左端到右端相当于不定积分的第二换元积分法，即用定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法思路是一致的作变量替换是，要相应地变换积分上下限(3) 分部积分法【公式3.5】设函数u(x),v(x)在区间a,b上有连续的导数，则bbbf u(x)v"(x)dx = u(x)v(x) - v(x)(x

48、)dx.站a用该公式时，其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外，当被积函数为变上限的定xb积分时，一般要用分部积分法 例如，设f (x) (t )dt,求a f (x)dx ,这时，应设u = f (x), dv二dx .(4) 计算定积分常用的公式1 ° T 扁2 _x2 x =才旧2.2°奇偶函数积分设f(x)在-a,a上连续，则厂 I / /a1 aa3° =f(x)dx =2 .f(x)f(-x)dx 二 0 f(x) f (-x)dx.计算定积分，当积分区间为-a,a时,应考虑两种情况：其一是函数的奇偶性；其二是作变量替换 x=-u,用上述公式

49、3° ,当公式右端的积分易于计算时，便达目的.4°周期函数积分设f(x)是以T为周期的周期函数，则a-TT/ f(x)dx = ( f(x)dx .5°若f(x)以T为周期且是奇函数，则第六讲,*'i : L 丿I Ij1I 重点：广义积分、利用定积分的性质还应平面图形面积(直角坐标系下).5. 广义积分i. |.b前面引进的定积分f (x)dx有两个特点：积分区间为有限区间；被积函数f(x)在a,b上为连续a函数或只有有限个第一类间断点,从而f(x)在a,b上是有界函数.广义积分是指具有下列两个特点之一的积分：积分区间为无穷区间；被积函数f (x)为有限

50、区间上的无界函数.MBA大纲只要求无穷区间上的积分.无穷积分在概率中广泛应用.无穷区间上的积分【定义3.4】函数f(x)在区间a,+s上有定义，在a,b(a<bv+x)上可积.若极限Ji gbf(x)dx存在,则称广义积分f (x)dx收敛,并规定a欢迎共阅若上述极限不存在，则称广义积分f (x)dx发散.类似地，广义积分 f (x)dx用极限的存在与否来定义它的敛散性函数f (x)在(二,=)上的广义积分，定义为其中c是任一有限数，任当等号右端的两个广义积分都收敛时，左端的广义积分才收敛；否则称它是发 散的6. 定积分的应用(求平面图形的面积)(1) 面积公式1 °曲线y二f

51、 (x)，直线x二a,x二b(a : b)及y二0所围图形的面积I Z2°曲线y = f (x), y = g(x)和直线x = a, x = b(a : b)所围图形的面积3°曲线x V:(y)，直线y =c, y =d(c : d)及x =0所围图形的面积4°曲线x二(y), x - * (y)和直线y二c, y = d(c : d)及x二0所围图形的面积(2) 解题程序1°据已知条件画出草图；2°选择积分变量并确定积分限：直接判定或解方程组确定曲线的交点；3°用相应的公式计算面积.【说明】选择积分变量时，一般情况下计算面积时，图

52、形不分块或少分块为好第七讲第四章多元函数微分学重点：一阶、二阶偏导数的计算(不含复合函数和隐函数)、二元函数无条件极值的求法(必要性和充分性).* F'| 性、I. I _J一、重要定义、定理及公式I1多元函数、极限与连续概念【定义4.1】(二元函数定义)以x,y为自变量,z为因变量的二元函数记作数对集D是函数的定义域，f是由(x,y)对应z的法则;若记Z二z|z二f(x,y),(x,y) D，则Z是函数 的值域.几何意义函数z =f(x,y),(x,y) D ,其图形是空间直角坐标系下一张空间曲面；该曲面在Oxy平 面上的投影区域就是该函数的定义域D.【定义4.2】(二元函数的极限)

53、函数z二f (x,y)在点P°(x0,y。)的某一邻域内除去点P。以外都有定义.如果动点P (x,y)与定点卩0(心丫0)之间的距离'二.(x-x。)2，(y-y0)2趋向于0时，f (x, y)趋向于一个常数A，那么就称A为P趋向于Po时函数f (x,y)的极限，记作欢迎共阅【定义4.3】(连续性)设函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，若则称函数f(x,y)在点Po连续；否则称函数f(x,y)在P间断.【定理4.4】(最值定理)有界闭区域D上的二元连续函数，在D上必有最大值和最小值2. 偏导数【定义4.5】(偏导数定义)函数z二f (x, y)在点(xo

54、，yo)关于x的偏导数记作fx(x°,y°),Zx(3% (Xo,y。)淀义为函数z= f(x,y)在点(xo，yo)关于y的偏导数记作f；(xo,yo),z*、，(xo,yo)、，色/、;定义为创(xo,yo)矽(xo,yo)函数z = f (x, y)在区域D内每一点(x,y)的偏导数分别记作偏导数存在与连续的关系二元函数f (x, y)在点F0(xo, yo)连续不是偏导数存在的必要条件；偏导数存在也未必连续. / J、”/1 I【定义4.5】(高阶偏导数)函数z = f (x, y)在偏导数竺 > 关于x和关于y的偏导数，称为&xcyf (x, y)的二阶偏导数，共有四个：【定理4.6】若函数z = f (x, y)的二阶混合偏导数fxy(x, y)和fyx(x, y)在区域D内连续，则必有fx；(x,y)= fy；(x, y).3多元函数的极值I I2I I【定义4.7】(二元函数极限定义)在函数z二f (x, y)有定义的