常微分方程应用举例

1、编辑课件常微分方程应用举例常微分方程应用举例编辑课件列微分方程的常用方法列微分方程的常用方法(1) 利用物理定律列方程利用物理定律列方程(2) 利用导数的几何意义列方程利用导数的几何意义列方程(3) 利用微元分析法列方程利用微元分析法列方程编辑课件例例 1 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 水从它的底部小水从它的底部小孔流出孔流出, 小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图). 开始开始时容器内盛满了水时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器求水从小孔流出过程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时随时间间t的变化规律

2、的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度因此因此 t,t+dt 内，流出体积为内，流出体积为)(,.12620dtghdV 编辑课件cm100horhdhh 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh dhhh)200(2 ,262. 0dtg

3、h 可分离变量可分离变量以下求解见以下求解见268页页等量关系：流出体积量体积减少量等量关系：流出体积量体积减少量现求体积减少量现求体积减少量编辑课件例例2 试设计一反光镜试设计一反光镜, 使它能将点光源发使它能将点光源发 出的光反射成为平行光出的光反射成为平行光解解轴轴绕绕设设反反光光镜镜镜镜面面由由曲曲线线xxyy)( 旋旋转转而而成成的的点光原位于坐标原点点光原位于坐标原点O,由点由点O发出的光线发出的光线经反射都成为平行于经反射都成为平行于x轴的平行光轴的平行光oyx由光的反射定律由光的反射定律 ),(yxMT A 编辑课件于是有于是有xAOytg 22yxOMAOxOMy 22yxx

4、y 根据导数的几何意义根据导数的几何意义 tgy 得到微分方程得到微分方程22yxxyy 一阶齐次一阶齐次变形为变形为)1(1)(222 yxyxyyxxdydx以下求解见以下求解见272页页编辑课件例例3. 绳索仅受绳索仅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图取坐标系如图. 考察最低点考察最低点 A 到到sg( : 密度密度, s :弧长弧长)弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件, 有有,cosHTsa1tanMsgoyx)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 设有一均匀设有一均匀, 柔软的绳索柔软的绳索, 两端固定两端固定, 问该绳

5、索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况弧段的受力情况: T A 点受水平张力点受水平张力 HM 点受切向张力点受切向张力T两式相除得两式相除得HA编辑课件MsgoyxHA211yya , aOA 设则得定解问题则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为原方程化为pdxad1两端积分得两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得则有则有axysh两端积分得两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为axaych)(2axaxeea悬悬 链链 线线a21p编辑课件解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢复力恢复力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo例例4. 编辑课件,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程