恒成立与能成立问题

1、第四节恒成立与能成立问题与“对 x，命题P(x)成立”有关的问题叫做恒成立问题；与“ x，命题P(x)成立” 有关的问题叫做能成立问题，又称存在性问题为了掌握这两种问题，先要熟悉它们的不同说法与“ f(x) g(x)恒成立”有关的说法：“ f(x)的图象总在g(x)的图象的上方” “无 论X取何值时f (x) g(x)都成立”，“对x， f (x) g(x)成立”，“ f(x) g(x)的解集 为R ”，“f(x) g(x)的解集为空集” ，等等.与"f (x) g (x)能成立”有关的说法：“存在x使f (x) g(x)成立”，“ f (x) g(x) 有解”，“ f (x) g

2、(x)的解集不为空集”，“ f(x) g (x)有意义”，等等说明：不等式有 f (x) g(x)、f (x) g(x)、f (x) g(x)、f (x) g (x)四种情形， 下面主要以f(x) g(x)情形分析一、不等式中的恒成立问题与能成立问题分析“恒成立问题”与“能成立问题”，首先以下面三个思维模型为依据1. 思维模型一 ：f(x) g(x)的几何意义为f (x)的图象在g(x)的图象的上方特别地，f (x) 0的几何意义为f (x)的图象在x轴的上方.比如ax2 2ax 1 0恒成2立，则y ax 2ax 1的图象在y 0 ( x轴)的上方2. 思维模型二：若g(a) f (x)恒成

3、立，则g(a)minf(x)max，这是在f(X)的最大值存在时的结论，如果f(x)没有最大值只有最大极限值M (即f(x) M )，则g(a)min M 这里设g(a)为仅含变量a的代数式，f (x)为仅含变量x的代数式，下同用比喻的方法掌握这个结论效果较好：某人身高比我们班的学生都高，那么他比我们班最高的学生高或者，某班学生的身高比我们班学生都高，那么该班最矮的学生比我们班最 高的学生高在这里，有一个说法与此说法容易混淆，要通过比较把它们区别开来(设f (x)、g(a)有最值)：容易混淆的 两个说法若 g(a) f(x)恒成立，则 g(a)minf (x)max 若函数f (x)满足f (

4、a) f (x)恒成立，则f ( x) max f (a).这个结论在数列中也常用，即数列an与an中，若bm an恒成立，则bm的最小值an的最大值；若am an恒成立，则an的最大值为am 3.思维模型三：若g(a) f (x)能成立，则g(a)max f (x)min，这是在f (x)的最小值存在时的结论，如果 f(X)没有最小值只有最小极限值M (即 f(x) M ), 一样有g( a) max M .比喻：某班存在学生的身高比我们班学生高，那么该班最高的学生比我们班最矮的学生高注意：比较复杂的恒成立与能成立问题的题目一般以下面四种形式出现(这是f(x)、条件结论备注对任意a ,对任意

5、x , g(a) f (x)成立g(a) minf ( X)max即g(a) f (x)恒成立存在a，对任意x，使g(a) f (x)成立g(a) maxf(X)max对任意a，存在x，使g(a) f (x)成立g (a)minf(X)min存在a，存在x，使g (a) f (x)成立g(a) maxf (x)min即g(a) f (x)能成立g(a)有最值时的情形，没有最值时需酌情加等号)常见问题如下:(一)无限制条件下的恒成立问题1一次不等式恒成立一次不等式f(x) kx b 0恒成立，则2二次不等式恒成立二次不等式f(x) ax2 bx c 0 ( a 0)恒成立，则0.其他恒成立的思维

6、方0法依此类推3 思维模型二的特殊情况a f (x)恒成立 a f (x)max ; a f (x)恒成立a f (x)min 这是在f ( x)的最值存在时的结论，如果没有最值则加等号，即a f (x)恒成立a f (x)恒成立a N ;a M f (x) (M ,N)f(x) (M ,N)(二)有条件限制下的恒成立问题形如“ f(x) 0在区间上m, n恒成立”称为有条件限制下的恒成立其中，条件“ f (x)0 ”可变为0, 0, 0 ”；“在m,n上”可变为“在 (，n)、(,n、(m,)、m,)、(m, n)、m, n)、(m, n上”等.1一次不等式在某区间上的恒成立(注意等号)f(

7、x) ax b 0在(m,n上恒成立f (m)0f(n) 0f (x) ax b 0在(m,n上恒成立f (m)0f(n) 0结论中的不区间没有其他条件下的依此类推， 一般来说，不等式有等号，区间无论有不有等号, 等式都有等号；不等式没有等号，区间有等号，结论中对应的不等式则没有等号， 等号，结论中对应的不等式则有等号 2.二次不等式在 某区间上恒成立若二次不等式f(x) ax2bxc 0 ( a 0 )在m,n上恒成立，则2af (m)b2af(0(或0)3.形如f (x)在区间上恒成立”型a f (x)在区间D上恒成立，且f (x)在区间D上的最大值M，则a；如果f(x)在区间D上没有最大

8、值只有最大极限值M，则aa f (x)在区间D上恒成立，且f (x)在区间D上的最小值M，则a；如果f(x)在区间D上没有最小值只有最小极限值M，则a4.形如"对任意x-i, x2f (xi) f(X2)恒成立”型函数f (x)定义在区间D上且在区间D上有最大值和最小值，若对任意f (xi)f区)恒成立，则a f (x) max f(x) min ； 若对任意x(, X2af (x-) f区)恒成立，则a 0.(三)能成立问题1 .形如"a f (x)型”的能成立af (x)能成立af (x)min ;如果f(x)没有最小值只有最小极限值M，则a M .af (x)能成立a

9、f(x)max ;如果f (x)没有最大值只有最大极限值M，则a M .2.形如"对任意x，存在a使不等式成立”型对任意x，存在a使g(a)f(x)成立g(a)maxf ( X) max ；如果f (X)没有最大值只有最大极限值 M，则g(a)maxM .对任意x，存在a使g(a)f (x)成立g (a)minf (X)min ；如果f (x)没有最小值只有最小极限值 M，则g(a)minM .3.形如“存在xi,x2 D使af(xd f(X2)成立”型函数f (x)定义在区间 D上且在区间 D上有最大值和最小值，若存在x1,x2 D使f (xi)f(X2)成立，则 a 0；若存在为必 D使af (xi)f(X2)成立，则a f(x) max f(x) min二、等式中的恒成立与能成立问题1.等式中的恒成立问题,可参见第四章“多项式的恒等”所述；比如，对任等式中的恒成立问题即恒等式问题意x若a x2 1恒成立，则a ；2a 1又如，对任意x若a ksinx 1恒成立，则k o2.等式中的能成立问题设A、B分别是g(a)与f (x)的值域，则(1) 若af (x)能成立，则a B