自动控制原理 第5章 频率法_2-1

1、15 5-2 -2 系统开环频率特性系统开环频率特性典型环节典型环节频率特性频率特性(7(7种种) )幅相曲线幅相曲线伯德图伯德图开环系统开环系统频率特性频率特性幅相曲线幅相曲线伯德图伯德图25.2.1 5.2.1 典型环节的幅相曲线典型环节的幅相曲线 以角频率以角频率w w为参变量，当为参变量，当w w=-=- + + 变化时，变化时，将系统的频率特性绘制在复平面上所得的曲线，将系统的频率特性绘制在复平面上所得的曲线，简称为简称为幅相曲线幅相曲线。 它是关于实轴对称的，通常只画出它是关于实轴对称的，通常只画出 w w =0 =0+ + 的部分，并用箭头标明的部分，并用箭头标明w w增大的方向

2、。增大的方向。3KjG)(wKsG)( 传递函数： 频率特性：. 0w0mIKeR图5-4 比例环节的幅相曲线频率特性如图5-4所示。KjGA)()(ww00)()(wwjG其幅频特性和相频特性分别为其幅频特性和相频特性分别为1、比例环节、比例环节4(2) 对数频率特性对数频率特性 对数幅频特性是一条平行于横轴对数幅频特性是一条平行于横轴的直线，其纵坐标为的直线，其纵坐标为20lgK。 当当K1时，时，20lgK0，位于横轴上方；，位于横轴上方； 当当K=1时，时，20lgK=0，与横轴重合；，与横轴重合； 当当K1时，时，20lgK0，位于横轴下方。，位于横轴下方。 比例环节的相频特性是比例

3、环节的相频特性是 它是一条与角频率它是一条与角频率w w无关且与无关且与w w轴重合轴重合的直线。的直线。KjGLlg20)(lg20)(ww00)()(wwjG010110Klog20dB)(wL101001000w100w1000000100900180度）（w10图5-21 比例环节的Bode图5当有当有n个放大环节个放大环节串联串联时，即：时，即： G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)幅值的总分贝数为幅值的总分贝数为 nKKKjG21)(wnKKKjGLlg20lg20lg20)(lg20)(21ww6 对应的频率特性：对应的频率特性： 幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分

4、别为 （5-175-17） （5-185-18） ssG1)(wwjjG1)(wwww11)()(jjGA0900)()(wwwarctgjG图5-5 积分环节的幅相曲线eRmIw0wG0902、积分环节、积分环节0+w0+w Gjw w Gjw w 2/ 2/ 2/ 1/w w7积分环节频率特性的特点：积分环节频率特性的特点：积分环节属于积分环节属于相角滞后相角滞后环节，环节，对正弦信号有900的滞后作用；幅相曲线与负虚轴重合。幅相曲线与负虚轴重合。8对数幅频特性是：对数幅频特性是：wwwwlg201lg20)(lg20)(jGL当 时， ；当 时， ；当 时， 。1 . 0w)(201 .

5、0lg20)1 .0(lg20dBjG1w)(01lg20) 1(lg20dBjG10w)(2010lg20)10(lg20dBjG(2) 对数频率特性对数频率特性斜率为-20(5-35)设设 ，则有，则有 可见，可见，积分环节的对数幅频特积分环节的对数幅频特性是一条在性是一条在w w=1（弧度（弧度/ /秒）处秒）处穿过零分贝线（穿过零分贝线（w w轴），斜率为轴），斜率为-20dB/dec的直线的直线。 积分环节的相频特性是积分环节的相频特性是 ww10wwwlg202010lg20lg20090)()(wwjG是一条与是一条与无关，值为无关，值为-90-900 0且平行于且平行于轴的直线

6、。轴的直线。604002020dB)(wL01. 01 . 0110wdecdB/2001. 01 . 0110w000900900180度）（w 图5-22 积分环节的Bode图(5-36)10引申引申i)此时，此时，即将积分环节的幅频曲线平移即将积分环节的幅频曲线平移20lgK (dB)， 因此其幅频曲线是在因此其幅频曲线是在w w =K处穿过处穿过0dB线，线，斜率仍为斜率仍为-20dB/dec的直线。的直线。 w1w1时，时，L(w w)=20lgK (dB) TssKsG1)(wwwlg20lg20lg20)(KKL引申引申ii) n个积分环节串联时，个积分环节串联时，即即 其对数幅

7、频特性为其对数幅频特性为 这是一条斜率为这是一条斜率为-n20dB/dec，且在且在w w=1=1（弧度（弧度/ /秒）秒）处过零分贝线处过零分贝线（w w轴）的直线。其相频特性是一轴）的直线。其相频特性是一条与与条与与w w轴平行的，值为轴平行的，值为- -n90900 0的的直线。直线。njjG)(1)(wwwwwwlg201lg20)(lg20)(njGLn090)()(njGww090001 . 010180090度）（w01. 0040decdB/40dB)(wL01. 01 . 0110w图5-13 两个积分环节串联的Bode图w1213 频率特性为：频率特性为： （5-195-1

8、9） 幅频特性和相频特性分别是幅频特性和相频特性分别是（5-205-20）（5-215-21）11)(TssG11)(wwjTjG3、惯性环节、惯性环节2211)()(wwwTjGAwwwTtgjG1)()(14 当当 时，时， ； 当当 时，时， ； 当当 时，时， 。 当当=0=0+ + 时，惯性环节的频率特性正实轴下方时，惯性环节的频率特性正实轴下方的半圆，圆心的半圆，圆心(1,0)(1,0)，半径为，半径为1/2。证明：证明： 令令 ， 0w1)0(jG00)0(jGT1w707.021)1(TjG045)1(TjGw0)(jG090)(jG222211111)(wwwwwTTjTjT

9、jG2211)(wwTR221)(wwwTTI15 则有则有 这是一个标准圆方程，其圆心坐标是这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 ，半径为半径为 。且当。且当由由 时，时， 由由 ，说明惯性环节的频率特性在说明惯性环节的频率特性在 平面上是实轴下平面上是实轴下方半个圆周。方半个圆周。2222222222112111)(21)(wwwwwTTTIR0,21210)(wjG00900)(wjG16当惯性环节传递函数的分子当惯性环节传递函数的分子是常数是常数K K时，即时，即时，其频率特性是圆心为时，其频率特性是圆心为 ，半径为半径为 的实轴下方半个圆周。的实轴下方半个圆周。1)(wwjTKjG0,2

10、K2K0w=0R(w)jI(w)w= 图5-6(a) 惯性环节的幅相曲线10450KK/2T/1w 图5-6(b) 惯性环节的幅相曲线mIeRw0w17一阶惯性环节频率特性的特点：一阶惯性环节频率特性的特点：惯性环节是一个惯性环节是一个低通滤波低通滤波环节和环节和相位滞后相位滞后环节。环节。在低频范围内，对输入信号的幅在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，相位滞后也小；值衰减较小，相位滞后也小；在高频范围内，幅值衰减较大，在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为滞后相角也大，最大滞后相角为90900 0。18对数幅频特性是：对数幅频特性是： 令令w w=0+ ，依次取值，计算

11、出相应的依次取值，计算出相应的对数幅值对数幅值L(ww，利用描点法即可绘制出较为，利用描点法即可绘制出较为精确的对数幅频曲线。精确的对数幅频曲线。(2) 对数频率特性对数频率特性22221lg2011lg20)(lg20)(wwwwTTjGL19w wL(w w)/dB0201/T 20dB/decw w 90 (w w)/()04520相频特性曲线是一条由相频特性曲线是一条由 0 00 0至至-90-900 0范围内变化的反范围内变化的反正切函数曲线，且以正切函数曲线，且以 和和 的交点为的交点为斜对称。斜对称。相频特性为：相频特性为： (w w) = arctanw wT w wT = 0

12、 (w w) = 0 w wT = 0.3 (w w) = 16.7 w wT = 0.8 (w w) = 38.7 w wT = 1 (w w) = 45 w wT (w w) = 90T1w045)(w 上述两条直线在上述两条直线在w1/w1/T 处相交，该点频率称为惯性环节的处相交，该点频率称为惯性环节的或者或者。工程上常用简便的作图法来得到工程上常用简便的作图法来得到L(ww曲线，方法如下：曲线，方法如下：T1w)(01lg20)(22dBTLww即当频率很低时，即当频率很低时， L(ww可用零分贝线近似；可用零分贝线近似； T1w)(lg201lg20)(22dBTTLwww即在频率

13、很高时，即在频率很高时， L(ww可近似为一条在可近似为一条在w1/w1/T处穿过零分处穿过零分贝线，斜率为贝线，斜率为-20(dB/dec)的直线。的直线。 22ww渐近特性decdB/20精确特性图5-24 惯性环节的Bode图)(w)(wLdb1001020T1201T1101T151T1T12T110T12000045090 由图可见，距离转折由图可见，距离转折频率频率 愈远愈远 ， 用渐近线表示对数幅频特用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大。线的误差愈大。T1w23用渐近线近似表示用渐近线近似表示L

14、(ww，必然存在误差，记作：，必然存在误差，记作：其中其中L(ww为精确值，为精确值， La(ww为近似值，因此：为近似值，因此：)()()(wwwaLLLTTTTTL1,lg201lg201,1lg20)(2222wwwwww根据上式计算出的误差，可绘制如图所示的误差曲线：根据上式计算出的误差，可绘制如图所示的误差曲线：24在转折频率处的误差最在转折频率处的误差最大，约为大，约为-3dB；误差主要存在于转折频误差主要存在于转折频率率 上下十倍频程范上下十倍频程范围内围内, ,十倍频以上的误十倍频以上的误差极差极小，可忽略。小，可忽略。db01234T1101T151T121T1T12T15T

15、110惯性环节对数幅频特性误差修正曲线惯性环节对数幅频特性误差修正曲线T1w252640db0.1110w Lww20db惯性环节惯性环节20db0.22200db-20db-40db8db15 . 01)(ssG410)(ssG2790 -90 -45 ww 0w惯性环节惯性环节45 4 228 振荡环节的传递函数为：振荡环节的传递函数为： 其频率特性是其频率特性是 幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为 121)(22TssTsGwwwwwTjTTjTjG2)1 (1121)(22222222224)1 (1)(wwwTTA(5-25)(5-26)4、振荡环节、振荡环节nTw1(

16、5-24)2212)(wwwTTarctg29(3) (3) 当当w w 时，时， 说明幅相曲线的终点为原点，且在第三象限说明幅相曲线的终点为原点，且在第三象限 趋近原点；趋近原点； (1) (1) 当当w w 0 0 时，时， ， ； 表明幅相曲线的起点为实轴上的表明幅相曲线的起点为实轴上的(1,0)(1,0)这点；这点； 0)(, 1)(wwA90)(,21)(wwA180)(,0)(wwA(2) (2) 当当w w 1/T= w wn 时，时， 说明该点为说明该点为。 30根据以上分析，可绘制出不同根据以上分析，可绘制出不同 值的幅值的幅相曲线，如图所示：相曲线，如图所示：nwnwrM0

17、nwnwr0wmIwrw1eR G图5-7 振荡环节的幅相曲线21 减小减小310ReG(j)ImG(j)1ABA:2212121 w ww w rnrAB:onnA90)(21)( w w w w2222)(nnnsssGw w w ww w 振荡环节G(j)32谐振 由图可见，当由图可见，当 较小时，幅频特性较小时，幅频特性A(w w)随着随着w w的的增加，先增大后减小，当增加，先增大后减小，当w w 时衰减至零，也就时衰减至零，也就是说在某一频率下，是说在某一频率下，A(w w)达到最大值，这一现象称达到最大值，这一现象称为为谐振谐振， 和和 可由可由幅频特性的极值方程解出。幅频特性的

18、极值方程解出。 令：令： 解得：解得：)1(rrMMrw041)(222222wwwwwTTddAdd)210(2121122wwnrT(5-27)33将将w wr代入代入A(w w)得到谐振峰值得到谐振峰值Mr 为：为：)210(121)(2wrrAM(5-28)(wM0wcwrwrM 振荡环节的幅频特性1nw2 . 09 . 05 . 034谐振现象分析： =0 =0 时，时，w wr w wn，Mr= ，表明此时谐振发生，表明此时谐振发生在在w wn上，谐振峰值为上，谐振峰值为 ，振荡环节处于临界稳，振荡环节处于临界稳定状态；定状态；00.707 时，不会出现谐振，随着时，不会出现谐振，

19、随着w w的增加，的增加， A(w w)单调衰减；单调衰减；351振荡环节的相频特性：振荡环节的相频特性： 始终为负角，因此是一个滞后环节，相位始终为负角，因此是一个滞后环节，相位滞后随着滞后随着w w增加而增加，且与阻尼比增加而增加，且与阻尼比 有关，有关，最大滞后角为最大滞后角为-180度。度。2212)(wwwTTarctg当振荡环节传递函数的分子是常数当振荡环节传递函数的分子是常数K时，即：时，即： 它的幅相曲线的起点？它的幅相曲线的起点？12)(22TssTKsG36对数幅频特性：对数幅频特性：2222)2()1 (lg20)(lg20)(TTALwwww(5-43)T1w)(01l

20、g20)(dBLw即在低频段，即在低频段， L(ww可用零分贝线近似；可用零分贝线近似； T1w)(lg40)(lg20)(222dBTTLwww即在高频段，即在高频段， L(ww可近似为一条在可近似为一条在w1/w1/T处穿过零分贝线，处穿过零分贝线，斜率为斜率为-40(dB/dec)的直线。的直线。 37 由这两段直线构成振荡环节对数幅频特性的渐近线，由这两段直线构成振荡环节对数幅频特性的渐近线，它的它的转折频率转折频率为为w w w wn1/1/T T 。其中其中w wn 为振荡环节的无为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，它也是渐近线的转折（交接）频率。阻尼自然振荡频率，它也是渐近线的转折（

21、交接）频率。0decdB/404020dB)(wL 高频渐近线T1101T1T110w低频渐近线 图5-25 振荡环节对数幅频特性的渐近线38用渐近线近似表示用渐近线近似表示L(ww，必然存在误差，记作：，必然存在误差，记作：其中其中L(ww为精确值，为精确值， La(ww为近似值，因此：为近似值，因此：)()()(wwwaLLLTTTTTTTL/1,lg40)2()1 (lg20/1,)2()1 (lg20)(22222222wwwwwwww根据这一表达式，可绘制误差曲线：根据这一表达式，可绘制误差曲线：39 渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析

22、如下：当当 时，时， ，它是阻尼比它是阻尼比的函数；的函数；当当 =1时为时为-6（dB），），当当 =0.5时为时为0(dB)，当当 =0.25时为时为+6(dB)；T1wwww2lg204)1 (lg201222222TTT0 . 18 . 0 图5-26 振荡环节对数幅频特性误差修正曲线db1612840481 . 02 .03 . 04 . 06 . 08 . 00 . 123468 1005. 01 . 015. 02 . 025. 03.04 . 05 . 06 . 00 . 140 由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比 的函数，的函数，且以转折频率且以转折频率 为对称，距离转折频率愈远误差愈小。为对称，距离转折频率愈远误差愈小。 通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计。 由图由图5-195-19可看出，振可看出，