排列组合分类加法与分步乘法计数原理

1、多练岀技巧巧思岀硕果两个计数原理【知识网络】知识点内容分类加法计数原理完成一件事，可有n类办法，在第一类办法中有 m种方法，在第一类办法中有 m种方法，在第 n类办法中有 m种方法，则完成这件事情，共有 “二种不冋的方法.分步乘法计数原理元成一件事情需要经过 n个步骤，缺一不可，元成第一步有 m 种不冋的方法，完成第二步有 ni种不冋的方法，完成第 n 步有m种不冋的方法，那么完成这件事情共有 “二 种不冋 的方法.区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，联系：都涉及的不同方法的种数。区别：分类加法计数原理与有关，各种方法，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与有关，各个

2、步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成【典型例题】题型一、分类加法计数原理例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（ ）A.6B.5C.3D.2例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个【变式练习】1. 若a, b N,且a+ bw 5,则在直角坐标平面内的点（a, b）共有个.2. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个?例3、有不同的语文书 9本，不同的数学书 7本，不同的英语书 5本，从中选出不属于同一 学科的书2本，则不同的选法有（）A. 21 种 B . 315 种 C . 143 种 D . 153 种

3、例4、某同学有同样的画册 2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（）.A. 4 种 B . 10 种 C . 18 种 D . 20 种方法总结分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理【变式练习】1 .某校开设10门课程供学生选修，其中 A, B, C三门由于上课时间相同，至多选一门学 校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A. 120B . 98 C . 63 D .

4、562.某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为 60元、70元的电脑软件和电脑元件,根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）A.5B.6C.7D.8与正八边形有公共边的三角形3. 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中, 有个.4. 由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有（）.A. 238 个 B . 232 个 C . 174 个 D . 168 个例5、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数

5、为（）A. 10B.11C.12D.15【变式练习】1. 为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从 10名办公室工作人员中裁去 4人，要求甲、 乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为 .2. 在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植 A、B两种作物，每种种植一垄，为有利 于作物生长，要求 A B两种作物的间隔不少于 6垄，不同的选法共有多少种。3.有4人各写一张贺卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不 同取法？题型二：分步乘法计数原理例6、(1)四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？(2)四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种?例7、

6、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，贝U甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有().A. 6 种 B . 12 种 C . 24 种 D . 30 种例8 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 个(用数字作答).方法总结此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种， 求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事简单说使用分步计数原理 的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”.【变式练习】1. 从一1, 0, 1, 2这四个数中选三个不同的数作为函数f (x) =ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有 个，其

7、中不同的偶函数共有 个(用数字作答)2. 从集合1 , 2, 3,，10中，选出由5个数组成的子集，使得这 5个数中的任何两个数 的和不等于11,这样的子集共有多少个 ？例9、由数字1,2,3,4 ,(1) 可组成多少个3位数；(2) 可组成多少个没有重复数字的3位数；(3) 可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数 字.例10、（1）5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？（2）5名学生争夺3项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数有多少？本题给出解决探究2 解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么？怎样才能完成计数

8、, 此类问题的一种方法：住店法.【变式练习】1. 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有 种行车路线.A.24B.16C.12D.102. 设集合 M 3, 2, 1,0,1,2 , Ra, b）是坐标平面上的点，a, b M P可以表示 平面上多少个不同的点？ 第二象限内的多少个点？ 不在直线y=x上的多少个点？3. （1）三封信投入到4个不同的信箱中，共有 种投法.（2）动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？4.乘积(a1a2a3)(bib2b3)(C|c2C3c4C5)展开后共有多少项?5.8本不同的书，任选 3本分给3位

9、同学，每人1本，有多少种不同的分法?考点三：分类与分步综合之简单的面的涂色问题例11、如图，用5种不同的颜色给图中 A、B C D四个区域涂色，规定每个区域只涂种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？方法总结涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类. 涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理.例12、图为四棱锥 P-ABCD用四种不同的颜色涂四棱锥的各个面，每个面只用一种颜色涂，要求相邻两面不同色，有多少种涂法？【变式练习】1. 如图,要给地图A、B、C D四个区域分别涂上

10、3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜 色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色 ，不同的涂色方案有多少种？2如图，一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）排数问题例13、 用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的:（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（ 3）四位奇数？ （ 4）比2000大的四位偶数?五、课后习题（40分钟，共50分）一、选择题（每小题5分，共25分）1.如图，A、B C D为四个村庄， 要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，则不同的修筑万案共有（).©A.

11、8种B. 12 种C.16种D. 20 种2. 如图，用6种不同的颜色把图中A B颜色，则不同的涂法共有（）.A. 4 00 种B. 460 种C. 480 种D. 496 种C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种3. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）.A. 20 种 B . 30 种 C . 40 种D. 60 种4. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）.A. 16 种 B . 18 种 C . 37 种 D . 48 种5. 4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有 （）.A. 12 种 B . 24 种 C . 30 种 D . 36 种二、填空题（每小题5分，共10分）6. 五名学生报名参加四项体育比赛， 每人限报一项，则报名方法的种数为.五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），获得冠军的可能性有 种.7. 如图所示2 2方格，在每一个方格中填入一个数字，