第六章概率分布

1、第六章概率分布孙丽平 第一节概率的基本概念第二节正态分布第三节二项分布第四节抽样分布第一节概率的基本概念一、什么是概率二、概率的基本性质三、概率分布类型第一节概率的基本概念一、什么是概率（一）定义概率:随机事件出现可能性大小的客观指标随机事件：又叫随机现象，指在一定条件下可能出现也可能不出现的事件。在心理与教育研究中，大部分现象属于随机事件我们队将可能赢得今晚的这场比赛。今天下午下雨的机会有40。这个冬天的周末我很可能有个约会。如果我在教职员停车区停车，我可能会收到一张传票。我有50比50的机会通过今天的化学考试。（二）概率分类1、先验概率（1）定义：随机事件的概率按古典概率模型推算而得（2）

2、条件：实验的每一种可能结果是有限的（结果类别有多少种确定） 每一个基本事件出现的可能性相等（等可能性）（3）举例：抛硬币，抽扑克2、后验概率（1）定义：以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为后验概率（2）特点： 当观测次数无限增大时，计算出的概率估计值越趋近真实的概率值 当进行多次观测时，按观测结果计算的概率基本接近先验概率（3）举例：一年中下雨天试验在相同条件下，对事物或现象所进行的观察例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数试验具有以下特点可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验

3、结束之前，不能确定该次试验的确切结果二、概率的基本性质（一）概率的公理系统1、任何一个随机事件A的概率都是非负的2、在一定条件下必然发生的必然事件的概率为13、在一定条件下必然不发生的事件，即不可能事件的概率为0注意：公理2、3的逆定理不成立（二）概率的加法定理加法定理：指两个互不相容事件A、B之和的概率，等于两个事件概率之和，写作P（A+B）=P(A)+P(B)互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件A发生则事件B就不一定发生，否则二者为相容事件互不相容事件特点：无论互不相容事件有多少，其总和的概率永远不会大于1设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报

4、纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 （三）概率的乘法定理乘法定理：两个独立事件同时出现的概率等于该两事件概率的乘积独立事件：一个事件的出现对另一个事件的出现不发生影响设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？三、概率分布类型（一）什么叫概率分布概率分布：对随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函数）进行描述（二）分类1、根据随机变量是否具有连续性，分为离散分布和连续分布离散分布：离散随机变量的概率分布，最常用的是二项分布连续分布：连续随机变量的概率分布，最常用的是正态分布2、根据分布函数的来源而划分为经验分布和理论分布经验分布

5、：根据观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。经验分布往往是总体的一个样本，它可对所研究的对象给以初步描述，并作为推论总体的依据理论分布（1）随机变量概率分布的函数是数学模型 （2）按某种数学模型计算出的总体的次数 分布3、根据概率分布所描述的数据特征划分为基本随机变量分布与抽样分布基本随机变量分布：二项分布和正态分布抽样分布：样本统计量的理论分布。样本统计量有：平均数、标准差、方差、相关系数、回归系数、百分比率第二节正态分布一、正态分布及其特征（一）定义正态分布又叫常态分布，是连续随机变量概率分布的一种，是在数理统计的理论与实际应用中占有最重要地位的一种理论分布。（二）正态分布

6、曲线函数y = 随机变量随机变量 X 的频数的频数 ,叫概率密度，即正态分布的纵坐叫概率密度，即正态分布的纵坐标标 = 总体方差总体方差 =3.14159; e = 2.71828X = 随机变量的取值随机变量的取值 (- X ) = 总体均值总体均值如果随机变量如果随机变量x的概率密度函数为上述表达式，则称的概率密度函数为上述表达式，则称x服从服从正态分布，写为正态分布，写为f(x)不是概率密度函数 y表示X 的所有取值 x 及其频数y在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积xab（三）正态分布的特征5、方差相等、

7、均数不等的正态分布图6、均数相等、方差不等的正态分布图7、正态曲线下的概率规律 7、在正态分布曲线下，标准差与概率有一定的关系。在正态分布中，平均数上下各延伸一个标准差，包括总面积的68.26%，意即正态分布中，从-1s到1s包括了68.26%的个案。正负1.96个标准差之间，包括了总面积的95%。正负2.58个标准差包含总面积的99%28三、标准正态分布（一）概念1、一般的正态分布取决于均值和标准差 2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表（二）标准正态分布的重要性（三）标准正态分布表

8、的编制与使用1、编制原则从Z=0开始，逐渐变化Z分数，计算从Z=0至某一定值之间的概率。因为正态分布是对称分布，且对称轴为过=0，即Z=0点的纵线，故当Z0时的相对应的Z分数下的概率值相等。正态分布表一般包括3栏：第一栏是Z分数单位，一般标为Z，在平均数这一点上Z=0，在平均数以上分数为正值，在平均数以下分数为负值。第二栏为密度函数或比率数值，即某一Z分数点上的曲线纵坐标的高度。第三栏为概率值（p），即不同Z分数点与平均数之间的面积与总面积之比2、正态分布表的使用（1）依据Z分数求概率（p）求某Z分数值与平均数（Z=0）之间的概率。如求Z=1到平均数之间的概率求某Z分数以上或以下的概率，如求Z

9、=1以上的概率是多少求两个Z分数之间的概率，如果Z分数为同号则相减，如果为异号则相加（2）从概率（p）求Z分数已知从平均数开始的概率值求Z值。如已知平均数以上0.25的概率，求Z值已知位于正态分布两端的概率值求该概率值分界点的Z值。如求上端0.01概率分界点的Z值若已知正态曲线下中央部分的概率，求Z分数是多少。如求正态曲线中间部分0.95概率两处分界点的Z值（3）已知概率或Z值，求概率密度函数四、次数分布是否为正态分布的检验方法（一）卡方检验（第十章）（二）偏度，峰度考察法1、皮尔逊偏态量数法正偏态中MMdMo，负偏态中MMd0,分布为正偏态，偏度0,比正态分布的峰度低阔，峰度0，比正态分布的

10、峰度高狭，峰度=0，正态分布（三）累加次数曲线法如果样本的累加频率曲线与正态分布概率曲线重合或基本重合，说明样本的分布呈正态（四）直方图法（SPSS操作）如果直方图符合钟形则为正态分布（五）概率值法（一般是Q-Q作图法）（SPSS操作）图中点是否紧贴y=x这条直线，如果紧贴则服从正态分布（六）K-S检验（SPSS操作）可以检验某个样本所来自的总体是否服从正态分布五、正态分布理论在测验中的应用（一）化等级评定为测量数据下面表格是三位学生获得的等级评定，请问谁的水平更高一些？（二）测验分数的正态化 从理论上研究对象服从正态分布，但由于抽样误差或测试题目难度等偶然因素，实测分数分布不是正态分布，这时

11、可采用一定的统计方法将非正态的原始分数转化成正态分数通俗的讲：没转化称Z分数前，以平均数为中心左右非常不对称，转化成Z分数后，尽管还是不对称，但是两边差异已经大大减小。步骤（1）将次数分布表的各组中值转化成Z分数 （2）将Z分数转化成T分数 T=10Z+50（三）确定题目难易度作用：比较不同难易度题目之间的难度相差多少原理：假设一个测验中不同难易题目的分布是正态的，即一个测验中通过率较大和较小的题目很少，而通过率居中的题目较多四、在能力分组或等级评定时确定人数假定能力是正态分布，这时若将能力分组，各组人数应是多少？评定不同等级，各等级人数应是多少才能使分组或评定等级构成等距的尺度？第三节二项分布一、二项试验比较上面案例，找到其相似点投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次包含了n个相同的试验每次试验相互独立每次试验只有两种可能的结果：“成功”或“失败”每次出现“成功”的概率p相同，“失败”的概率也相同试验“成功