巧用反比例函数的对称性解题

1、.巧用反比例函数的对称性反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙一、求代数式的值例 1如果一个正比例函数与一个反比例函数6的图象交于 A、， 、y2 )y( x1y1 ) ( x2x两点，那么 ( x2 x1)( y2y1 ) 的值为方法一设正比例函数的解析式是y kx ，与反比例函数 y6联立方程， 消去 y 得x到 kx260由韦达定理，可知 x1x2 0, x1x26k又 y1 kx1.y2 kx2 , ( x2x1 )( y2y1)(x2x1 )(kx2kx1 )k (x2x1 )2k ( x1x2 ) 24x1 x

2、2k 04=246k方法二反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以，x1x2 且， y1y2 ( x2x1)( y2y1 )(x2x2 )( y2y2 )4x2 y224这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的;.对称性不可忽视反比例函数的对称有两种一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线yx 的轴对称其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来体验一下二、求比例系数kk例 2如图 1，已知直线yx2 分别与 x 轴 y 轴交于 A，B 两点，与双曲线yx交于 E，F 两点，若 AB=2EF ，则 k 的值是方法一将直线

3、yx2 与反比例函数 yk 联立方程，得到 x22x k 0x由韦达定理，可知x1x22, x1 x2 k又 EF=12 =2 x1 x2AB=2得b24ac44k1a1解得 k34方法二由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数对称，又AB=2EF ，故有 BF=FM =ME=AE而 A(2， 0)， B(0，2)，yx2都关于直线yx所以 F(1,3) ，易得 k3224三、图形面积问题例3如图2O作直线与双曲线y(k0)交于A BB作BC x，过点k， 两点，过点x轴于点 c，作 BD y 轴于点 D 在 x 轴， y 轴上分别取点E， F，使点 A， E， F 在同一条直线上，且 AE

4、=AF 设图中矩形OCBD 的面积为 s1 ， EOF 。的面积为 s2 ，则 s1 ， s2 的数量关系是解析设 A(m，一 n )，过点 O 的直线与双曲线yk交于 A，B 两点，则 A，B 两点关x于原点对称，则B(一 m， n)矩形 OCBD 中，易得OD= n ， OC=m，;.则 s1 =mn在 RtEOF 中， AE=AF ，故 A为 EF中点，OF=2 n ，OE=2 m，1则 s2 = 2 ×OF×OE=2mn，故 2 s1 = s2 例 4 如图 3，反比例函数yk (k 0) 的图象与以原x点(0 ， 0)为圆心的圆交于A， B 两点，且 A(1，3 )，图中阴影部分的面积等于(结果保留)解析由于反比例函数和圆都是中心对称图形，故阴影部分面积可以看成是扇形AOB 的面积再利用图形关于直线yx 对称，可知B(3 ， 1)，所以， BOX=30 °， AOX=60 °，易得 S扇形 AOB= 30 223603从以上例题的分析可观察到，对于反比例函数与一次函数y xb 或 yx b 相结合的问题， 利用轴对称比较方便； 而当反比例函数与正比例函