(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I26对数与对数函数理

1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数 理1对数的概念一般地，如果a (a>0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb，N叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logaM(m，nR，且m0)(2)对数的性质_N_；logaaN_N_(a>0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且

2、不等于1)；logab，推广logab·logbc·logcdlogad.3对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x1时，y0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)

3、若MN>0，则loga(MN)logaMlogaN.(×)(2)logax·logayloga(xy)(×)(3)函数ylog2x及都是对数函数(×)(4)对数函数ylogax(a>0，且a1)在(0，)上是增函数(×)(5)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)对数函数ylogax(a>0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限()1(2015·湖南改编)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则有关f(x)的性质判断正确的是_(填序号)奇函数，且在(0,1)

4、上是增函数；奇函数，且在(0,1)上是减函数；偶函数，且在(0,1)上是增函数；偶函数，且在(0,1)上是减函数答案解析易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)lnln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数2已知则a，b，c的大小关系为_答案a>b>c解析故a>b>c.3函数f(x)lg(|x|1)的大致图象是_(填图象序号)答案解析由函数f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有正确4(2015·浙江)若alog

5、43，则2a2a_.答案解析.5(教材改编)若loga<1(a>0，且a1)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析当0<a<1时，loga<logaa1，0<a<；当a>1时，loga<logaa1，a>1.实数a的取值范围是(1，). 题型一对数式的运算例1 (1)设2a5bm，且2，则m_.(2)lglg的值是_答案(1)(2)1解析(1)2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.(2)原式lglg 101.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒

6、等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算(1)计算：_.(2)已知loga2m，loga3n，则a2mn_.答案(1)1(2)12解析(1)原式1.(2)loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2·an22×312.题型二对数函数的图象及应用例2(1)函数y2log4(1x)的图象大致是_(填序号)(2)当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是_答案(1)(2)(，1)解析(1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除、；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除.故正确(2)构造函数f(x)4

7、x和g(x)logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图象，可知f<g，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为.思维升华应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解(1)已知lg alg b0，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图象可能是_(2)设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则_x1x2<0 x1x21x

8、1x2>1 0<x1x2<1答案(1)(2)解析(1)lg alg b0，ab1，g(x)logbx的定义域是(0，)，故排除.若a>1，则0<b<1，此时f(x)ax是增函数，g(x)logbx是增函数，符合，排除.若0<a<1，则b>1，g(x)logbx是减函数，排除，故填.(2)构造函数y10x与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示因为x1，x2是10x|lg(x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<1，1<x1<0，则因此因为所以lg(x1x2)<0，即0<x1

9、x2<1，正确题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例3设alog36，blog510，clog714，则a，b，c的大小关系为_答案a>b>c解析由对数运算法则得alog361log32，b1log52，c1log72，由对数函数图象得log32>log52>log72，所以a>b>c.命题点2解对数不等式例4若loga(a21)<loga2a<0，则a的取值范围是_答案(，1)解析由题意得a>0，故必有a21>2a，又loga(a21)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1

10、，所以a>.综上，a(，1)命题点3和对数函数有关的复合函数例5已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解(1)a>0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax>0恒成立32a>0.a<.又a>0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a>0，函数t(x)为减函数f(

11、x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a>1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件(1)设alog32，blog52，clog23，则a，b，c的大小关系为_(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为_(3)设函数f(x)若f(a)>f(a)，则实

12、数a的取值范围是_答案(1)c>a>b(2)1,2)(3)(1,0)(1，)解析(1)<2<3,1<2<，3>2，log3<log32<log33，log51<log52<log5，log23>log22，<a<1,0<b<，c>1，c>a>b.(2)令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a<2，即a1,2)(3)由题意可得或解得a>1或1<a<0.2比较指数式、对数式的大小典例(1)设a0.50.

13、5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的大小关系是_(2)设alog2， c2，则a，b，c的大小关系为_(3)已知则a，b，c大小关系为_思维点拨(1)可根据幂函数yx0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c大小(2)a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较(3)化为同底的指数式解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.51，即b<a<1；根据对数函数ylog0.3x的单调性，可得log0.30.2>log0.30.31，即c>1.所以b<a<c.(2)

14、alog2>log221，bloglog2<log210,0<c<1，b<c<a.(3)方法一在同一坐标系中分别作出函数ylog2x，ylog3x，ylog4x的图象，如图所示由图象知：log23.4>log3>log43.6.方法二log3>log331，且<3.4，log3<log33.4<log23.4.log43.6<log441，log3>1，log43.6<log3.log23.4>log3>log43.6.由于y5x为增函数，即故a>c>b.答案(1)b<a&l

15、t;c(2)a>c>b(3)a>c>b温馨提醒(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.2对数函数的定义域及单调性在对数

16、式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，)对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论3比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定失误与防范1在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围A组专项基础训练 (时间：40分钟

17、)1.若函数ylogax(a>0，且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是_(填序号)答案解析由题图可知ylogax的图象过点(3,1)，loga31，即a3.中，y3x()x在R上为减函数，错误；中，yx3符合；中，y(x)3x3在R上为减函数，错误；中，ylog3(x)在(，0)上为减函数，错误2已知xln ，ylog52，则x，y，z的大小关系为_答案y<z<x解析xln >ln e，x>1.ylog52<log5，0<y<.z>，<z<1.综上可得，y<z<x.3若函数f(x)则f(log23)_.答案

18、解析1<log23<log242，3log23(4,5)，f(log23)f(log231)f(log232)f(log233)f(log224)4设f(x)lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是_答案(1,0)解析由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1,1)由f(x)<0，可得0<<1，1<x<0.5定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)_.答案1解析由f(x2)f(x2)，得f(x)f(x4)，因为4log2205，所以f(log220)

19、f(log2204)f(4log220)f(log2)6函数f(x)log2·log(2x)的最小值为_答案解析显然x>0，f(x)log2·log(2x)log2x·log2(4x2)log2x·(log242log2x)log2x(log2x)22.当且仅当x时，有f(x)min.7设函数f(x)满足f(x)1f()log2x，则f(2)_.答案解析由已知得f()1f()·log22，则f()，则f(x)1·log2x，故f(2)1·log22.8(2015·福建)若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4

20、，)，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析由题意f(x)的图象如右图，则1a2.9已知函数在区间(，)上是增函数，求a的取值范围解函数是由函数和tx2axa复合而成因为函数在区间(0，)上单调递减，而函数tx2axa在区间(，)上单调递减，又因为函数在区间(，)上是增函数，所以解得即2a2(1)10设f(x)loga(1x)loga(3x)(a>0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间0，上的最大值解(1)f(1)2，loga42(a>0，a1)，a2.由得x(1,3)，函数f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在0，上的最大值是f(1)log242.B组专项能力提升(时间：20分钟)11(2015·陕西改编)设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则p、q、r的大小关系是_答案pr<q解析0ab，又f(x)ln x在(0，)上为增函数，ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln