数学分析第二章

1、精选课件第二章第二章 数列极限数列极限2.1 数列极限的概念2.2 收敛数列的性质2.3 数列极限存在的条件精选课件2.1 数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四 、应用数列极限的定义证明数列极限的方法精选课件一、概念的引入一、概念的引入引例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. 精选课件2 2、截丈问题：、截丈问

2、题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1精选课件二、数列的定义二、数列的定义例如例如;,2,8 ,4,2n;,21,81,41,21n2n21n精选课件注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是数列是整标函数整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1,

3、11 n1( 1) n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn , 333, 33, 3 精选课件.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限精选课件问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:精选课件

4、,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx精选课件如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn . 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 N精选课件x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在

5、其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :N 定定义义其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使精选课件注注定义定义1习惯上称为极限的习惯上称为极限的N定义，它用两个定义，它用两个动态指标动态指标和和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了定量地刻画了xn 与与a 之间的距离任意小，即任给之间的距离任意小，即任给0标志着标志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。这个定义有三个要素：大。这个

6、定义有三个要素：10，正数正数，20，正数正数N，30，不等式，不等式|xna|（n N）定义中的定义中的具有二重性：一是具有二重性：一是的任意性，二是的任意性，二是的相对固定性。的相对固定性。的二重性体现了的二重性体现了xn 逼近逼近a 时要时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过过的相对固定性来实现）。的相对固定性来实现）。精选课件 定义中的定义中的N是一个特定的项数

7、，与给定的是一个特定的项数，与给定的有关。有关。重要的是它的重要的是它的存在性存在性，它是在，它是在相对固定后才能确定的，相对固定后才能确定的，且由且由|xna|来选定，一般说来，来选定，一般说来，越小，越小，N越大，但须越大，但须注意，对于一个固定的注意，对于一个固定的，合乎定义要求的，合乎定义要求的N不是唯一的。不是唯一的。用定义验证用定义验证xn 以以a 为极限时，关键在于设法由给定的为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的求出一个相应的N，使当，使当n N时，不等式时，不等式|xna|成立。成立。在证明极限时在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示之间的逻辑关系如下图所示|x

8、na| n N精选课件定义中的不等式定义中的不等式|xna| （n N）是指下面）是指下面一串不等式一串不等式 |1axN |2axN |3axN都成立，都成立，而对而对 |1ax |axN则不要求它们一定成立则不要求它们一定成立数列极限的几何意义数列极限的几何意义, 0N 使得使得 N 项以后的所有项项以后的所有项,321 NNNxxx精选课件都落在都落在a点的点的邻域邻域内内),( aa因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点x a aa 22 Nx1x2x1 Nx3x 这就表明数列这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外所对应的点列除了前

9、面有限个点外都能凝聚在点都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛收敛”。精选课件AnNAAnxn目的：AxANnNAxnnn ,0lim时，有使得自然数要找到一个精选课件NAAA 越来越小，N越来越大！nxn精选课件数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx

10、要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：精选课件 利用定义验证数列极限，利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式有时遇到的不等式|xna|不易考虑，往往采用把不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标的不等式去寻找项数指标N放大的原则：放大的原则： 放大后的式子较简单放大后的式子较简单 放大后的式子以放大后的式子以0为极限为极限例例 2 证明证明1lim22 nann证明证

11、明1|1|22 nanxn)(222nanna 精选课件nan21 )1(22 naan则则若若0 故故 ,1max2aN 则当则当n N时，有时，有nannan22211 n11lim22 nann精选课件例例3. 证证明明 分析，要使分析，要使 （为简为简化，限定化，限定 n只要只要 证证. 当当 n N 时有时有由定由定义义 343lim22nnnnnnn1241234322212n33,12max, 0N取nnnn12412343222343lim22nnn精选课件. 例例4.证证明明 （K为为正正实实数）数）证证：由于：由于 所以对任意所以对任意0，取，取N= , 当当 nN时时,

12、便有便有 01limknnkknn101k11 01kn01limknn精选课件例例5.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任任给给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 精选课件例例6. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn

13、 ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 精选课件例例7.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求证证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从从而而有有aaxn a1 精选课件四四: 收敛的否定收敛的否定: aannlim数列数列 na发散发散 000 , 0, , naNaa 0nN, 有0000, , nNaa 0nN, 有精选课件注：注： 改变改变或或去掉数列去掉数列的的有限项有限项, 不影响数列的不影响数列的

14、收敛性和极限收敛性和极限. 重排重排不改变数列敛散性不改变数列敛散性精选课件3 数列极限的等价定义数列极限的等价定义: ) 0( , , , , 0 :1kkaaNnNnD :2D对对0, c 3:D 对任正整数对任正整数.1 , , ,maaNnNmn , , , nNn Naa 精选课件六六 无穷小数列无穷小数列: 定义定义 极限为极限为0的数列的数列称为称为无穷小量无穷小量（无穷小量是指一（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数个极限概念，趋向常数0） nx nxa 命题命题1. 的极限为a 是无穷小量. 0axyaxnnn)(nnyaxaa变量有极限的充要条件充要条件为它可分解为可分解为加

15、一个无穷小量。命题命题200nnxx无穷小量加绝对值仍为无穷小量。 命题命题30, 0nnnnyxMyx无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量命题命题4精选课件定义定义 数列数列| nxM 记作：记作：无穷大量和特别大量是否相同，不同的话， 区别在哪里？2. 在同一极限意义下无穷大量和无穷小量有 什么关系？思考题：思考题： nx若对任意若对任意M0，总存在正整数，总存在正整数N，使使nN时时，则称数列发散到无穷大则称数列发散到无穷大lim lim-nnnnxx 或或 nx数列数列称为无穷数列（无穷大量）称为无穷数列（无穷大量）精选课件1、唯一性、唯一性2、有界性有界性3、保号性、保号性4、保不等式

16、性、保不等式性5、四则运算、四则运算6、迫敛性（、迫敛性（夹逼原理夹逼原理 ）7、子数列的收敛性、子数列的收敛性2.2 收敛数列的性质收敛数列的性质精选课件1、唯一性、唯一性定理定理2.2 2.2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.精选课件2、有界性

17、有界性例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界精选课件定理定理2.3 2.3 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的有界性是数列收敛的必要条件必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .精选课件例例1.)

18、1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx精选课件2|baaan从而 22babaaan精选课件推论推论1(1(收敛数列的保号性收敛数列的保号性) ) 如果数列如果数列xn收敛于收敛于a, 且且a 0(或或a 0) 那么存在正整数那么存在正整数N

19、 当当n N时时 有有xn 0(或或xn 0). .精选课件0axn20baaxn精选课件0byn20babyn推论推论 如果数列如果数列xn从某项起有从某项起有xn 0(或或xn 0) 且且数列数列xn收敛于收敛于a 那么那么a 0(或或a 0). .思考：思考： 如将条件中的如将条件中的xn yn换成换成xn yn,那么以那么以下结论是否成立？下结论是否成立？limlim?nnnnxy 精选课件证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ( 夹逼原理夹逼原理 )精选课件,1 ayNnn时时恒恒有有当当,2 azNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取上两式同时成立上两式同

20、时成立, ayan即即, azan恒恒有有时时当当,Nn , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限精选课件例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn精选课件5 绝对值收敛性绝对值收敛性: . lim ,limaaaannnn ( 注意反之不成立注意反之不成立 ,请举例请举例). .0

21、lim ,0limnnnnaa精选课件6 6 数列极限的四则运算法则数列极限的四则运算法则 (1)BAyxnnn)(lim (2)BAyxnnn)(lim (3)当0ny(n1 2 )且 B0 时 BAyxnnnlim. 定理定理2.72.7 设有数列xn和yn. 如果Axnnlim Bynnlim 那么证明略。证明略。精选课件例例5 求求lim(1)nnnnli m1nnnaa 例例4 求求解：解： 分 a=1， |a|1 三种情况 解解：（分子有理化）1010limmmknka na nab nb nb例例3 求求精选课件7、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子数列（或子列）的子数列（或子

22、列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .kkknnnnkkxxkxxnnk在子数列中，一般项是第 项，而在原数列中却是第项，显然，注意：注意：例如，例如，精选课件证证 的的任任一一子子数数列列是是数数列列设设数数列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .kKNnnnN. axkn.limaxknk 证毕证毕定理定理2.8 ( 数

23、列收敛充要条件数列收敛充要条件 ) na 收敛收敛 na 的任何子列收敛的任何子列收敛 于同一极限于同一极限.精选课件例例4对于数列对于数列xn )(2 kaxk若若)(12 kaxk)( naxn则则证证0 知知由由axkk 2lim时时，有有使使当当11,KkK |2axk知知再由再由axkk 12lim时，有时，有使当使当22,KkK |12axk12 ,2max21 KKN取取时时则则当当Nn 11222KmKmmn 则则若若此时有此时有 |2axaxmn精选课件22121212KmKmmn 则则若若此时有此时有 |12axaxmn总之：总之：0 N 时时使使当当Nn 恒有恒有 |ax

24、naxnn lim即即推论)(),()(| naxqpaNBABqxApxxnqpn则则趋趋于于同同一一极极限限值值其其中中与与：若若子子数数列列对对数数列列精选课件2.3 数列极限存在的条件数列极限存在的条件 一 数列收敛的一个充分条件数列收敛的一个充分条件 单调有界原理单调有界原理 二二 数列收敛的充要条件数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则收敛准则精选课件一一 单调有界原理单调有界原理定义定义 称为单调上升的，若 nxnxxxx321nx称为单调下降的，若 nxxxx321 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 精选课件M定理定理1(1(单调有界定理单调有界定理) ) 单调有界数列

25、必有极限单调有界数列必有极限. . 定理1的几何解释x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生. 精选课件 .为有上界的递增数列不妨设na ,sup.nnaaa 由由确确界界原原理理 数数列列有有上上确确界界 记记 .的极限就是下证naa ., 0NnNaaaa，使得按上确界定义事实上证明 .,nNnaaaNna时有当的递增性又由 .,aaaaaannn都有故的一个上界是而.aaaNnn时有所以当.limaann即.数列必有极限同理可证有下界的递减精选课件例例1 设设 )

26、. 2 ( ,131211nan证明数列 收敛. na2111111 ( 2 ) 2345(2 )nan 证明：证明：1121111 244n 111 )12112(122nan 111 )12112(122nan 精选课件2nnaa 2112nnnaaa 11112na 即有界，而且显然是单调增加的数列，即有界，而且显然是单调增加的数列，所以极限存在。所以极限存在。精选课件例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的n

27、x.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx精选课件注意到对 , n有 ,axn有 nnnnxaaxaxx . 1) (121121221 , .limaxnn例例3 .21 .0 ,011nnnxaxxxa求 limnnx 解解 由均值不等式, 有 nnnxaxx21 1 .nnnxaxax有下界; 及a 精选课件二二 数列收敛的充要条件数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则收敛准则1 Cauchy列列： 如果数列 na具有以下特性：0,0:,nmNn maa则称数列 na是一个基本数列基本数列.