第10讲：向量的内积与正交矩阵

1、统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A 1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性 一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质定义定义: n 维向量维向量T12(,) ,nxxxx T12(,)nyyyy 的的内积内积 , x y1122;nnx yx yx y T, , .x yx yx y 若若为为列列向向量量 则则内积的性质内积的性质:, ,nx y z 对对 维维向向量量及及实实数数有有(1) , , ;x yy x (2) , , ;x yx y (3) , , , ;xy zx zy z (4) , 0, , 0.x x

2、x0 x x 且且当当时时有有统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A 二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质定义定义: n 维向量维向量 x 的的长度长度 ( 或或范数范数 )x22212 , .nx xxxx长度的性质：长度的性质：1. 非非负负性性: :0;x 0.xx0 2. 齐次性:齐次性:.Rxx 对对有有3. 三三角角不不等等式式: :.xyxy统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A 长度为长度为1的向量叫的向量叫单位向量单位向量; 任意一个非零向量任意一个非零向量 x,x

3、x可经可经.单位化单位化此外向量的内积满足此外向量的内积满足Schwarz 不等式不等式:2 , , , .x yx xy y 于是对非零向量于是对非零向量 x, y, 定义定义 x 与与 y 的夹角的夹角 , arccos,x yxy 0. 统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A 三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法 当当 x, y=0时时, 称向量称向量 x 与与 y 正交正交;特别地特别地, 零向量与任何向量都正交零向量与任何向量都正交. 一组两两正交的一组两两正交的非零向量非零向量构成的向量组称为构成的向量组称为正交

4、向量组正交向量组定理定理: : 正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关 在实际应用中在实际应用中, 常以正交向量组作为向量空间常以正交向量组作为向量空间的基，叫做向量空间的的基，叫做向量空间的正交基正交基; 而由单位向量构成的正交基叫做而由单位向量构成的正交基叫做规范正交基规范正交基( 或或标准正交基标准正交基 ).统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A例例: : 已知已知 R3 中两个正交向量中两个正交向量构成构成 R3 的一个正交基的一个正交基.TT12(2, 3,1) ,( 2, 1,1) , 3123, 求求使使解：解：123,

5、按按要要求求 需需求求一一与与正正交交的的向向量量T3123(,) ,x x x 令令1323,0 由由得得123123230,20,xxxxxx 231211A 而而 行行变变换换101/4,011/2 1323/4,/2,xxxx 34,x 取取312 .4 所所求求统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A四、四、规范正交基的求法规范正交基的求法12,rVa aa我我们们总总可可由由向向量量空空间间 的的任任何何一一个个基基出出发发V求求出出的的一一个个规规范范正正交交基基12,ra aa( (其其过过程程叫叫做做将将基基正正交交规规范范

6、化化) ): :12,ra aaV设设为为向向量量空空间间 的的一一个个基基(1) 先使用先使用Schimidt正交化法正交化法正交化正交化:11,ba 取取1222111,b ababb b 统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A132333121122,b ab ababbb bb b121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb 111,;rrrbbbbaa则则两两两两正正交交 且且与与等等价价（2）再单位化，取）再单位化，取121212,rrrbbbeeebbb12,.re eeV则则就就是是

7、的的一一规规范范正正交交基基统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.TTT123(1,2,1) ,(2,3,3) ,(3,7,1)aaa 解解: : 先先正交化正交化， 取取T11(1,2,1) ,ba 1222111 , , b ababb b T(2,3,3) 116 T(1,2,1)T14 7,66 6 132333121122,b ab ababbb bb b T(3,7,1) 3 T(1,2,1)1811 T14 7,66 6 T311,111111

8、 统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A续解续解: :已正交化得已正交化得T1(1,2,1) ,b T214 7,66 6b T3311,111111b再单位化得规范正交向量组再单位化得规范正交向量组111beb T61,2,1,6 222beb T661, 4,7,66 333beb T113, 1, 111 统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A五、正交矩阵与正交变换五、正交矩阵与正交变换定义定义: : 若若 n 阶阶方阵方阵A 满足满足 AT A=E ( 即即A1 = AT ),

9、则称则称 A 为为正交矩阵正交矩阵 ( 简称为简称为正交阵正交阵 ). 方阵方阵A 为为正交矩阵的充要条件是正交矩阵的充要条件是 A 的列（行）的列（行）向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交正交矩阵的性质正交矩阵的性质: 设设A, B 为为 n 阶阶正交矩阵正交矩阵, 则则(1) A1 = AT 也为也为正交矩阵正交矩阵 , 且且 |A|=1 或或1.(2) AB 也为也为正交矩阵正交矩阵.统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A定义定义: : 若若 P 为正交阵为正交阵, 则线性变换则线性变换 y =P x 称为称为正交变换

10、正交变换.1111211221222212nnnnnnnnypppxypppxypppx 正交变换的性质正交变换的性质:(1) 正交变换可逆，且其逆变换也是正交变换正交变换可逆，且其逆变换也是正交变换.(2) 正交变换保持向量的内积及长度不变正交变换保持向量的内积及长度不变cossin ,sincosXxyYxy 旋旋转转变变换换就就如如: :是是正正交交变变换换. .统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A例：例：判别矩阵判别矩阵 A= 是否为正交阵？是否为正交阵？184999814999447999 解：解：只需验证只需验证 AT A 是否等于是否等于 E ？T184999814999447999 由于由于184999814999447999 100010 ,001 所以所以 A是正交矩阵是正交矩阵.统计软件分析与应用4.1 向量的内积与正交矩阵向量的内积与正交矩阵线线 性性 代代 数数 A例：例：设实对称设实对称阵阵 A 满足满足 268,AAEO 证明：证明