《2.2 基本不等式》优质课教案教学设计

1、【新教材】2.2基本不等式教学设计基本不等式在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值；4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；5.数学建模：利用函数的

2、思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入：在前面一节，已经学了重要不等式，那么将重要不等式中各个式子开方变形，会得到什么呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本44-45页，思考并完成以下问题1. 重要不等式的内容是？2.基本不等式的内容及注意事项？3.常见的不等式推论？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知

3、探究1.重要不等式a>0,b>02.基本不等式a=b(1)基本不等式成立的条件:_.(2)等号成立的条件:当且仅当_时取等号. 注意：一正二定三等.2ab3.几个重要的不等式2(1)a2+b2_(a,bR).(2) _(a,b同号).(3) (a,bR).a+b2(4) (a,bR).4. 设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为_,几何平均两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ab 数为_，基本不等式可叙述为：_.四、典例分析、举一反三题型一 利用基本不等式求最值例1 求下列各题的最值.（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值；（2）x>

4、;0,求 的最小值；（3）x<3，求 的最大值；【答案】见解析【解析】（1） 由x>0,y>0,xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.(2)x>0, 等号成立的条件是 即x=2,f(x)的最小值是12.(3)x<3,x-3<0,3-x>0,当且仅当 即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1. 解题技巧：（利用基本不等式求最值）(1)通过变形或“1”的代换，将其变为两式和为定值或积为定值；(2)根据已知范围，确定两式的正负符号；(3)根据两式的符号求积或和的最值.总而言之，基本不等式讲究“一正二定三等”.跟踪训练一（1）已知x

5、>0,y>0，且 求x+y 的最小值；（2）已知x< 求函数 的最大值;（3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.【答案】见解析【解析】题型二 利用基本不等式解决实际问题例2（ ） 用篱笆围一个面积为m2的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？（ ） 用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？【答案】见解析【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m,ym，篱笆的长度为2x+ym.(1)由已知得xy=100.由x+y2 xy，可得x+y2x

6、y=20,所以2x+y40,当且仅当x=y=10时，上式等号成立.(2)由已知得2x+y=36，矩形菜园的面积为xym2.由xyx+y2 = 182 = 9,可得xy81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.解题技巧：(利用基本不等式解决实际问题)设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”）跟踪训练二1. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.【答案】见解析【解析】（1）设的长为米，则米 由矩形的面积大于得：又，得：，解得：或即长的取值范围为：（2）由（1）知：矩形花坛的面积为：当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计2.2基本不等式1.基本不等式 例1 例2 2.重要推论 七、作业课本48页习题2.2