不等式常见考试题型归纳

1、?不等式?常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的根本知识，根本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力选择题和填空题主要考查不等式的性质、比拟大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与以下知识相结合考查：不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指

2、数、对数、可能还会出现导数相结合命题；证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查二、常见考试题型1求解不等式解集的题型分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法2不等式的恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，别离变量法，数形结合法3不等式大小比拟常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商常用于分数指数幂的代数式；3分析法；4平方法；5分子或分母有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。4不等式求函数最

3、值技巧一：凑项例：，求函数的最大值。技巧二：凑系数例. 当时，求的最大值。技巧三： 别离例. 求的值域。技巧四：换元例. 求的值域。技巧五：函数的单调性注意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。技巧六：整体代换屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就会出错。例：1，且，求的最小值。2假设且，求的最小值(3)且，求的最小值技巧七、利用转换式子技巧八、x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x·下面将x，分别看成两个因式：

4、x· 即x·x 技巧九：a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解二是直接用根本不等式。例：1.a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.假设直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧十：取平方例、x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.5证明不等式常用方法：比拟法、分析法、综合法和放缩法。根本不等式最值求法的题型根底题型一：指数类最值的求法1. ，求的最小值。变式1.，求的最小值。变式2.，求的最小值。变式3.，求的最小值。变式4.点

5、在直线上，求的最小值。根底题型二：对数类最值的求法2. ，且，求的最大值。变式1.，且，求的最小值。变式2.点是圆在第一象限内的任一点，求的最大值。能力题型一：常数变形加或减去某个常数使两个因式的积为常数1. ,求的最小值。变式1.,求的最小值。变式2.,求的最大值。能力题型二：代换变形把整式乘到分式中去以便于用根本不等式1. ,且，求的最小值。2. 变式1.,且，求的最小值。变式2.,且，求的最大值。能力题型三：指数与系数的变形调整字母的系数和指数1. ,且，求的最大值。变式1.,且，求的最大值。变式2.,且，求的最小值。能力题型四：对勾函数及其应用【对勾函数】，由得顶点的横坐标为。,由得顶

6、点的横坐标为。,由得顶点的横坐标为。例1.求的值域。变式1.求的值域。变式2.求的值域。例2.求的值域。变式1.求的值域。变式2.求的值域。例3.求的值域。变式1.求的值域。变式2.求的值域。根本不等式例题例1. , 且，求的最小值及相应的值.例2. 的最小值为_。例3，成等差数列，成等比数列，那么的最小值是例4函数的图象恒过定点，假设点在直线上，那么的最小值为_例5. 假设，那么的最小值是例6以下各函数中，最小值为2的是()A B. C. D.例71，求函数的最大值.2求函数的最小值求的最大值.练习. 设，那么的最大值为例8.,，且. 求的最大值及相应的的值例9假设x，y是正数，那么的最小值

7、是练习：实数x，y满足x+y1=0，那么x2+y2的最小值例10.假设实数a、b满足a+b=2，是3a+3b的最小值是根本不等式证明例 a，b为正数，求证：例实际应用：某单位用木材制作如下图的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8，问x y分别为多少时用料最省？基 本 不 等 式 应 用一根本不等式1.1假设，那么 (2)假设，那么当且仅当时取“=2. (1)假设，那么 (2)假设，那么当且仅当时取“=(3)假设，那么 (当且仅当时取“=3.假设，那么 (当且仅当时取“=;假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=

8、3.假设，那么 (当且仅当时取“=假设，那么 (当且仅当时取“=4.假设，那么当且仅当时取“=注：1当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大2求最值的条件“一正，二定，三取等(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例1：求以下函数的值域1y3x 2 2yx解：1y3x 22 值域为，+2当x0时，yx22；当x0时， yx= x2=2值域为，22，+解题技巧：技巧一：凑项例1：，求函数的最大值。解：因，所以首先要“调整符号，又不是常数，所以对要

9、进行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。解析：由知，利用根本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。评注：此题无法直接运用根本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用根本不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。解：当且仅当即时等号成立。技巧三： 别离例3. 求的值域。解析一：此题看似无法运用根本不等式，不妨将分子配方凑出含有x1的项，再将其别离。当,即

10、时,当且仅当x1时取“号。技巧四：换元解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在别离求最值。当,即t=时,当t=2即x1时取“号。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用根本不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，那么因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。练习求以下函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值

11、.1 2 (3)2，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.条件求最值1.假设实数满足，那么的最小值是 .分析：“和到“积是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解： 都是正数，当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6变式：假设，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就会出错。2：，且，求的最小值。错解：，且， 故 。错因：解法中两次连用根本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用根本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种

12、方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。变式： 1假设且，求的最小值(2)且，求的最小值技巧七、x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x·下面将x，分别看成两个因式：x· 即x·x 技巧八：a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等式，对此题来说，因条件中既有和的形式，又有积的形式，不能

13、一步到位求出最值，考虑用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， ab·b由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2t34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由得：30aba2b a2b2 30ab2令u那么u22u300， 5u33，ab18，y点评：此题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将条件转换为含的不等式，进而解得的范围.变式：1.a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.假设直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平

14、方5、x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.解法一：假设利用算术平均与平方平均之间的不等关系，此题很简单 2解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值条件靠拢。W0，W23x2y2·102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2变式: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值，为利用根本不等式创造了条件。总之，我们利用根本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用根本不

15、等式。应用二：利用根本不等式证明不等式1为两两不相等的实数，求证：1正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc例6：a、b、c，且。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用根本不等式可得三个“2连乘，又，可由此变形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。应用三：根本不等式与恒成立问题例：且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。解：令， 。 ，应用四：均值定理在比拟大小中的应用：例：假设，那么的大小关系是 .分析： R>Q>P。不等式求解集积题型【知识要点】1绝对值符号里含有未知数的不等式叫做绝

16、对值不等式。其中1的解集是2的解集是或2含字母系数的一元一次不等式的解法与普通不等式的解法是一致的，所不同的是：前者在最后一步要根据题中附加条件或隐含条件，去判断未知数系数的符号，从而决定不等号是否反向。或对其系数进行分类讨论，写出各种情况下不等式的解集。一般的讨论方法：对于；当时，当时，假设解集为任意实数；假设，无解当时，【典型例题】题型一：与整数解个数有关的不等式例1如果不等式的正整数解是1，2，3，那么的取值范围是多少？例2关于的不等式组的整数解共有5个，求的取值范围。题型二: 不等式解集求未知数例31不等式的解集为，求的解集。2方程组的解x，y都是正数，那么整数k应等于。题型三：系数含

17、有字母的不等式例4解关于的不等式：例5k为何值时，不等式永远成立？假设不等式的解集为，求不等式的解集。题型四：绝对值不等式例6解以下不等式1 2题型五：比拟大小例7比拟以下各式的大小1和 2例8如果成立，那么实数的取值范围是 A、 B、 C、 D、【稳固练习】1如果关于x的方程的解是一个负数，那么m的取值范围是 。2关于x的方程的解假设为正数，那么k的取值范围为 。A B C D 3如果的解集是，那么满足 A B C D4关于的一次方程无解，那么是 A、正数 B、非正数 C、负数 D、非负数5解以下不等式1 2求不等式的非负整数解。6假设不等式只有两个正整数解，那么的取值范围是多少？7解关于的

18、不等式1 235308假设满足不等式的必满足，求的取值范围9一次函数的图像是射线，的图像是射线，如下图，假设，那么的值为_；假设，那么的取值范围是_；假设，那么的取值范围是_10己知不等式，1假设它的解是，求的范围；2假设它的解集是，求的值。11如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么，适合这个不等式组的整数、的有序对，共有 A、17个 B、64个 C、72个 D、81个12方程组的解的乘积小于零，求的值。高中数学不等式知识点经典习题典型例题一例1 解不等式分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式组，再去求解去绝对值符号的关

19、键是找零点使绝对值等于零的那个数所对应的点，将数轴分成假设干段，然后从左向右逐段讨论解：令， ，令，如下图来源:Z。xx。k.Com1当时原不等式化为与条件矛盾，无解2当时，原不等式化为 ，故3当时，原不等式化为，故综上，原不等式的解为说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理清楚、不重不漏典型例题二例2 求使不等式有解的的取值范围分析：此题假设用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便解法一：将数轴分为三个区间当时，原不等式变为有解的条件为，即；当时，得，即；当时，得，即，有解的条件为 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求

20、它们的并集，即仍为解法二：设数，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式的意义是P到A、B的距离之和小于因为，故数轴上任一点到A、B距离之和大于等于1，即，故当时，有解典型例题三例3 ，求证分析：根据条件凑证明：说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法典型例题四例4 求证 分析：使用分析法证明 ，只需证明，两边同除，即只需证明来源:Z§xx§k.Cm，即 当时，；当时，原不等式显然成立原不等式成立说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法本例也可以一开始就用定理：1如果，那么，原不等式显然成立2如果，那么，利用不等式的传递性知，原不等

21、式也成立典型例题五例5 求证分析：此题的证法很多，下面给出一种证法：比拟要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明证明：设定义域为，且，分别在区间，区间上是增函数来源:Z&xx&k.Com又，即原不等式成立说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：，错误在不能保证，绝对值不等式在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比拟灵活放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构型例题六例6 关于实数的不等式与的解集依次为与，求使的的取值范围分析：分别求出集合、，然后再分类讨论解：解不等式，解不等式，当时即时，得当时即时，得当时，

22、要满足，必须故；当时，要满足，必须所以的取值范围是说明：在求满足条件的时，要注意关于的不等式组中有没有等号，否那么会导致误解典型例题七例6 数列通项公式对于正整数、，当时，求证：分析：数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决证明：说明：是以为首项，以为公比，共有项的等比数列的和，误认为共有项是常见错误正余弦函数的值域，即，是解此题的关键此题把不等式、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目如果将此题中的正弦改为余弦，不等式同样成立典型例题八例8 ，求证：分析：此题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对

23、条件的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)翻开绝对值用，替出；(3)用绝对值的性质进行替换证明：，即说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用典型例题九例9 不等式组的解集是A B C D分析：此题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，又，解原不等式组实为解不等式解法一：不等式两边平方得：，即，又选C解法二：，可分成两种情况讨论：(1)当时，不等式组化为解得(2)当时，不等式组可化为，解得综合(1)、(2)得，原不等式组的解为，选C说明：此题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等

24、式，如何去绝对值是此题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方另一种方法那么是分区间讨论，从而去掉绝对值符号当然此题还可用特殊值排除法求解典型例题十例10 设二次函数(，且)，当时，证明分析：从知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从且，知，要求证的是，所以抛物线的顶点一定在轴下方，取绝对值后，图像翻到轴上方因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在证明：，又，又，而的图像为开口向上的抛物线，且，的最大值应在，或处取得，说明：此题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数，的分析，确定抛物线顶点的取值

25、范围，然后通过比拟求出函数在范围内的最大值不等式题型总结1、 高考与不等式纵观近年来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的12%，已经成为高考必考的热点内容，不仅考查不等式的根本知识，根本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力选择题和填空题主要考查不等式的性质、比拟大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。单独考不等式的考题占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与以下知识相结合考查：不等式的性质的考查常与指数函数、对数函

26、数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查2、 命题趋势及典型例题解释1不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来例1：设命题甲：x和y满足，命题乙：x和y满足 ，那么 甲是乙的A  充分但不必要条件  B

27、  必要但不充分条件C 充要条件  D 既不充分也不必要条件思路根据同向不等式的可加性，从乙甲和甲乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分析。破解易知即乙甲；但当时，显然满足不满足故甲乙 不成立。从而甲是乙的必要但不充分条件 。应选B收获此题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。例2：.设函数在R上单调递减.不等式的解集为R.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.思路此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解

28、法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的根本要求内容的范畴，此题将这几局部知识内容有机地结合在一起，在考查学生根底知识、根本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地表达出了“多考一点想，少考一点算的命题原那么.破解:函数在R上单调递减，不等式的解集为R函数在R上恒大于1，函数在R上的最小值为，不等式的解集为R，即，假设正确，且不正确，那么；假设正确，且不正确，那么；所以的取值范围为.收获“解不等式一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作

29、答，是这个命题的根本特征，在求解时那么主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.2解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答题中含字母参数的不等式较多，需要对字母进行分类讨论例3：解关于的不等式。分析 本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号解 (1)当时：假设，那么，不等式解集为；假设，那么，解集为.(2)当时：不等式为，解集为(3)当时：假设，那么，解集为.假设，不等式为，解集为且.假设，那么，解集为点拨 由于分类的原因有两个，为了防止逻辑混乱，本例采取了“二级分类方法：第一级以二次项系数的符号作

30、为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分例4：假设不等式|4|+|3|<的解集为空集，求的取值范围。思路此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。假设仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|+|，便把问题简化。破解解法一 (1)当0时，不等式的解集是空集。(2)当>0时，先求不等式|4|+|3|<有解时的取值范围。令4=0得=4，令3=0得=3 当4时，原不等式化为4+3&

31、lt;，即27<解不等式组，>1 当3<<4时，原不等式化为4+3<得>1 当3时，原不等式化为4+3<即72<解不等式，>1综合可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求取值范围是1解法二：由|4|+|3|的最小值为1得当>1时，|4|+|3|<有解从而当1时，原不等式解集为空集。解法三： >|4|+|3|4+3|=1当>1时，|4|+|3|<有解从而当1时，原不等式解集为空集。收获1一题有多法，破解时需学会寻找最优解法。2有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。3证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度例5：假设二次函数的图象经过原点，且，求的范围思路要求的取值范围，只需找到含的不等式(组)由于是二次函数，所以应先将的表达形式写出来即可求得的表达式，然后依题设条件列出含有的不等式(组)，即可求解破解因为的图象经过原点，所以可设于是解法一(利用根本不等