解析几何的诞生

1、（一）射影几何的产生（一）射影几何的产生欧洲几何学创造性活动的复兴晚于代数学。中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性，而文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到三维的画布上，面临这样一些问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影得同一物影，那么这两个物体有何共同的几何性质？正是由于绘画、制图中提出的这类问题的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科透视学的兴起，进而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。数学透视法的天才阿尔贝蒂的论绘画一书，则是早期数学透视法的代

2、表作，书中除引入投影线、截影等一些概念外，还讨论了截影的数学性质，成为射影几何学发展的起点。（二）对射影几何有所贡献的数学家（二）对射影几何有所贡献的数学家1.德沙格德沙格其主要著作是1693年发表的试论圆锥曲线平面所得结果的初稿书中引入了70多个射影几何术语，其中充满了创造性的思想，其中之一就是他从焦点透视的投影与截影原理出发，对平行线引入无穷远点的概念。德沙格定理德沙格定理投影三角形ABC和ABC的对应边或延长线的交点Q、R、P共线，反之，对应边交点共线的三角形对应定点连线AA、BB、CC共点O，如下图：德沙格的另一项重要工作是从对合点问题出发讨论了调和点组的理论。对于这一直线上的特定点O

3、（对合中心）以及两对点A、B和A、B，若有OAOB=OAOB对合。德沙格利用射影原理证明了，在圆锥曲线的内接四边形中，任一不过顶点的的直线与圆锥曲线以及与完全四边形对边相交的四对点具有对合关系。在对合概念的基础上，他引入共轭点与调和点组，认为对合、调合点组关系在投影变换下具有不变性，并进一步研究了极点极带理论。他最后利用这些研究阿波罗尼奥斯的圆锥曲线，将圆锥曲线的直径视为无穷远点的极带，通过投影和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。2.帕斯卡帕斯卡法国数学家帕斯卡在13岁的时候就发现了所谓“帕斯卡三角形”（我国称杨辉三角），16岁时就开始研究投影与取景法，他曾接受德沙格的建议，

4、把圆锥曲线的许多性质简化为少数几个基本命题，1640年完成著作圆锥曲线论，不久失传，后于1779年被重新发现。在射影几何方面他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。 德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加以区别。但我们应该认识到，当时由于这一方法而诱发了一些新的思想和观点: (1)一个数学家对象从一个形状连续变化到另一形状（2）变化与变换不变性（3）几何新方法仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量。 不过17世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然，用代数方法处理数学问题一般更为有效，也特别容易获得实践所

5、需的定量结果，而射影几何学家的方法是综合的，而且得出的结果也是定性的，不那么有用。因此，射影几何产生后不久，很快就让位于代数、解析集合和微积分，终由这些学科进一步发展出在近代数学中也占中心地位的其他学科。德沙格、帕斯卡、拉伊尔等人的工作与结果也渐被人们所遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。（三）总结（三）总结 16世纪前半叶，欧洲人像印度人和阿拉伯人一样，把实用的算术计算放在数学的首位。这是因为科学成果在工程技术上的应用以及实践上的需要，要求得出数量上的结果；地理探索与海洋贸易需要更为准确的天文知识；以精确观测为基础的新天文学需要精密的天文数表，特别是三角函数表；日益发展起来的银行业务和商务

6、活动也需要更好地计算技术，所以这些都对计算技术的改进提出了前所未有的要求。1585年荷兰数学家史蒂文发表的十进算数系统地探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数，还建议度量衡及币制中也广泛采用十进制。这种十进制的采用又为计算机技术的改变准备了必要条件。 这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的生产主要是由于天文和航海计算的强烈需要，为简化天文、航海方面遇到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法，这种设想受到人们熟知的三角公式： 2)cos()cos(sinsinBABABA的启示，或许还受到德国数学家斯蒂弗尔在他的综合算术中所发现 与其指数构成的算术级数

7、0,1,2,3，之间对应关系及运算性质的启示。对数的发现对数的发现 苏格兰贵族数学家纳皮尔是在球面天文学的三角学研究研究中首先发明对数方法的，1614年他在题为奇妙的对数定理说明书的小书中，阐述了他的对数方法。他考察一个点P沿着直线AB（长度为 单位）的运动，其速度在每一点P处正比于剩余距离PB=y；再假定一个点Q沿着无限直线CD匀速运动，其速度等于P点在A处的速度，CQ=x；令P与Q分别从A、C出发，那么定义是y的对数。如下图： ,., 132rrr710 纳皮尔最初让x和y这两组数是按公式 对应， 其中 ，e是自然对数的底，当 时，并不能得到 纳皮尔的目的是想用对数解决平面和球面三角问题，

8、因此他制作了以 分弧为间隔的 解正弦的对数表。 对数的实用价值很快为纳皮尔的朋友，伦敦格雷沙姆学院几何学教授布里格斯所认识，他与纳皮尔合作，决定采用 ，则 时得到 ，这样，就获得了今天所谓的“常用对数”， 由于我们的数系是十进制的，从而它们在数值计算上具有优越性，他 对对数计算编制了12000以及90000100000的14位常用对数表。 axeay)1(710a21xxxayyy2100900 xy1021xxx21yyy 瑞士仪器工匠比尔吉1600年也独立地发明了对数方法以简化天文计算，他的出发点是斯蒂弗尔的级数的对应思想，属于算术性质而略异于纳皮尔的做法，不过他的发明迟至1620年才得到

9、发表。 对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，所以拉普拉斯曾称赞道：“对数的发明家对其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。可以说，到16世纪末，17世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。 解析几何的思想来源费马和平面和立体轨迹引论笛卡儿和几何学解析几何的扩展解析几何诞生的意义5.3 解析几何的诞生 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡儿之前的许多学者在这方面做过努力。 早在公元前2000年，美素不达米亚地区的巴比伦人已能用数表示一点到另一固定点、直线或物体的距离，已有原始的坐标思想。古埃及人也利用类似的坐标思想测

10、量土地。公元前4世纪中叶古希腊数学家门奈赫莫斯发现了圆锥截线，阿波罗奥斯全面论述圆锥曲线的性质时采用过一种“坐标”，以圆锥体底面的直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标。公元前4世纪时我国战国时代天文学家石申绘制恒星方位表时利用了坐标方法。公元前2世纪，希腊天文学家希帕霍斯绘制恒星图表时也采用了经纬度表示星的位置。 14世纪法国数学家奥雷姆在研究抛体运动时设想用图形表示一个可变的值，这个量依赖于另一个量。这可以说是函数概念及函数图示法的萌芽。他也借用了经纬度术语叙述图示法，其中经度相当于现代的横坐标，纬度相当于纵坐标，由此可见坐标思想直接来自经纬度。 16世纪末，韦达提出了用代数方法解决几何问

11、题的想法。他在代数专著分析五篇（1593出版）和几何专著（1600）中都使用代数方法研究几何问题。其代数成果是圆满解决了阿波罗尼奥斯几何作图相切问题。韦达的思想给解析几何创立以很大启发。 17世纪初，开普勒发现行星运动三大定律，伽利略研究抛射体的运动轨迹，都要求数学从运动变化的观点研究解决问题。这些实际需求从客观上促进了解析几何的建立，而从数学理论本身，也提出一些寻求新方法的问题。 从古希腊开始，人们曾尝试用几种方法解决代数问题，形成所谓的“几何代数”。这种思想延续了两千多年。阿拉伯人文艺复兴时期的欧洲人在解决了代数问题后还要用几何方法进行“证明”，韦达甚至还保留了代数方程的齐次特征，带有明显

12、的几何印迹。 费马是解析几何的两位独立发明人之一，但他不是职业数学家，甚至都没有教过数学。费马对曲线的兴趣，始于研究希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作论平面轨迹。1629年撰写了平面和立体轨迹引论，试图展开关于轨迹的一般性研究。书中清晰地阐述了费马的解析几何原理，指出：“只要在最后的方程中出现两个未知量，我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等”如图： 费马在书中还提出并使用了坐标概念，不仅使用了斜坐标系，也使用直坐标系，他所成的未知量A、E实际就是“变量”，也就是我们今天所称的横坐标与纵坐标。 1643年费马又在一封信中简

13、短地描述了他关于三维解析几何的思想，第一个把三元方程用于空间解析几何。 1650年他进一步明确指出：一个自变量的方程决定点的作图，二个自变量的方程决定平面曲线的轨迹作图，三个自变量的方程决定空间曲面的轨迹作图。 费马 没有说明他的解析几何思想是如何形成的，我们可以认为，他与笛卡儿的创造都是文艺复兴以来欧洲代数学振兴所带来的必然结果。 论平面和立体的轨迹引论论平面和立体的轨迹引论定义以下曲线：定义以下曲线：直线直线:圆：圆：椭圆：椭圆：抛物线：抛物线：双曲线：双曲线：新曲线：新曲线： 和和byxad)(222yxb222kyxbdxydyx22,kybxkxy222;mnnmaxyayx,avr

14、n 1596年3月31日生于拉埃那，今称拉埃耶，1650年2月卒于瑞典斯德哥尔摩。法国哲学家、数学家、物理学家解析几何学奠基人之一。他认为数学史其他一切科学的理论和模型，提出了以数学为基础，以演绎为核心的方法论。对后世的哲学、数学和自然科学发展起到了巨大作用。 笛卡儿出生于一个富有的律师之家，不满周岁，其母去世。因为他的整个青年时代被允许晚起，他养成了在早晨沉思的习惯。1612年入读普瓦捷大学，攻读法学，四年后获得博士学位。为了了解社会，探索自然，1618年开始在荷兰、德国体验军旅生活，1628年变卖家产，到安静的荷兰定居，后被瑞典女王克里斯蒂娜聘为私人教师，每天早晨5时驱车赶往宫廷，为女王讲

15、授哲学，与他多年的习惯不符，又遇到了瑞典少有的严寒，不久便得了肺炎，于1650年2月11日永远地闭上了眼睛。笛卡儿笛卡儿笛卡儿1637年发表了著名的哲学著作更好的指导推理和寻求科学真理的方法论，该书有三个附录：几何学、屈光学和气象学，解析几何的发明包含在几何学这篇附录中。笛卡儿的出发点是一个著名的希腊数学问题帕波斯问题：帕波斯问题：设在平面上给定3条直线 ，过平面上的点C作三条直线分别是与 交于点P、R、Q，交角分别等于已知角 ，求使 的点C的轨迹；如果给定4条直线（如下图）则求使 的点C的轨迹。 321,lll321,lll321,2kCQCRCP)( 为常数kkCSCQCRCP笛卡儿在几何

16、学第二卷中，证明了四线问题的帕波斯结论。步骤：记AP为x，PC为y，经简单的几何分析，他用已知量表出CR、CQ、CS的值，代入CPCR=CSCQ（设k=1），就得到一个关于X和y的二次方程： （*） 其中A、B、C、D是由已知量组成的简单代数式。于是他指出，任给x一个值，就得到一个关于y的二次方程可以解出y，并根据他在几何学第一卷中给的方法，用圆规直尺将y画出。如果我们取无穷多个x值，就得到无穷多个y的值，从而得到无穷多个点C，所以这些点C的轨迹就是方程（*）所代表的曲线。在这个具体的问题中笛卡儿选定一条直线（AG）作为基线（相当于一根坐标轴），以点A为原点，x值是基线的长度，从A点量起；y值

17、是另一条线段的长度，该线段从基线出发，与基线交成定角。正是因为如此，笛卡儿建立了历史上第一个倾斜坐标系。在几何学第三卷中，笛卡儿也给出了直角坐标系的例子。22DxCxBxyAyy几何学几何学 几何学被认为解析几何创立的标志。它共分为三编，分别讨论仅使用直线和圆的作图问题，曲线的性质和主体及超立体问题的作图。笛卡儿首先改善了韦达的符号代数记法。设计了用数字上标代替“平方”、“立方”等词语表达法，淡化其几何意义。 笛卡儿的方法论著作没有告诉人们，在将一切问题化归为代数方程问题后将如何继续，这正是几何学需要完成的任务。几何学在任意选取的线段的基础上定义了 线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。他以

18、特殊的字母符号来表示线段，由于他可以用线段表示积、幂，这样就突破了“齐次性”的束缚，而在几何中自由运用算数或代数术语。运用这些术语又可以将一切几何问题化为关于一个未知线段的单个代数方程：dczbzazzcbzazzbazzbz234232 几何学的主要目标就是讨论如何给出这些方程的标准解法（由线段作图画出）。笛卡儿依下列次序对这一问题进行分类解答：（1）一、二次方程；（2）三、四次方程；（3）五、六次方程； 几何学的第一卷中从最简单的第（1）类方程出发，这相应于只用尺规作图的所谓“普通几何”问题。讨论了三种形式的二次方程：222222bazzbazzbazz并分别给出了作图（解），本质上它是利

19、用了圆与直线的交点。例 ：求解 解：作一直角形NLM，使其一边LM=b，另一边LN= ，延长 斜边MN至O，使NO=NL，则OM即为所求线段z如下图： 22bazz2a为了接着讨论三次及三次以上方程的作图，就需要研究曲线的性质与分类，这就引出了作为几何学第二卷与第三卷前半部分的一个很长的一个过渡，其中包括了使他成为近代数学史先驱的坐标几何。然而对于笛卡儿本人来说，所有这些都不过是为了达到他的最终目标高次方程作图所做的准备。在这个很长的过渡之后，笛卡儿在几何学第三卷的后半部分，又回到他的主题高次方程的标准作图，利用刚得到的坐标几何工具，解决了三、四次方程的作图和五、六次方程的作图，并指出，可以以

20、此类推地解决更高次方程的作图问题。笛卡儿的几何学的整个思路与传统的方法大相近庭，在这里表现出笛卡儿向传统和权威挑战的巨大勇气。笛卡儿在方法论当中尖锐地批判了经院哲学特别是被奉为教条的亚里士多德“三段论”法则，认为三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用，却不能帮助我们发现未知的事情”。他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短”这种怀疑传统与权威、大胆思索创新的精神，反映了文艺复兴时期的时代特征。 笛卡儿的哲学名言是“我思故我在”。他解释说：“要想追求真理，我们必须在一生中尽可能地把所有的事物都来怀疑一次”，而世界上唯一先需怀疑的是“我在怀疑”，因为“我在怀疑”证明“我在思想

21、”，说明我确实存在，这就是“我思故我在”。 意大利数学家卡瓦列里也是解析几何的先驱者之一。他最先使用极坐标求阿基米德螺线下的面积。1671年牛顿在流数法与无穷级数中引用了9种不同的表示曲线的坐标“模式”，其中模式7就是一般极坐标。牛顿是在求所谓“机械曲线”的切线过程中引进极坐标的，使用的两个参量相当于极坐标的形式绘出阿基米德螺线 和费马螺线 的方程。此外，牛顿坐标系中的模式是双极坐标系，即每个点的位置决定于它至两个固定点的距离。从时间和系统性上看牛顿是极坐标的创始人，稍后，雅各布伯努利于1691年发表关于极坐标的文章，独立引用了相近的结果，所以通常认为他是极坐标的发现者。 1665年，英国数学家沃利斯在论圆锥曲线中第一次得到圆锥曲线的方程，于是将圆锥曲线定义为对应于含x和y的二次方程的曲线，并证明这些曲线确实是几何里的圆锥曲线。他的论著使人们不仅将圆锥曲线看作是圆锥与平面的交线，更看作是一种平面曲线，这大大有助于解析几何思想的传播。沃利斯还引进了负的横坐标，使坐标思想得以完善yxbabyx