弹性力学_第六章 平面问题的基本理论

1、弹性力学弹性力学第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-4 几何方程几何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-102021-12-153 xyxyyx、2021-12-1542021-12-155 图图 6-1 2tz0)(0)(0)(2tzyz2tzxz2tzz，000yzxzz，zxzy00，0,0zw但2021-12-156 2021-12-1572021-12-158 zxzyz=000，zxzy0,00w，)(yxz2021-12-159第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-

2、4 几何方程几何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 图图 6-32021-12-15112021-12-1512 0 xyF0F0,cM， 0Mc02dy1dx2dy1dx)dyy(2dx1dy2dx1dy)dxx(yxyxyxxyxyxyyxxy6-1 2021-12-15130Fx01dxdyf1dx1dx)dyy(1dy1dy)dxx(xyxyxyxxxx0Fy00yyxyxyxxfyxfyx 6-2 2021-12-1514xyyx2021-12-1515第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-4 几何方程几何方程6-5

3、 6-66-7 6-8 6-9 6-10 设设x，y坐标面上一点坐标面上一点P的应力分量为的应力分量为 如图如图6-4a所示。在校核强度条件时，还需要求出通过此点所示。在校核强度条件时，还需要求出通过此点的任一斜面上的应力。在的任一斜面上的应力。在P点附近取一个平面点附近取一个平面AB，它平行于该斜面，并与经过它平行于该斜面，并与经过P点而垂直于点而垂直于x轴和轴和y轴的轴的两个平面划出一个微小的三棱柱两个平面划出一个微小的三棱柱PAB，图，图6-4b。当面。当面积积AB无限减小而趋于无限减小而趋于P点时，平面点时，平面AB上的应力就是上的应力就是P点在上述斜面上的应力。现设斜面上的全应力点在

4、上述斜面上的应力。现设斜面上的全应力p可可以分解为沿坐标向的分量以分解为沿坐标向的分量 ，或沿法向和切向，或沿法向和切向的分量的分量 ，如图，如图 6-4b所示。所示。 ,xyxy,xypp,nn 2021-12-15176.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态图图 6- 4用用n代表斜面代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：的外法线方向，其方向余弦为： mynlxn,cos,cos，2021-12-15186.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态 00yxFF，0 xxyxpABPAPB0yxyypABPBPAdsmdslds及2/ldsmdsxxxyyyx

5、yplmpml 6-3 2021-12-15196.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态 。,xyppxynyxnmplpmplp，xyyxnlmml222xyxynmllm226-4 6-5 nn及切应力。 2021-12-15206.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态 ： mplpyx，2021-12-15216.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态lmyxyxyxlmlm， 022xyyxyxxyyxyx221226-6 yx216-7 （a） 2021-12-15226.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态1101111

6、111cos 90sintancoscosmlxyx11tan22yxy22tan（b） 2021-12-15236.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态再利用式（再利用式（6-7），可得：），可得： xxy12tan（c） 1tantan21 212021-12-15246.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态 1122210yxxy，（d） ：2212mln2021-12-15256.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态122ml2212)( lnn122021-12-15266.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态12221

7、242122141llllmn2021-12-150212ln22l221 276.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-4 几何方程几何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 ,P A P B 图 6-5 2021-12-15296.4 几何方程几何方程xuudxuuxdxx yvvdyvyvdyy2021-12-15306.4 几何方程几何方程 xyvuvvdxvvxdxx2021-12-15316.4 几何方程几何方程uy xyvuxyxvyuyvxuxyyx， 2021-

8、12-15326.4 几何方程几何方程2021-12-15336.4 几何方程几何方程第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-4 几何方程几何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-1034 x xx xy yz zy yy yz zx xz zz zx xy yx x y yx x y yx x y yy y z zy y z zz z x xz z x x1 1= =- - + +E E1 1= =- - + +E E1 1= =- - + +E E2 21 1 + + 1 1= = =G GE E1 1= =G G1 1= =G G

9、 6-10 2021-12-1535 )1 (2EG 2021-12-1536 0, 0, 0zyzxzx xx xy yy yy yx xz zx xy yx x y yx x y yz z x xy y z z1 1= =- - E E1 1= =- - E E= = - -+ + E E2 21 1 + + = =E E= = 0 0= = 0 02021-12-1537： xyxyxyyyxxEEE12116-12 )(Eyxz 2021-12-1538 0, 0, 0zyzxz )(yxz2211112 1xxyyyxxyxyEEE2021-12-153911112 2E E =,E

10、 =,E =1-1-1-1-2021-12-1540 xyyx,xyyx,第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-4 几何方程几何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 （1）位移边界条件）位移边界条件 （2）应力边界条件）应力边界条件 （3）混合边界条件）混合边界条件 svvsuuss，6-14 us su sv2021-12-1542 s sfsfyx和xpyp sflmsfmlysxyyxsyxx6-15 2021-12-1543 ss,xypp,xyxy2021-12-1544 , l m2021-12-1545 2021-

11、12-1546第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-4 几何方程几何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 2021-12-1548 yfyfylxxyxlxx（a） 2021-12-1549xllh 2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/111111hhhhylxxyhhhhxlxxhhhhxlxxdyfdyydyfydydyfdy（b） 2021-12-1550 2021-12-1551第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-4 几何方程几何方程6-5 6-66-7

12、6-8 6-9 6-102021-12-15531. 求解平面问题的一般过程求解平面问题的一般过程 00yyxyxyxxfyxfyx（1）平衡微分方程平衡微分方程 6-2 xyxyuxvyuvyx6-8 2021-12-1554 xyxyxyyyxxEEE12116-12 xyxyxy2yyx2xE)1 (2)1(E1)1(E16-13 2021-12-15552021-12-1556 svvsuuss，6-14 sflmsfmlysxyyxsyxx6-15 , uxyxyxyyyxxEEE1211222021-12-15572021-12-1558yuxvExuyvEyvxuExyyx121

13、122 6-17 0f)yxu21x21y(1E0f)yx21yu21xu(1Ey222222x2222226-18 sysxlflf)yux(21)xuy(m1E)xyu(21m)yxu(1E22 6-19 2021-12-1559 21EE换为2021-12-15601换为 2021-12-1561第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-4 几何方程几何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10,xyxy2021-12-1563 xvyuyvxuxyyx，xy对对y的二阶导数和的二阶导数和对对x的二阶导数相加，得：的二阶导数相加，得

14、： yxxvyuuxyxyyx2223232222yxyxyx即：2y22x2xy2xyyx（6-20） 上式称为变形协调方程或相容方程。它表示在连续假定条件下，上式称为变形协调方程或相容方程。它表示在连续假定条件下， 形变分量形变分量 xyyx，不是互相独立的，而是相关的，否则不是互相独立的，而是相关的，否则 , u v不存在。不存在。 2021-12-1564 222xyyx22()()2(1)yxx yxy （a） yyxyxxyxfyxf-xy （b） 2021-12-1565 yxxy2021-12-1566yfxfyxyx2yx2y22x2xy2 （c） )yfxf)(1 ()(y

15、x(yxyx2222（6-21） )yfxf)(1 ()(yxyx2（ 6-21 ）22222yx 1代换后即可得出代换后即可得出)yfxf(1)(yxyx2222yx （ 6-22 ）2021-12-1567 2021-12-1568 sflmsfmlysxyyxsyxx （ ）,xyxy2021-12-1569 2021-12-1570第六章第六章 6-1 6-2 6-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态6-4 几何方程几何方程6-5 6-66-7 6-8 6-9 6-10 0)(yx2 （ 6-23 ）yxyx是调和函数。是调和函数。 因此，在平衡微分方程（因此，在平衡微

16、分方程（6-2）及相容方程（）及相容方程（6-23）中，只包括）中，只包括 yxxyyx,三个未知数，利用这三个方程及应力边界条件三个未知数，利用这三个方程及应力边界条件（6-15）就可以进行解题。）就可以进行解题。 2021-12-15722021-12-1573 2021-12-1574 。 yxxyyx,00yyxyxyxxfyxfyx0)(yx2(a) (b) 2021-12-1575 0, yf, xfxyyyxx(c) 00yxyxyxyyxx(d) yxff,2021-12-1576xfyyfx DyCx xfDyfC，2021-12-1577()xyxyxyAx(e) 2021

17、-12-1578 xAxy)(xyxyyxByyBxy2021-12-1579)yB(x,)y, x(A和yBxA)y, x(AdyBdxdyAxB 2021-12-1580yx,x,y2xy22y22x yx, yfx, xfy2xyy22yx22x2021-12-1581 通过微分方程求得的应力分量式（通过微分方程求得的应力分量式（6-24）还需要满足）还需要满足相容方程（相容方程（6-23）。将式）。将式6-24代入代入6-23，得：，得：0)yfxxfy)(yx(y22x2222222021-12-1582 式中式中 表示：表示：40)xy)(yx(22222222042021-12-

18、1583)yx( )yx(yyx2x222222224422444 2021-12-15844弹性力学弹性力学机电工程学院陈涛7-1 多项式解多项式解答答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷7-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力7-5 级数式解答级数式解答7-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷第七章第七章 平面问题的直角坐标解法平面问题的直角坐标解法一、应力函数取一次多项式一、应力函数取一次多项式cybxa应力分量：0, 0, 0yxxyyx应力边界条件：0YX结论：（1）线形应力函数对应于无面力、无应力的状态。（2）把任何平面问

19、题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。二、应力函数取二次多项式二、应力函数取二次多项式22cybxyax1.对应于 ，应力分量 。 2ax0,2, 0yxxyyxa7.1 多项式解答多项式解答872021-12-152ax结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图7-1（a）。y0a0axyobbbbxyoa2a2xyoc2c22.对应于 ，应力分量 。 bxybyxxyyx, 0, 0结论：应力函数 能解决矩形板受均布剪力问题。如图7-1（b）。bxy图7-1（a）（b）（c）882021-12-15x3.应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉

20、力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图7-1（c）。2cy0c0c三、应力函数取三次多项式三、应力函数取三次多项式3ay对应的应力分量：0, 0,6yxxyyxay结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图7-2所示的矩形梁。（a）MMhl2h2hyxx图xy图7-21892021-12-15具体解法如下:如图7-2,取单位宽度的梁来考察,并令每单位宽度上力偶的矩为 。这里 的因次是力长度/长度，即力。MM在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩 ，这就要求：M2222, 0hhhhxxMydydy222226 , 06hhhhMdyyaydya前一式总能满足，而后一式要求

21、：32hMa 代入式（a），得：0, 0,123yxxyyxyhM将式（a）中的 代入，上列二式成为：x902021-12-15因为梁截面的惯矩是 ，所以上式可改写为：1213hI0, 0,yxxyyxyIM结果与材料力学中完全相同。注意：注意： 对于长度 远大于深度 的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。lhlh912021-12-157-1 多项式解答多项式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷7-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力7-5 级数式解答级数式解答7-6 简支梁受

22、任意横向载荷简支梁受任意横向载荷第七章第七章 平面问题的直角坐标解法平面问题的直角坐标解法 以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。一、平面应力的情况一、平面应力的情况 将应力分量 代入物理方程0, 0,yxxyyxyIMxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(17.2 位移分量的求出位移分量的求出932021-12-15得形变分量：0,xyyxyEIMyEIM（a）再将式（a）代入几何方程：yuxvyvxuxyyx得：0,yuxvyEIMyvyEIMxu前二式积分得：)(2),(221xfyEIMvyfxyEIMu（b）（c）其中的 和 是任意函数。将式（c）代入（b

23、）中的第三式1f2f942021-12-15得：xEIMdxxdfdyydf)()(21等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此，只可能两边都等于同一常数 。于是有：yxxEIMdxxdfdyydf)(,)(21积分以后得：022012)(,)(vxxEIMxfuyyf代入式（c），得位移分量：022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu其中的任意常数 、 、 须由约束条件求得。0u0v（d）952021-12-15（一）简支梁（一）简支梁如图7-3（a），约束条件为：0)( , 0)( , 0)(00000ylxyxyxvvu由式（d）得出：22)(2,)2(yEIMxxlE

24、IMvylxEIMu代入式（d），就得到简支梁的位移分量：EIMlvu2, 0, 000梁轴的挠度方程：xxlEIMvy)(2)(0MMoxylMMoxyl图7-3（a）（b）962021-12-15（二）悬臂梁（二）悬臂梁如图7-3（b），约束条件为：0)( , 0)( , 0)(000ylxylxylxxvvu由式（d）得出：EIMlEIMlvu,2, 0200代入式（d），得出悬臂梁的位移分量：222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu梁轴的挠度方程：20)(2)(xlEIMvy二、平面应变的情况二、平面应变的情况 只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的 换为 ， 换为

25、即可。E21E1972021-12-157-1 多项式解答多项式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷7-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力7-5 级数式解答级数式解答7-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷第七章第七章 平面问题的直角坐标解法平面问题的直角坐标解法7.3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷 设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图7-4所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。hl 2qqlqlqqllloxy2h2h图7-4 用半逆解法。假设 只是 的函

26、数：xy)(yfy则：)(22yfx对 积分，得：)()(1yfyxfxx)()()(2212yfyxfyfx解之，得：其中， 、 是任意函数，即待定函数。)(1yf)(2yf（a）（b）992021-12-15 现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对 求四阶导数：将以上结果代入相容方程，得：424414442442222444)()(2)(,)(, 0dyyfddyyfdxdyyfdxydyyfdyxx0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的 值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等

27、于零。即：x0)(2)(, 0)(, 0)(2242441444dyyfddyyfddyyfddyyfd1002021-12-15前面两个方程要求：GyFyEyyfDCyByAyyf23123)(,)(第三个方程要求：23452610)(KyHyyByAyf（c）（d）将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数：234523232610)()(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx（e）相应的应力分量为：)23()23(2622)26()26(2222232223222GFyEyCByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxyyx（f）（g）（h）1012021-

28、12-15这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数 、 等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。ABK 因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz面。这样， 和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：yzxyxxyx0GFE 将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为：)23(2622)26(2223232CByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx 上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。（一）考察上下两边的边界条件（一）考察上下两边的边界条件0)( ,)( , 0)(222hyxyhy

29、hyyq（i）1022021-12-15整理，得：0430432480248222323ChBAhChBAhqDChBhAhDChBhAh由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：2,23,0,23qDhqCBhqA将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得：xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqxhqxyyx2362232264623333323（k）（l）（j）1032021-12-15（二）考察左右两边的边界条件（二）考察左右两边的边界条件 由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边：22220)(0)(hhlxxhhlxxydydy（m）（n） 将式（

30、j）代入式（m），得：0)2646(322332dyKHyyhqyhqlhh积分，得：0K 将式（j）代入式（n），得：0)646(322332ydyHyyhqyhqlhh积分，得：hqhqlH10321042021-12-15将式 （l）代入，上式成为：2223)236(hhqldyhqlyhql 另一方面，在梁的右边剪应力满足：22)(hhlxxyqldy将 和 代入式（j），得：yhqyhqlyhqyxhqX53646323323（p）HK将式 （p）、（k）、（l）整理，得应力分量：)4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyy

31、x（q）1052021-12-15式（q）可以改写为：bIQShyhyqhyhyqyIMxyyx222)21)(1 (2)534(各应力分量沿铅直方向的变化大致如图7-5所示。 在 的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。xy 的最大绝对值是 ，发生在梁顶。在材料力学中，一般不考虑这个应力分量。 和材料力学里完全一样。 qxyxyxy图7-52h2h1062021-12-157-1 多项式解答多项式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷7-4

32、楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力7-5 级数式解答级数式解答7-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷第七章第七章 平面问题的直角坐标解法平面问题的直角坐标解法7.4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力 设有楔形体,如图7-6a所示，左面铅直,右面与铅直角成角 ，下端无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的密度为 ，试求应力分量。问题：问题：gxy2Ngoxyyx图图图图7-6（a）（b）1082021-12-15 取坐标轴如图所示。假设应力函数为：3223eycxyybxax（二）边界条件（二）边界条件左面（ ）应力边界条件：0 x0)( ,)(00

33、xxyxxgy这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。（一）应力分量（一）应力分量 在该问题中，体力分量 ，所以应力分量的表达式为：gYX , 0cybxyxgybyaxYyxeycxXxyxyyx22266222222（a）1092021-12-15右面（ ）， ，应力边界条件：ytgx 0YX0)()(0)()(ytgxxyytgxyytgxxyytgxxlmml将式（a）代入，得：02,6cygyey0, 6/cge代入式（a），得：bxgybyaxgyyxxyyx226（b）将式（b）代入，得：0)(2602gmltgmbamtgglbmtg（c）又：sin)90cos(),cos(,

34、cos),cos(0yNmxNl1102021-12-15代入式（c），得：3236,2ctggctggactggb将这些系数代入式（b），得：223)()2(gxctgyggctgxgctggctggyyxxyyx各应力分量沿水平方向的变化大致如图7-6b所示。注意：注意：1.沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝身也不是无限长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。2.对于坝身底部来说，上面的解答是不精确的。3.在靠近坝顶处，以上解答也不适用。1112021-12-157-1 多项式解答多项式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷7-4 楔形体

35、受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力7-5 级数式解答级数式解答7-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷第七章第七章 平面问题的直角坐标解法平面问题的直角坐标解法7.5 级数式解答级数式解答 用逆解法。假设应力函数为：)(sinyfx（a）其中 是任意常数，它的因次是长度-1，而 是 的任意函数。)(yfy将式（a）代入相容方程，得：0)()(2)(sin422244yfdyyfddyyfdx（b）yDychyCyshyBchyAshyf)(解之，得：其中 、 、 、 都是任意常数。得到应力函数的一个解答：ABCD)(sinyDychyCyshyBchyAshx假设应力函数为：)(c

36、os1yfx同样可以得出应力函数的另一个解答：（c）1132021-12-15仍然是该微分方程的解答。所以可以得到三角级数式的应力函数：)(cos)(sin11yychDyyshCychByshAxyychDyyshCychByshAxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 相应的应力分量：将式（c）与（d）叠加，得：)(cos)(sinyychDyyshCychByshAxyDychyCyshyBchyAshx其中 、 、 、 也都是任意常数。ABCD)(cosyychDyyshCychByshAx（d）1142021-12-15)2()2(cos)2()2(sin121222yychDy

37、yshCychCByshDAxyychDyyshCychCByshDAxymmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmxcos)sin121222yychDyyshCychByshAxyychDyyshCychByshAxxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmy1152021-12-15)()(sin)()(cos12122yychCyyshDychDAyshCBxyychCyyshDychDAyshCBxyxmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmxy这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果能够选择其中的待定常数 、 、 、 、 、 、 、 、

38、 、 或再叠加以满足平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某个问题的边界条件，就得出该问题的解答。mmAmBmCmmAmBmCmDmD1162021-12-157-1 多项式解答多项式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷7-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力7-5 级数式解答级数式解答7-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷第七章第七章 平面问题的直角坐标解法平面问题的直角坐标解法7.6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷问题：问题： 设简支梁的跨度为 ，高度为 ，坐标轴如图7-7所示，上下两边的横向载荷分别

39、为 及 ，左右两端的反力分别为 及 。 lH)(xq)(1xqR1RR1R)(xq)(1xqlHxyo图7-71182021-12-15为了满足边界条件（c），取：0mmmmDCBA),3 , 2 , 1(mlmm上下两边正应力的边界条件：)()(),()(10 xqxqHyyyy上下两边剪应力的边界条件：0)( , 0)(0Hyxyyxy左右两端正应力的边界条件：0)( , 0)(0lxxxx左右两端剪应力的边界条件：1000)(,)(RdyRdyHlxxyHxxy（a）（b）（c）（d）1192021-12-15应力分量简化为：lymychClymyshDlymchDmlAlymshCml

40、BlxmlmlymychDlymyshClymchBlymshAlxmlmlymychDlymyshClymchCmlBlymshDmlAlxmlmmmmmmmmxymmmmmymmmmmmmx)()(cossin)2()2(sin122212221222（1）1202021-12-15代入边界条件（b）和（a），得：由此可以得出求解系数 、 、 、 的方程。mAmBmCmD0)()(cos0cos1212lHmHchClHmHshDlHmchDmlAlHmshCmlBlxmmDmlAlxmmmmmmmmmmmm)(sin11222xqlHmHchDlHmHshClHmchBlHmshAlxm

41、mlmmmmm)(sin1222xqBlxmmlmm（e）（f）（g）（h）1212021-12-15由式（e）、（f），得：0)()(0lHmHshlHmchmlDlHmHchlHmshmlClHmshBlHmchADmlAmmmmmm（i）（j）按照傅立叶级数展开法则，有：lmlxmdxlxmxqlxq01sinsin)(2)(与式（g）对比，得：lmdxlxmxqlBml0222sin)(2从而，得：lmdxlxmxqmlB022sin)(2（k）1222021-12-15同样由式（h），得：lmmmmdxlxmxqmllHmHchDlHmHshClHmchBlHmshA0122sin)

42、(2（ ）l求出式（k）及式（ ）右边的积分以后，可由（i）、（j）、（k）、（ ）四式求得系数 、 、 、 ，从而由公式（1）求得应力分量。llmAmBmCmD 求出应力分量后，可由式（d）求得反力 及 ，并利用两个反力与荷载的平衡作为校核之用。R1R结论：结论：1.用级数求解平面问题时，计算工作量很大。 2.由于梁的两端的应力边界条件不能精确满足，因而应力的解答只适用于距两端较远之处；对于跨度与高度同等大小的梁，这种解答是没有用处的。 1232021-12-157-1 多项式解答多项式解答7-2 位移分量的求出位移分量的求出7-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷7-4 楔形体受重力和液体

43、压力楔形体受重力和液体压力7-5 级数式解答级数式解答7-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷第七章第七章 平面问题的直角坐标解法平面问题的直角坐标解法例题例题例题例题1设有矩形截面的竖柱，其密度为 ，在一边侧面上受均布剪力 ，如图1，试求应力分量。q解：解：1.采用半逆解法，设 。导出 使其满足双调和方程：0 x0)()(, 00, 0)()()()()(, 0414444224444144444122dxxfddxxfdyyxydxxfddxxfdyxxfxyfxfyXxyxxyqhg图11252021-12-15 取任意值时，上式都应成立，因而有：y23232312341444)

44、()(,)(0)(, 0)(FxExCxBxAxyFxExxfCxBxAxxfdxxfddxxfd式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。)(xf)(1xfx（1）2.含待定常数的应力分量为：)23(26)26(0222222CBxAxyxPyFExBAxyYyxXxyxyyx（2）1262021-12-153.利用边界条件确定常数，并求出应力解答：, 0)(0 xx能自然满足：0, 0)(0Cxyx, 0)(hxx能自然满足：0, 026 , 0)(23,)(02FEFExqBhAhqyyhxyx（3）, 0)(0yyx不能精确满足，只能近似满足：hhyy

45、xydxBxAxdy000200)23(, 0)(023BhAh由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量：ABhqBhqA,2（4）1272021-12-15（1） 中的 不能略去，因为 对剪应力有影响。（2）在上端部，首先应使应力分量精确满足边界条件，如不能，则可运用圣维南原理放松满足。本题 能精确满足，因此， 在此处是精确解，而 在上端部是近似解。（3）若设 ，则导出的应力函数 和应力分量为：4.分析：)(xfCxCx0)(0yyyxy)(xfxy)32(,)31 (2, 0hxhqxPyhxhqyxyyx（5）DCxxBPyFExCBxyyfxFxExfDCxxBxfxfdy

46、yfdxxfyxyyx2231212)(),(26)(,2)()()()(（6）（7）常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。1282021-12-15例题例题2 如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为 ，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。lxygolxygo0q0qlx图2（a）（b）解：解：1.设应力函数为：3223DyCxyyBxAx不难验证其满足 。所以应力分量为：041292021-12-15CyBxyxgyByAxYyxDyCxXxyxyyx222662222222.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：上边界：0)( , 0)(00yxyyy斜面：0co

47、ssin0cossincos,sin)90cos(0yxyxyxml解得：cot,cot2cotcot3,cot2, 022gygygygxgDgCBAxyyx3.分析：本题的应力函数可用量纲分析方法得到，此函数亦可用来求解上边界受线形载荷 作用的问题，见图2（b）。0qlxq 1302021-12-15 例题例题3 3 如果 为平面调和函数，它满足，问02)( ,22yxyx是否可作为应力函数。解：解： 将代入相容条件，得：x10)(2)2(2)(2)(221222222222212xxxyxxxxyx1满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将代入相容条件得y21312021-12-15也能

48、作为应力函数。把 代入相容条件，得：2)(223yx 0)444(444)()()(2322222222232yyxxyyxxyxyx所以， 也可作为应力函数。30)2(,2222222yy1322021-12-15lxq00qO60lqyl30lqxlh解：解： 1、由满足相容方程确定系数A与B的关系：BABxyAxyAxyyxBxyyx3501207236,120, 02244444（1）图3 例题例题4 4 图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为： ，求简支梁的应力分量（体力不计）。FxyExDxyyCxBxyyAx3335331332021-12-152、含待定系数的

49、应力分量为)2()3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxyyAxxyyx3、由边界条件确定待定系数：) 3 (0)(6)2(6)2(6 ,)(20302hyxyhyylxqExhCxhAxlxq)4(0)2(33)2(5)2(922422FhDCxhBhAx1342021-12-15) 6(0)2(33)2(5)2(9 , 0)() 5(06)2(6)2(6, 0)(22422232FhDCxhBhAxExhCxhAxhyxyhyy由以上式子可求得：)8(0, 0)()7(6804,6)(4,5,3,12222202030022030300DBh

50、AlydylqlhqFhDhlqdylhqClhqBlhqAlqEhhlxxxhhxy1352021-12-15由此可解得：lhqhlqFhlqlhqD804,310003004、应力分量为)9(203)(4(4)43(2)1032(22222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhqhlxyxylhqxyyx1362021-12-15PyOhlx只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ： 2443hd34xydxyb2xybxyd234图4 例题例题5 5 如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为

51、h，在左端面上受分布力作用（其合力为P）。不计体力，试求梁的应力分量。 34xyd1、用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 所对应的面力，在梁两端与本题相一致，解：解：1372021-12-15左端部： Pdyhhxxyxx2200)(,0)(解得： 233342623, 0,122,23yhPhPxyhPhPdhPbxyyx2、由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：24222242230,6ydbyxxxydyxyyx3、利用边界条件确定，并求出应力分量：上、下边界： 24,bd0)(,0)(22hyxyhyy1382021-12-15弹性力学弹性力学机电工程学

52、院陈涛第八章第八章 平面问题的极坐标解法平面问题的极坐标解法8-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程8-9 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中8-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式8-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程8-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程8-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移8-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞8-7 曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲8-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移圆盘在匀速转动中的应力及位移8-10 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受

53、力8-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力8.1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 在处理弹性力学问题时，选择什么形式的坐标系统，虽不会影响对问题本质的描绘，但却直接关系到解决问题的难易程度。如坐标选得合适，可使问题大为简化。例如对于圆形、楔形、扇形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标方便的多。图81 考虑平面上的一个微分体 ，沿 方向的正应力称为径向正应力，用 表示，沿 方向的正应力称为切向正应力，用 表示，剪应力用 表示，各应力分量的正负号的规定和直角坐标中一样。径向及环向的体力分量分别用 及 表示。如图8-1。PACBrrrrKKrrrrdrrrrrd

54、ddrrdrrdrKrKyxoPABC2021-12-15141 考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：0, 0, 0MFFr由 ，可以得出剪应力互等关系： 0Mrr 0rF由 ，有：0)(22)()(drrdKdrdrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrrr 0F由 ，有：022)()()(drrdKddrddrdrdddrrdrrdrdrdrrrrrr2021-12-15142因为 很微小，所以取 ， ，并用 代替 ，整理以上两式，得：d22sindd12cosdrr02101KrrrKrrrrrrrrr这就是极坐标的平衡微分方程。 两个平衡微分方程中包含三个未知函数 、 和 ，所

55、以问题是静不定的。因此必须考虑变形条件和物理关系。rrr 上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中，由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。2021-12-15143第八章第八章 平面问题的极坐标解法平面问题的极坐标解法8-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程8-9 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中8-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式8-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程8-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程

56、8-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移8-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞8-7 曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲8-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移圆盘在匀速转动中的应力及位移8-10 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力8-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力一、几何方程一、几何方程位移与形变间的微分关系8.2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程在极坐标中规定:rrruu -径向正应变-环向正应变-剪应变(径向与环向两线段之间的直角的改变)-径向位移-环向位移用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微

57、分关系。图8-2drdrruo（1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图8-2所示。2021-12-15145径向线段 的正应变为：PArudrudrruurrrrr)(环向线段 的正应变为：PBrurdrddurrr)(径向线段 的转角为：PA0环向线段 的转角为：PBrrrrurrduduu1)(可见剪应变为：rrur12021-12-15146drPP BB A Adruo（2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图8-3所示。图8-3径向线段 的正应变为：PA0r环向线段 的正应变为：PBurrduduu1)(径向线段 的转角为：PArudrudrruu)(环向线段 的转角为：PBru可

58、见剪应变为：rurur2021-12-15147 如果同时存在径向和环向位移，则由叠加法得：ruruururrururrrrr11这就是极坐标中的几何方程。二、物理方程二、物理方程（1 1）平面应力情况：）平面应力情况：rrrrrrEGEE)1 (21)(1)(12021-12-15148（2 2）平面应变情况：）平面应变情况：rrrrrEEE)1 (2)1(1)1(122 将上式中的 换为 ， 换为 。E21E12021-12-15149第八章第八章 平面问题的极坐标解法平面问题的极坐标解法8-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程8-9 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中8-4

59、 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式8-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程8-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程8-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移8-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞8-7 曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲8-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移圆盘在匀速转动中的应力及位移8-10 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力8-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力8.3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程 为了得到极坐标中用应力函数表

60、示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：sin,cosarctan,222ryrxxyyxr得到：rrxyrryxryyrrxxrcos,sin,sin,cos22rryyrryrrxxrrxcossinsincos2021-12-15151222222222222222222222222coscossin2coscossin2sinsincossin2sincossin2cosrrrrrrryrrrrrrrx222222222222cossinsincoscossinsincoscossinrrrrrrryx 在=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达