数学分析2014-2015期中考试卷及答案

1、.上海师范大学标准试卷2014 2015 学年第一学期考试日期2014 年 11 月 19 日（考试时间：120 分钟）科目：数学分析I（期中卷）专业本、专科年级班姓名学号题号一二三四五六七总分得分我承诺，遵守上海师范大学考场规则，诚信考试。签名： _得得分一. 判断题 (对的打 , 错的打× , 2' 1020' )1. (2. (××) 设 a 为有理数， x 为无理数，则 ax 一定是无理数 .) 设数列 an , bn 满足：对任何自然数 n , 有 anbn , 且 lim an 和 lim bn 都nn存在，则 lim anlim bn

2、 .nn3.( ) 单调数列 an 如果含有一个收敛的子列 , 则 an 本身一定也收敛 .4.( × ) 设 an 是无穷小数列 , b ab n 是无穷大数列 , 则 nn 是无穷大数列 .5.( × ) 任何数列都存在收敛的子列 .6.( × ) 设 an, bn 均为无界数列 , 则 an bn 一定为无界数列 .7.( ) 设函数 f (x) 在某 U 0 (x0 ) 内有定义 , 且 f ( x) 在 x0点的左右极限都存在且相等 , 则 f (x) 在 x0 极限存在 .8.( × ) 设 limf (x), lim g( x)b , 则

3、lim f ( x) g (x).x x0x x0x x09.( ) 如果对任何以 x0 为极限的递减数列 xnU 0 ( x0 ) , 都有 lim f ( xn ) A,n则有 lim f ( x)A .xx0;.10. ( × ) 若00,0, 总可找到 x', x ''U 0 ( x0 ,), 使得 | f ( x')f (x '') |0 ,则 lim f (x) 不存在 .x x0得得分二叙述题（ 2'48' ）1. 叙述极限 lim f ( x) 存在的柯西准则 .x 0答 :设 函 数 f ( x) 在

4、U 0 (0, )内有定义.lim f ( x)存在的充要条件是：x 00,0 ,(2 分) 使得对x, x ' U 0 (0,) 有 f (x)f ( x ').(2 分)2. 叙述集合 S 上确界的分析定义 .设 S 是 R 中的一个数集，若数满足以下两条：（ 1）对一切 xS 有 x，即是数集 S 的上界； (2 分)（ 2）对任何存在 x0S 使得（即是 S 的最小上界） (2分)则称数为数集 S 的上确界 .得得分三计算题（本大题满分24 ', 每小题 4' ）1.求 lim1112.求 lim4 x21 223n (n 1)xnx0解 :lim(11

5、1)解 :lim4x2limx1n12 23n (n 1)x 0xx 0 x( 4 x 2)4= lim(111111)223n(n 1)n=lim(11) =1nn13.求 limsin 2x4.lim1x 21x0 ln(1x)x 01cos x1x 212(x)2解 :limsin 2xlim2x解： lim2x)22 xxx 0 ln(1x 0xx 0( 1x21)sin21x21)2 sin2(21;.5. 设 lim x2ax8 , 求数 a 的值 .xxa3ax解 : lim x2ax3alim 1xxaxxax a x a3a8a ln 2e3a6.求 a, b ,使得 lim

6、 ( x21axb)0.x1x解 :a limx21, （2分）1xx(1x)blim ( x21x) lim ( x21x2x )1( 2 分)x1xx1x得得分四用分析定义证明（本大题满分15 ' , 每小题 5' ）1. 证明： lim n a1, 其中 (a1) .n证明 : 设 na1,(1)n1a 1,(2分)h ahnh h a1 ,na 1对0,N当 nN 时, | n a1|.(3 分)n所以 lim na1,n2. 证明： lim ( x22x3)2x1证明： x 22x32x1 2（2 分）故对0 ，当 0 x 1时， x22x32（3 分）3. 证明：

7、limcos xcos2 .x 2证明 :对0, 当 0| x 2 |时,( 2 分)| cos xcos2 | 2 | sinx 2x22| , 所以 limcos xcos2 .( 3 分)sin| | x22x 2;.得得分五 . 证明题（本大题满分18 ' , 每小题 6' ）1. 证明极限 limsin 1 不存在 .x 0x证明:对01 (2 分),0,设正数 n1 , 令 x '1, x ''1,(2 分)22n2n211则有 x ', x''U 0(0;),| sinsin| 10 ,(2 分)1x 'x

8、''所以极限 limsin不存在 .x0x2. 设 S x | x为 (0,1)上的有理数 , 求 S 的上下确界 , 并用定义验证 .解 : sup S 1,inf S0.(2 分)下面验证 supS1, 对 x S 有 x1,对1, 若0,x01(0,1), x0.2当0时根据实数的稠密性存在有理数 r 使得r1 .所以 sup S1;(2分)1 ,下面验证 inf S0, 对 x S 有 x0 ,对0, 若1, x01.(0,1),x02当 01时 ,根据实数的稠密性,存在有理数 r 使得 0r. 所以 inf S1.(2 分 )3. 设 a0 ,a111an 11(an

9、1 ), n1,2,。判断数列 an的收敛性，(aa) ，2an2若收敛 ,并求其极限 .解 : 因为 a0 , a11 (a1 )1, an 11 (an1 )1,n1,2, , (2 分)2a2anan 1 an1(an1an11an2) 0 n1,2,(2分)2)2(anan所以数列 an是单调递减且有下界 , 则数列 an的收敛 ,(1 分 )设 lim a a a 1,a1 a 1.(1 分)(舍去 ). 所以数列n收敛 , lim annnn;.得得分六 . 证明题（本大题满分10 ' ）用分析定义证明归结原则：设 f在 U0 ( x0 ; ) 上有定义， limf ( x

10、)A的充要条件是： 对于任何含于 U 0 ( x0 ;) 且以 x0 为极限的数列x x0xn ，都有 limf (xn )A .n证明：必 要性设limf(xA，则对0，存在 正数' ()，使 得当)xx00 x x0' 时， | f ( x)A| （2分）另一方面，设数列xn含于U 0(x0 ;) 且 lim xnx0 ，则对上述的'， N 0，当nn N 时有 0 x x0'，从而 |f ( xn ) A |，即 limf ( xn )A （3 分）n充分性设对任何含于 U 0 ( x0 ;) 且以 x0 为极限的数列xn ，都有 limf (xn ) A .n用反证法，若当xx0时 f不以 A 为极限，则00 ，0 ， x 使得0 xx0' 时 | f ( x)A |0取 '，则得到数列 xn23n使得 0x xnn，而 | f ( xn )A |0 （3 分）数列 xnU 0 (x0 ,) 且 lim xnx0 ，但当 n时 f (xn ) 不趋于 A ，与假设矛n盾所以必有 lim f ( xn )A （2 分）n得得分七 . 证明题（本大题满分5' ）设0r1 ，c 是一个正的常数。如果数列xn 满足| xn 1xn |cr n ,nN 。用柯西收敛准则证明：lim xn