数学建模-新产品销量预测问题

1、销量预测问题一、 摘要本文通过建立微分方程模型，探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。模型由简单到复杂、 由理想到现实， 逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况，分析了广告费用对销售量产生的影响， 建立比较符合现实的模型。问题一中，新产品的投入，没有市场竞争，有良好的市场环境，也有良好的口碑，故属于较为简单的微分方程模型，可直接建立模型。问题二中，产品销售存在一定的市场容量N统计表明 dx 与该产品的潜在,dt容量 Nx(t ) 成正比，故建立阻滞增长模型求解。问题三中，则考虑了广告费用对产品销量的影响， 分析了广告费用与销售速率之间的关系，建立数学微分方程模型，并运用了 Mat

2、lab 软件编程求解。二、 问题提出一种新产品问世，经营者自然要关心产品的卖出情况。如何采取有效措施，使得产品销量大，获取更大的利润，这是每个经营者最为关注的问题。dxx(t)、设t时刻产品销量的增长率dt与成正比 , 预测 t 时的产品销量x t；1dx2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明 dt 与该产品的潜在容量 Nx(t ) 成正比 , 预测 t 时的产品销量 x t；3、试考虑影响产品销量的广告因素，并建立模型， 预测 t 时的产品销量 x t .三、 模型假设与符号系统模型假设：模型基本假设：；假设 1：在考虑影响商品销售的因素时，不考虑偶然因素，如经济、战争因素、政

3、治干预等；假设 2：产品的销售量符合产品的生命周期；假设 3：产品为日常用品，不是耐用品，每个人都需要。精选文库符号系统：x(t)为 t 时刻新产品的销售量a 为每件新产品的宣传效率N 为市场的销售容量b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数s(t) 为商品 t 时刻的销售量 (即新产品在此时刻一段时间的销售量 ,如七月份 , 八月份的销售量 ,而不是总销售量 )M(t)为 t 时刻的广告费用为销售量本身的衰减系数? 为广告宣传对销售速率的影响T为商品销售速率最大的时刻四、 模型的建立与求解问题一模型的建立与求解：模型的建立：t 时刻时，新产品的销售量为x（ t），把 x（ t）当做连续、

4、可微函数处理。每件新产品都是宣传品，且单位时间内每件新产品能够使a 件新产品被销售。由假设可知：x(t+?t) -x(t)=ax(t)即：dxdt开始时有 x0 件新产品被销售axx(0)=x0整理得：dxaxdtx(0)x0求解得：x(t )x0eat-2精选文库问题二模型的建立与求解：模型的建立：事实上， x t 往往是有上界的。针对模型上述欠缺，我们来修改模型 , 统计表明 dx 与该产品的潜在销量成正比， 且设 b 为销售量的增长率与潜在dt销售量的比例系数则：dxb( N x(t )dt用 matlab 软件求解得：x( t)N ( ebt1) x 0ebt问题三模型的建立与求解：模

5、型的建立：与实际情况比较， 所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。然而事实上， 厂家在产品销售之初， 往往是通过广告、 宣传等各种方式来推销其产品的。因此我们需要做一下在广告干预下的模型。另由图像分析可知商品的销售速度与广告费用成正比，即dsdtM (t)但是在市场趋于饱和， 销售量趋于极限值 N时，销售速度将会下降 （广告作用下降，当 s（t ）趋近于 N，广告作用趋近于零） 。产品生命周期一般分为四个阶段：引入期：指新产品投入市场的初期阶段，也叫投入期。因这一阶段，用户对产品不太了解，需要做大量的广告宣传工作， 向用户推荐介绍产品， 所以这一时期也叫做介绍期。成长期： 市场销售量迅速增长

6、的阶段。成熟期：销售量很大，而且稳定，增减幅度不大。 销售量最高点也是在这一时期。衰退期： 产品已经陈旧老化，销售量下降很快。由产品的生命周期可知，自然衰退是商品销售速度的一种性质，即产品销售速度随销售量的增加而下降。dss(t )1dtN由于商品本质属性中销售衰减期的存在，所以我们建立模型如下：ds(t)M (t)(1s(t ) )s(t)dtN特别： M(t ）=0， s（ t ） =N时，得到-3ds(t)dt精选文库s(t)若 M(t ）复杂，则方程难以解出。考虑到销售速度与广告宣传的关系，当销售进行到一定时刻， 无论如何做广告， 销售速度都将下降。 故设广告总费用为 m，为讨论方便，

7、设在 T 时间内做广告且取 M（t ）=m/T,即取广告策略为 :m (0tT )M (t )T0(tT )相当于在开始到 T 时间内，平均投入广告费用，时间T 后不再作广告。代入方程：当 0<t<T 时，ds(t )m (1s(t) )s(t )dtTNm(m ) s(t)(0<t<T)TTM令mpTMmqT则方程化为一阶非齐次线性方程ds(t )dt得 :ps(t )qpts ( t )ce若 s（ 0） =s0，则 c=s0-q/p,从而qps(t)(s0q )e pt qppq (1 e pt )s0e ptp当 t>T 时，由s'(t)=-s(t)得： ,-4精