数学建模题目及答案解析

1、09 级数模试题1.把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳， 然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15 分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设：（ 1）地面为连续曲面（ 2）长方形桌的四条腿长度相同（ 3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（ 4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别

2、在A、 B、 C、D处， A、 B,C、 D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线 ab, 则 ab 也与 A、B，C、D 平行。当方桌绕中心0 旋转时，对角线 ab 与 x 轴的夹角记为。容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令f ( ) 为 A、B 离地距离之和，g() 为 C、D 离地距离之和， 它们的值由唯一确定。 由假设（ 1），f () ,g () 均为的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 f () g( ) =0 必成立（）。不妨设f (0)0,g(0)0 gg(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转

3、），于是问题归（若结为：已知 f () ,g ( ) 均为的连续函数， f (0)0, g (0)0 且对任意有 f (0 ) g(0 )0 ，求证存在某一0 ，使 f (0 ) g (0) 0。证明：当 =时，AB与 CD互换位置，故 f ()0，g ()0。作 h( )f ( )g () ，显然， h()也是的连续函数，h(0)f (0)g (0)0 而 h()f () g ()0 ，由连续函数的取零值定理，存在0 ， 00，使得 h( 0 )0 ，即 f (0 )g(0 ) 。又由于 f (0 ) g (0 )0 ，故必有f (0 )g(0 )0 ，证毕。2. 学校共 1000 名学生，

4、 235 人住在 A 宿舍， 333 人住在 B 宿舍， 432 人住在 C宿舍。学生们要组织一个 10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15 分）解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人， B 宿舍的委员数为 y人， C 宿舍的委员数为 z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。则x+y+z=10 ；x/10=235/1000；精选文库y/10=333/1000；z/10=432/1000；0x100y10，x,y,z为正整数；0z10解得： x=3y=3z=43. 一饲养场每天投入5 元资金用于饲料、设备、人力

5、，估计可使一头80 公斤重的生猪每天增加 2 公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8 元，但是预测每天会降低0.1 元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。 （15 分）解：设在第t 天出售这样的生猪（初始重80 公斤的猪）可以获得的利润为z 元。每头猪投入： 5t 元产出：（ 8-0.1t ）（ 80+2t ）元利润： Z = 5t +（ 8-0.1t ）（80+2t ） =-0.2 t2 + 13t +640=-0.2（ t2-65t+4225/4） +3405/4当 t=32 或 t=33 时， Zmax=851.25( 元 )因此，应该在第32 天过后卖出这样的生猪，可以

6、获得最大利润。4.一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2 两种奶制品， 1 桶牛奶可以在设备甲上用12 小时加工成3 公斤 A1，或者在设备乙上用8 小时加工成4 公斤 A2。根据市场需求，生产的A1，A2 全部能售出，且每公斤A1 获利24 元，每公斤A2 获利 16 元。现在加工厂每天能得到50 桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480 小时，并且设备甲每天至多能加工100 公斤 A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。 （2） 33 元可买到1 桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（ 4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? (5)A1

7、的获利增加到30 元/ 公斤，应否改变生产计划？（15 分）解：设：每天生产将x 桶牛奶加工成A1， y 桶牛奶加工成A2，所获得的收益为Z 元。加工每桶牛奶的信息表:产品A1A2所需时间12小时8小时产量3公斤4公斤获利/公斤24元16元(1)x+y<=5012 x8 y48003 x100y0Z=24*3x + 16*4y=72x+64y-2精选文库解得，当 x=20 ， y=30 时， Zmax=3360 元则此时，生产生产计划为20 桶牛奶生产A1，30 桶牛奶生产A2。（2）设：纯利润为W元。W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元 )>

8、;0则，牛奶33 元/ 桶 可以买。(3) 若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：12 x 8 y48003 x100y0W=39x+31y-3精选文库解得，当 x=0， y=60 时 ， Wmax=1860元则最多购买60 桶牛奶。(4)若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为n 元。n=Wmax/480=3.875（元）(5) 若 A1 的获利为 30 元，则其优化条件不变。Z1=90x+64y-4精选文库解得，当 x=0， y=60 时， Z1max=3840（元）因此，不必改变生产计划。5.在冷却过程中， 物体的温度在任何时刻变化的速率大致正比于它的温度与周围介质温度之差，这一结

9、论称为牛顿冷却定律，该定律同样用于加热过程。一个煮硬了的鸡蛋有98，将它放在18的水池里， 5 分钟后，鸡蛋的温度为38，假定没有感到水变热，问鸡蛋达到20，还需多长时间?（ 15 分）解：题意没有感到水变热，即池水中水温不变。设: 鸡蛋的温度为T，温度变化率就是dT/dt其中 t 为时间，水的温度为T1，则鸡蛋与水温差为T-T1由题意有：T- T1=kdT/dt (其中 k 为比例常数 )(1)方程 (1) 化为 ： dt=kdT/（T- T1 ） （2）对（ 2）两边同时积分之后并整理一下就得到：t=k*ln（T- T1 ）+C则 k*ln （ 98-18 ） + C=0 5=k*ln （

10、38-18 ）+c-5精选文库5kln20ln80t1=k*ln(20-18)+c-k*ln(38-18)+c=8.3（ min）所以，还需8.3 （min）。6. 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 （15 分）解：设：报纸具有时效性每份报纸进价b 元，卖出价a 元，卖不完退回份报纸c 元。设每日的订购量为n，如果订

11、购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n。n 的意义。 n 是每天购进报纸的数量，确定n 一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n 的意义是双重的。本题就是让我们根据a、 b、 c 及 r 来确定每日进购数n。基本假设1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n。2、假设报纸每日的需求量是r ，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量 r 的分布函数 , 只知道每份报纸的进价b、售价 a 及退回价c。3

12、、假设每日的定购量是n。4、报童的目的是尽可能的多赚钱。建立模型应该根据需求量r 确定需求量n，而需求量r 是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到n 值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合r 与 n 的量化关系，从实际出发最终确定n 值。由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。1、赚钱。赚钱又可分为两种情况:r>n ，则最终收益为 (a-b)n(1) r<n ，则最终收益为 (a-b)r-(b-c)(n-r)>0整理得： r/n>

13、(b-c)/(a-c)(2)2、由 (2) 式容易得出不赚钱不赔钱。r/n=(b-c)/(a-c)(3)3、赔钱。r/n<(b-c)/(a-c)(4)模型的求解首先由 (1) 式可以看出n 与最终的收益呈正相关。收益越多，n 的取值越大。但同时订购量n 又由需求量 r 约束，不可能无限的增大。所以求 n 问题就转化成研究r 与 n 的之间的约束关系。然后分析 (3) 、(4) 两式。因为 (3) 、 (4) 分别代表不赚钱不赔钱及赔钱两种情况，而我们确定n 值是为了获得最大收益，所以可以预见由 (3) 、(4) 两式确立出的 n 值不是我们需要的结果，所以在这里可以排除，不予以讨论。最后

14、重点分析 (2) 式。-6精选文库显然式中 r 表需求量， n 表订购量， (b-c)表示退回一份儿报纸赔的钱。因为(a-c)无法表示一个显而易见的意义， 所以现在把它放入不等式中做研究。由 a>b>c, 可得 a-c>a-b ，而 (a-b) 恰好是卖一份报纸赚得的钱。然后采用放缩法，把(2) 式中的 (a-c)换成 (a-b) ，得到r/n<(b-c)/(a-b)(5)不等式依然成立。由(5) 式再结合 (1) 式可知收益与n 正相关，所以要想使订购数n 的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c)与赚钱 (a-b) 的比值就应越小。 当报社与报童签订的合同使报童每份报纸

15、赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。7.谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关键的。（10 分）简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决 " 实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模的几个过程1 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。2 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用