数学建模课后答案

1、第一章4. 在 1.3 节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f ( a ) 和g ( a )。f和 g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ， f ( a)和 g (a)中至少有一个不为零。不妨设g(0)0, f (0)0 。当椅子旋转90°后，对角线互换，f ( /2)0, g ( /2)0 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题：已知f ( a)和 g(a)是 a 的连续函数，对任意 a, f (a) g (a)0,

2、且 g(0)f (/2) 0 ，f (0)0, g ( /2)0 。证明存在 a0 ，使 f (a0 ) g (a0 )0证：令 h ( a ) f( a ) g ( a), 则 h (0 )0和 h( /2)0 ，由 f 和 g 的连续性知 h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在 a0 （0 a0 /2 ）使 h ( a0 )0 ，即 f ( a0 )g( a0 ) 0因为 f (a0 ) ? g(a0 ) 0 ，所以 f ( a0 )g( a0 ) 0精选文库8-2精选文库第二章7.10. 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘

3、。-3精选文库-4精选文库第三章5.根据最优定价模型考虑成本随着销售量的增加而减少，则设q( x) q0 kx (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低，销售量 x 与价格 p 呈线性关系 xa bp , a,b 0(2)收入等于销售量乘以价格 p : f ( x)px(3)利润 r ( x)f (x)q( x)(4)将（ 1）（2）（3）代入（ 4）求出r ( x)bp2pakbpq ka0当 a,b, q0 , k 给定后容易求出使利润达到最大的定价p* 为p*q0kaa22kb2b6.根据最优定价模型f ( x) px x 是销售量 p 是价格，成本 q 随着时间增长， q qt,为增长

4、率，q0 为边际成本（单位成本） 。销售量0与价格二者呈线性关系 x a bp, a, b 0 .利润 u( x)f ( x)q( x) .假设前一半销售量的销售价格为p1 ，后一半销售量的销售价格为 p2 。前期利润后期利润u( p1 )T / 2q(t )( abp1 )dt p10u( p2 )Tq(t)( abp2 )dt p2T / 2总利润Uu( p1 ) u( p2 )由 U0,U0 可得到最优价格 :p1p2p1 1 ab(q0T)P21 a b(q03 T)2b42b4-5精选文库前期销售量后期销售量T、2（ abp1 )dt0Tp2 )dt(aT / 2总销售量Q0 = a

5、TbT ( p1 p2 )2在销售量约束条件下U 的最大值点为aQ0T aQ0Tp1bT8, P2bT8bb7.(1)雨水淋遍全身， s 2(ab bc ac)2 * (1.5* 0.50.5 * 0.21.5* 0.2) 2.2m2以最大速度跑步，所需时间 tmind / vm 1000/ 5 200s(2) 顶部淋雨量 Q1bcdw cos/ v雨速水平分量u sin, 水平方向合速度usinv迎面淋雨量Q2abdw(u sinv) / uv总淋雨量QQ1Q2当 vvm 时， Q最小，0，Q 1.15 L;。30 ， Q 1.55L(3)合速度为|u sinv |总淋雨量bdw cu co

6、su(usinv)bdw u(c cosa sin)av ,vu sinQuvuvbdw cu cosa(vu sin)bdw u(c cosa sin)avu sinuvuv,v若 c cosa sin0 ,即 tanc / a ,则 vu sin时Q最小，否则 vvm 时 Q 最小，当30。， tan2/ 15,v2m / s, Q0.24L 最小-6精选文库（ 4）雨从背面吹来，满足 tan。）c / a(a 1.5m, c 0.2m,7.6， v u sin ,Q最小，人体背面不淋雨，顶部淋雨。（ 5）侧面淋雨，本质没有变化第四章1. （1）设证券 A B C D E 的金额分别为x1

7、, x2 , x3 , x4 , x5Max0.043x10.027x20.025x30.022x40.045x5s.t.x2x3x44x1x2x3x4x5102x12 x2x3x45x51.4,即6x16x24x34x436x50x1x2x3x4x59x115x24x33x42x55,即4x110x2 x32x43x50x1x2x3x4x5x1, x2, x3 , x4 , x50(2) 由（ 1) 可知，若资金增加 100 万元，收益增加 0.0298 百万元，大于以 2.75%的利润借到 100 万元资金的利息， 所以应该借贷。 投资方案需要将上面模型第二个约束右端改为 11，求解得：证

8、券 A，C，E 分别投资 2.40 百万元， 8.10 百万元， 0.50 百万元，最大税后收益为 0.3007 百万元。(3) 由（ 1）可知，证券 A 的税前收益可增加 0.35%，若证券 A 的税前收益增加为4.5%，投资不应改变。证券 C 的税前收益可减少 0.112%，故若证券 C 的税前收益减少为 4.8%，投资应该改变。6. 设 y1, z1 分别是产品 A 是来自混合池和原料丙的吨数，y2 , z2 分别是产品B 中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为x1 , x2 , x4 ,-7精选文库优化目标是总利润最大，7. 记 b=(290,315,350,

9、455) 为 4 种产品的长度， n=(15,28,21,30) 为 4 种产品的产品的需求量，设第 i 种切割模式下每根原料钢管生产 4 种产品的数量分别为r1, r2 , r3 , r4 , 该模式使用 xi 次，即使用该模式切割xi 根原料钢管（ i=1,2,3,4)且切割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。-8精选文库第五章dii0si i,i (0)1、（ 1） SIR 模型 dt,s(t) 曲线单调递减。dss0si, s(0)dt若 s0 1 , 当 1当 s当 s(2) 若 s01 , didtss0 时， di0,i(t) 增加；1时， didt0,i(t)达到最大值；dt1时， di0,i(t)减少，且 i0dt0, i (t ) 单调递减至 09. （1）提倡一对夫妻只生一个孩子：总和生育率（ t