数学必修二重点知识例题名师优秀资料

1、【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.解：S S侧2S底342214 2 3 24 8 3( mm2 ) .2【例 4】如图中，正方体ABCD A1B1C1D1， E、 F 分别是 AD 、 AA1 的中点 .（ 1）求直线 AB1和 CC1 所成的角的大小； （ 2）求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小 .解：（ 1）如图，连结 DC 1 ， DC1 AB1， DC 1 和 CC1 所成的锐角 CC 1D 就是 AB1 和 CC1所成的角 . CC1D =45 °， AB1 和 CC1 所成的角是 45° .（ 2）如图，连结 DA 1、

2、A1C1， EF A1D ， AB1 DC 1， A1DC 1是直线 AB1 和 EF 所成的角 . A1 DC 1 是等边三角形， A1 DC 1 =60o，即直线AB1 和 EF 所成的角是 60o.【例 1】已知空间边边形ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线AB 和 CD 所成的角的大小 .解：分别取AC 、 AD 、 BC 的中点 P、 M、 N 连接 PM 、 PN，由三角形的中位线性质知PN AB， PM CD ，于是 MPN 就是异面直线 AB 和 CD 成的角（如图所示） .连结 MN 、 DN ，设AB=2， PM =PN=1. 而 AN= DN= 3 ，由 MN AD

3、， AM =1，得 MN=2 ，222， MPN =90° .异面直线 AB、 CD 成 90°角 .MN =MP +NP【例 2】在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， E、 F 分别为棱 BC、 C1D 1 的中点 . 求证： EF 平面 BB 1D 1D.证明 ：连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE，则 OEDC， OE= 1 DC .2 DC D 1C1， DC =D 1C1 ， F 为 D 1C1 的中点， OE D 1F， OE =D 1F， 四边形 D 1FEO 为平行四边形 . EF D 1O.【例又 EF 平面BB1D1D ， D 1O 平面 B

4、B1D 1D ， EF 平面 BB1D 1D .A3】如图，已知E、F、G、M 分别是四面体的棱AD、CD、 BD、 BC的中点，求证： AM 平面 EFG .E证明 ：如右图，连结DM ，交 GF 于 O点，连结 OE ，在 BCD中， G、 F 分别是 BD、 CD中点， GF /BC ， G 为 BD中点， O为 MD 中点，BGOD在AMD中，E、O为AD、MD中点， EO/ AM ，MF又 AM平面 EFG ， EO平面 EFG ， AM 平面 EFG .C点评 ：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例

5、 4】如图，已知 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是 AB、 PC 的中点（1）求证： MN / 平面 PAD ；（ 2）若 MNBC4，PA 43 ，求异面直线PA 与 MN 所成的角的大小 .解：（ 1）取 PD 的中点 H ，连接 AH，由 N 是 PC 的中点， NH /1DC. 由M是AB的中点， NH / AM， 即 AMNH 为平行四边形 . MN / AH .2由 MN平面 PAD , AH平面 PAD ， MN /平面 PAD .（ 2） 连接 AC 并取其中点为O，连接OM 、 ON， OM / 1BC， ON /1PA， 所以22ONM 就是异面直

6、线PA 与 MN 所成的角，且MONO.由 MNBC 4，PA 4 3,得 OM=2， ON= 2 3所以ONM300 ，即异面直线 PA 与 MN 成 30°的角点评 ：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得 .【例 2】已知棱长为1 的正方体 ABCD A1B1C1D 1 中， E 是 A1B1 的中点，求直线AE 与平面 ABC 1D 1 所成的角的正弦值 .解：取 CD 的中点 F ，连接 EF 交平面 ABC1D1 于 O，连 AO .由已知正方体，

7、易知EO平面 ABC1 D1， 所 以EAO为所求.11A D2在 Rt EOA 中 ， E OE F 1，222AE(1)2125， sinEAOEO10.22AE5所以直线 AE 与平面 ABC1 D1 所成的角的正弦值为10 .5【例2】如图 , 在空间四边形ABCD中， AB BC, CDDA,E ,F ,G 分别是 CD, DA, AC的中点，求证：平面BEF 平面 BGD .证明： ABBC, G 为 AC 中点，所以ACBG .同理可证 ACDG, AC面 BGD.又易知 EF /AC，则 EF面 BGD.又因为 EF面 BEF ，所以平面 BEF平面 BGD .¤知识

8、要点 ：1. 点斜式：直线l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k，其方程为 y y0k( xx0 ) .2. 斜截式：直线l 的斜率为 k，在 y 轴上截距为b，其方程为 ykxb .3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线 . 若直线 l 过点 P0 (x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直 ,此时它的倾斜角为 90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x x0 0 ，或 xx0 .4.yy0k 与 y y0k( x x0 ) 是 不 同 的 方 程 ， 前 者 表 示 的 直 线 上 缺 少 一 点注 意 ：x0xP0 ( x0 , y0 )

9、，后者才是整条直线 .1.两点式：直线l 经过两点 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2, y2 ) ，其方程为yy1xx1 ，y2y1x2x12.截距式：直线l 在 x、y 轴上的截距分别为xy1 .a、b，其方程为ba3.两点式不能表示垂直x、y 轴直线；截距式不能表示垂直x、y 轴及过原点的直线 .4.线段 P P 中点坐标公式x1 x2y1y2).1 2(,221. 一 般 式 ： A x B yC0，注意 A、B 不同时为 0.直线一般式方程A x B y C0 (B0化)为斜截式方程yA xC ，表示斜率为A ， y 轴上截距为C 的BBBB直线 .2 与 直 线 l :

10、Ax By C0平行的直线，可设所求方A x B y C 0 垂直的直线，可设所求方程为BxAy'CA( x x0 ) B( y y0 ) 0 .经过点 M0，且平行于直线l的直线方程是A( xx0 )B ( y经过点 M0，且垂直于直线l的直线方程是B( xx0 )A( y3. 已 知 直 线 l1 ,l2 的 方 程 分 别 是 ： l1 : A1xB1 yC1'程 为 AxByC0 ； 与 直 线0 . 过点 P( x0 , y0 ) 的直线可写为y0 )0 ；y0 )0 .0 （ A1,B1 不同时为0），l 2 : A2 x B2 yC20 （A2 , B2 不同时为

11、0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（ 1） l 1l 2A1 A2B1B20 ； （ 2） l1 / l2A1B2 A2 B1 0, AC1 2 A2 B1 0 ；（ 3） l1 与 l 2 重合A1B2A2 B10, AC1 2 A2 B10 ； （ 4） l 1 与 l2 相交A1B2 A2 B1 0 .如果 A2 B2C2 0 时，则 l1 / l 2A1B1C1； l1 与 l2 重合A1B1C1 ； l1 与 l2 相交A2B2C2A2B2C2A1B1 .A2B21. 点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : AxByC| Ax0By0C |0 的距离公式为 dA2B 2【例

12、 2】（ 1）求经过点 A(3,2) 且与直线 4x y20 平行的直线方程； （ 2）求经过点B(3,0) 且与直线 2x y 5 0 垂直的直线方程 .解：（ 1）由题意得所求平行直线方程4( x3)( y2) 0 ，化为一般式4 xy140 .（2） 由题意得所求垂直直线方程( x3)2( y0)0 ，化为一般式x2 y30 .【例 3】已知直线 l 的方程为 3x+4y 12=0 ，求与直线 l 平行且过点（1， 3）的直线的方程分析 ：由两直线平行，所以斜率相等且为3 ，再由点斜式求出所求直线的方程.4解：直线l: 3x+4y 12=0 的斜率为3 ， 所求直线与已知直线平行，所求直

13、线的斜率为43 ，4又 由 于 所 求 直 线 过 点 （ 1 ， 3 ）， 所 以 ， 所 求 直 线 的 方 程 为 ： y33 (x 1) ， 即3x 4y9 0.4点评 ：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程 .此题也可根据直线方程的一种形式A( x x0 )B( yy0 )0 而直接写出方程，即 3(x1)4( y3)0 ，再化简而得 .【例 2】求经过两条直线2xy8 0 和 x2 y10 的交点，且平行于直线4x 3y70 的直线方程 .解：设所求直线的方程为2 xy8(x 2 y1)0 ，整理为 (2) x(12) y

14、80 . 平行于直线 4 x3y70，(2)(3)(12 )4 0，解得2 .则所求直线方程为 4x 3y60【例 1】求过直线 l1 : y1 x 10 和 l2:3xy0的交点并且与原点相距为1 的直线 l 的方程 .33解：设所求直线 l 的方程为 3 y x10(3xy)0 ,整理得 (31)x(3) y100 .由点到直线的距离公式可知，d101, 解得3 .(31)2(3) 2代入所设，得到直线l 的方程为 x1或 4 x 3 y50 .【例 2】在函数 y4 x2的图象上求一点P，使 P 到直线 y4x 5 的距离最短，并求这个最短的距离 .解：直线方程化为4 xy 5 0 .

15、设 P( a,4 a2 ) , 则点 P 到直线的距离为| 4a4 a25 | 4(a1/ 2)24 |4( a1/ 2)24.当 a1 时，点 P(1,1) 到直线的距离最d(1)217174222417短，最短距离为.17【例 1】若直线（ 1+a） x+y+1=0 与圆 x2 y2 2x 0 相切，则 a 的值为.解：将圆 x2 y2 2x 0 的方程化为标准式： （ x 1） 2 y2 1, 其圆心为（1， 0），半径为1，由直线（ 1 a） x y 1 0 与该圆相切，则圆心到直线的距离|1a1|1， a 1.d2(1a)1【例 2】求直线 l : 2 xy 20 被圆 C :( x 3)2y29 所截得的弦长 .解：由题意，列出方程组2xy20y 得 5x214x 4 0 ，得 x1(x3)2y2，消94x1 x2.522设直线2 x y 2 0与圆