数学篇——-数列讲解

1、第五章数列学习要求：1. 了解数列和其通项公式、前 n项和的概念2. 理解等差数列、等差中项的概念，会用等差数列的通项公式、前 n项和公式解决有关问题 .3. 理解等比数列、等比中项的概念，会用等比数列的通项公式、前 n项和公式解决有关问题 .一、数列的概念1. 定义按照一定顺序排列的一列数，数列里的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项，第二项，第 n项，第一项也叫首项.一般地，常用 a1， a2，a3， an来表示数列，其中an 是数列的第 n项，又叫做数列的通项. 数列记为an例如 , 数列1,3,5,7,2n1,第 1项是 1，第 2项是 3，第3项是 5，第 n项是

2、2n1，数列记作2n12. 数列的通项公式数列an 的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系，如果可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.例如，数列 1,3,5,7,2n1,通项公式是 an2n1.3. 数列的前 n项和对于数列 a1, a2 , a3 , an称 a1a2a3an为这个数列的前n项和，记作 Sn .即 Sna1a2a3an4. 数列 an 的 an 与 Sn 的关系a1S1,anSnSn 1 (n2)例 1 已 知 数 列 an 的 前 n 项 和S 3n22n，求数列 an的通项公式 ann解析 :由 Sn3n22n得Sn 13(n1)22(n1)3n

3、28n5所以，当 n2时anSS3n22n(3n28n5) 6n 5nn 1当 n1,a1S13 122 11,满足公式 an6n5所以数列的通项公式为an6n5历年试题（ 2014 年试题）2. 已知数列a的前 n项和 Sn22n，求nn（I ） an的前三项；（ II ）数列 an 的通项公式解析 ：（I ）a1S1122 11a2S2S12222(1)1a3S3S23223 (2222)3（ II）当 n2,anSnSn 1n22n( n1)22(n 1) 2n 3当 n1时 a11,满足 an2n 3所以数列的通项公式为an2n3（ 2007 年试题）已知数列an 前 n 项和Snn(

4、2n1)（ I ）求该数列的通项公式；（ II ）判断 39 是该数列的第几项 .解 :（ I ）当 n 2,anSnSn 12n2n2(n 1)2(n 1) 4n 1当 n1时 a13,满足 an4n 1所以数列的通项公式为an4n1(II) 设 39 是 该 数 列 的 第 n 项 ， 则394n1, n10，即 39 是该数列的第10项二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的差都等于一个常数， 这个数列就叫等差数列，这个常数叫做公差，记为d ，即d an an 1等差数列的一般形式为a1,a1d, a12d,a1(n1)d,2. 等差数列的通项公式设

5、 an 是首项为 a1，公差为 d 的等差数列，则这个数列的通项公式为ana1(n1)d3. 等差数列的前 n项和公式设 an 是首项为 a1，公差为 d 的等差数列， Sn为其前 n项和，则S(a1an ) nn2或 Snna11 n(n 1)d24. 等差中项如果 A, B,C称等差数列， B就称为 A与 C 的等差中项，则 BAC2注：一般证明一个数列是等差数列时，经常是按它们的定义证明an 1and 为常量5. 等差数列的性质（ 1）在等差数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等差数列 .对于等差数列 a1 , a2 , a3 ,an数列 a ,a , a , a也是

6、等差数列，数1 352n 1列 a2 , a4 ,a6 , , a2n 也是等差数列数列 a1, a5 ,a9 , a13也是等差数列例 2 如 在 等 差 数 列 an 中 ， 已 知a24, a79，求 a12解 析 ： a2 , a7 , a12 构 成 等 差 数 列 ， 因 为a7a2945，所以a12a759514（ 2）对等差数列 an ，若 m, n, s,t 均为正整数，且 m n s t ，则 am an as at如a1 a9 a2a8a3a7 a4 a62a5例 3 在等差数列an中，已知 a2a810，求 a5解析：因为 a2a8a5a5 ，即 2a5a2a8 ,(a

7、2a8 )10所以， a5522例 4 设 an 为 等 差 数 列 , 其 中a59,a1539，则 a10（ A）24 （B）127 （C） 30 （ D）33解析 : 解法一由 等 差 数 列 an 的 通 项 公 式an a1a14d9(n 1)d 知14d39a1a13a 9d 24得所以 ad3101解法二an 为等差数列， 所以 a5 ,a10 ,a15 也是等差数列，所以， a10 是 a5 与 a15 的等差中项，a5a159 39a102242例 5 在等差数列an 中，如果 a22,a3 5，则 S10 _解析： d a3a2523，由 a2a1d ,得 a1a2d231

8、S10a110(101)d101210( 1)110(101)31252例 6 等差数列an 中，若 a4a5a690则其前9项的和 S9（）A. 300B.C. 540D.270135解析： an 是等差数列，所以 a4a62a5 ，由 a4a5a690得 3a590， a530由 S(a1an ) n得， S(a1a9 ) 9，n292又 a1 a9 2a5 ，所以S9(a1 a9 )92a5930927022，选 B历年试题（ 2013 年试题）等差数列 a 中，若 a2,a6，则 an132A.3 B.4 C.8D. 12解析： a2a1a3 26242（ 2012 年试题）已知一个等

9、差数列的首项为1，公差为 3，那么该数列的前 5项和为（）A.35B.30C.20D.10解析：由 Sna1 n(n1)d 得n12S5115(51)33552选 A（ 2011 年试题）已知等差数列an的首项与公差相等，an的前 n项的和记作 S ，且 S 840.n20（ ） 求数列an的首项 a1及通项公式；（ ）数列an的前多少项的和等于84?解析 :（ ） 已知等差数列an 的公差da1又S20a20 (20 1) d 20a 190d210a201211即 210a1 840，所以， a1 4又 da1，即 d4，所以，ana1 (n 1)d4 (n 1)4 4n即数列 a 的通项

10、公式为 a4nnn（ ）设Sn84， 又S(a1an ) n(44n) n2n22n，n222即2n2n 84，解得n 6,n（舍去）7所以数列an 的前 6项的和等于 84.（ 2009 年试题）面积为 6 的直角三角形三边的长由小到大成等差数列，公差为 d ，求 d 的值 ;在以最短边的长为首项，公差为 d 的等差数列中， 102 为第几项？解析 :（ I ）由已知条件可设直角三角形的边长分别为ad , a, ad,其中a0,d0,则 (ad)2a2(ad )2 ，得a4d三边长分别为 3d,4d,5dS13d 4d 6,d 12故三角形三边长分别是3,4,5 . 公差 d1(II) 以

11、3 为首项， 1 为公差的等差数列通项公式为an 3 (n 1), 3 (n 1) 102, n 100故第 100项为 102（ 2008 年试题）已知等差数列an 中, a19,a3 a80. 求数列 an的通项公式 ; 当 n为何值时 ,数列 an 的前 n项和 Sn取得最大值 ,并求该最大值 .解析:设等差数列 an的公差为 d ,由已知 aa0,得 2a9d0.又已知381a19,所以 d2.数列an的 通项公 式为an92 n 1 ,即 an112n. 解法一：数列an的前 n项和Sn 9112nn210nn2525.n2当 n5时， Sn 取得最大值25.解 法 二 ： 由 知

12、a11 2n,令nan112n0n11,所以数列前5 项2的和最大，最大值为S5a54 d5954225.5122三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列从第二项起， 每一项与它的前一项的比都等于一个常数， 这个数列就叫等比数列，这个常数叫做公比，记为q ，即q anan 1等比数列的一般形式为a ,a q, a q2, , a qn 1,11112. 等比数列的通项公式设 an 是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，则这个数列的通项公式为ana qn 113. 等比数列的前 n项和公式设 an 是首项为 a1，公比为 q 的等比数列， Sn为其前 n项和，则a (1qn )Sn1(q

13、1)1q或 Sa1anq (q 1)n1q4. 等比中项如果 A, B,C称等比数列， B就称为 A与 C 的等比中项，则 B2AC或 BAC注：一般证明一个数列是等比数列时，经常是按它们的定义证明an 1q为常量an5. 等比数列的性质（ 1）在等比数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等比数列 .对于等比数列 a1 , a2 , a3 ,an数列 a1,a3 , a5 , a2n 1也是等比数列，数列 a2 , a4 ,a6 , , a2n 也是等比数列数列 a1, a5 ,a9 , a13也是等比数列例 7如在等比数列an 中 , a2 6, a4 24,则 a6（）A

14、. 8B. 24C. 96D. 384解 析 ： a, a , a是等比数列，因为246a6a424a4a24，6a64 a442496，选 C（ 2）对等比数列an，若 m, n, s,t 均为正整数，且 mn st ，则 am anas at如 a1 a9a2 a8a3 a7 a4 a6a52例如在等比数列an 中，已知 a1 a516，求 a3解析： a32a1 a516，即 a3164例 8 设等比数列an 的各项都为正数，若a31,a59，则公比 q=（A）3（B）2（C）-2（ D）-3解 析 : 由 等 比 数 列an的 通 项 公 式ana1qn 1知2a1q 1得 q2 9又

15、因 列各 都是正的， a1q4 9所以 q3例 9 设 等 比 数 列 an的 公 比 q =2 ， 且a2a4 8则 a1 a7（A）8（ B）16（C） 32（ D）64解 析 :由 等 比 数 列 a的通项公式nana1qn 1知1a q a q38, a2q4 8 a2a a7a2q6321111211例 10 在 等 比 数 列 an 中 ， 若a32S25,a42S35 ， 则an的 公 比q _解析：a4 a3 2S3 5 (2S2 5) 2( S3 S2 ) ，又 S3 S2 a3，所以 a4 a3 2a3，即 a3a , qa43，填 343a3例 11 已 知 等 比 数

16、列 an 中 ，a210,a320，那么它的前5 项 和S5_解 析 ： 由 a210,a320，可求得公比qa3202，从而 a1a2105a210q2所以 S5a1(1 q5 ) 5 (1 25 )155 ，填1 q1 2155例 12 已知等比数列an 的各项都为正数，a12,前 3 项的和为 14（ I ）求该数列的通项公式；（ II）设 bn log2 an ,求数列 bn 的前 20 项的和解析 : （I ） 设等比数列an 的公比为 q,则2 2q2q214所以 q2q60,q2,q231(舍去)所以数列的通项公式为an2n（ II ） blog2anlog22nn则ns20b1

17、b2b3b2012320(120)202102例 13 设 an 为等差数列 , 且公差 d 为正数 ,已知 a2a3a415, 又 a2 ,a31,a4 成等比数列求a1和 d解析 :由 an 为等差数列知a2 a42a3a315a2a410351)2a2a4(5解得 a2 (a28舍去 )2由此得da3a2523a1a2d231历年试题（ 2015 年试题）若等比数列a的公比为 3, a49, 则 a1nA.1B.193C.3D.27（ 2014 年试题）等比 数列 an 中 , 若 a28,公比为1,则a5 _4（ 2015 年试题）已知等差数列an 的公差 d 0,a11 ，且2a1,

18、a2 ,a5成等比数列（ I ）求数列an 的通项公式（ II ）若数列an 的前项和 Sn50，求 n.（ 2013 年试题）已 知 公 比 为 q 的 等 比 数 列 an中 ,a2 4, a532（ I ）求 q；（ II ）求 an的前 6项和 S6解 : （ I ）由已知得 a q3a ，即 4q332，解得 q225q 1（ II ） aa212S621( 2)6421 (2)（ 2012 年试题）已知等比数列 an 中, a1a2a3 27 （ I ）求 a2 ；（ II） 若an的 公 比 q1, 且a1a2a3 13，求 an 的前 5项和解析 : （ I ）因为 an为等比数列，所以a aa22 ，又 a aa27，可得 a 327，131232所以 a23（ II） 由 a1a2a313 ， a23 得a1a310，由 a1a2a327,a23得 a1a39，解方程组a1 a3101或 a 9，得 aa1a3911a11a19由 a（舍去）3，得或12q3q3所以 an的前 5项和 S51(1 35)11213（ 2010 年试题）已知