必修四_(新课标)同角三角函数基本关系式与诱导公式(典型例题+习题+答案)老师10页

1、同角三角函数基本关系式及诱导公式必修四： （新课标 ）同角三角函数基本关系式及诱导公式（典型例题 +习题 +答案）I 要点橙理 I1. 同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin 2aasin aa商数关系：+ cos 2= 1.(2)=tan .COSa2. 诱导公式I 基础自测 |又'.'a?n，2，? -cos大纲全国 ）已知 a ? n,3 na= ,ya1 . (2011,贝2tan2cos=答案亠55解析? tan a= 2,-sin aa=2， sin2cos.=acos a1又 sin 2a+ cos2a=? ?(2cos a)2+2 a=1,?2 cos?

2、CoS =52sin a cos a2. 若 tan a= 2, 则-：- 的值为sin a+ 2cos a3答案 ：42tan a 13解析 原式=_.tan a+ 243. 已知 a 是第二象限的角， tan a= 2 , 贝 U cos a= _ ,5专业.专注解析' a 是第二象限的角，. COS a<0.专业.专注sin a1又 sin 2 + cos 2a= 1, tan a=-acos a254sinntan - n 的值是363答案nnn解析 原式 =sin n+： ? con tan363n7tsin _ cos 3X(3“ .3247t22n5. 已知cos_

3、, 贝 U sin3答案2n7t7t解析 sina = sin3nn7t= sin _ +一一 a = cos26 6题型分析深度剖析题型一同角三角函数基本关系式的应用1例 1 已知在ABC 中， sin A+ cos A=_.5求 sin Acos A 的值；(2) 判断 ABC 是锐角三角形还是钝角三角形;求 tan A 的值 .1思维启迪：由sin A+ cos A= 一及 sin 2A + cos 2A= 1 , 可求 sin A ,cos A 的值 .5专业.专注1 3A* C0S A51?两边平方得1 + 間 Acos A =25 ，12 ?'sin Acos A = .2

4、512由 sin Acos A 才，且 0< A<n，可知 cos A <0 ，-A 为钝角 '? ABC 是钝角三角形 T(S in A cos A)2= 1 2s in Acos A24 49=1 +25= 25，又 sin A>0 , cos A<0 , . sin A cos A>0 ,7?'sin A cos A = _ . 543?由，可得sin A =- ，cos A =-,554?tan A=sin A 54= =_cos A 335探究提高(aaaaaa这三个式子 , 已知其中一1) 对于 sin + cos, sincos

5、, Sin COS个式子的值，其余二式的值可求. 转化的公式为 (sin a± cos a) 2= 1 ± 2sin%cosa； (2) 关于 sina, cos a 的齐次式，往往化为关于tan a 的式子 .变式训嫌1 (1) 已知 tan= 2 , 求 sin 2a+ sin acos a 2cos2；aa已知sin a= 2sin 卩， tan a= 3tan 卩，求cos a.解 (1)sin 2 a+sin acos a 2cos 2 a22sin 2 a+ sin 0 ( cos a 2cos 2 a=?2|22 ?a5tan + 1专业.专注sin 2 a+

6、 cos 2 a2tan a+ tan a 24专业.专注 Tsin a= 2sin 卩， tan a= 3tan 卩,?'sin2 a= 4sin 2 卩，tan 2 a= 9tan 2 卩，由十得： 9cos 2 a= 4cos 2 3, + 得： sin 2a+ 9cos 2 a= 4,3? COS2 a+ sin 2 a= 1 , COs 2a=_, 即 cos48题型二三角函数的诱导公式的应用n5na 的值；例 2(1)已知 cos 6 + a求 cos 63已知 n<an, COS( an( 0) ? taa <2 7 n )=, 求 sin(3nn思维启迪将

7、6+a 看作一个整体a 的关系先化简已知，求出cos a 的值，然后化简结论并代入求值n5 n解 ?'+ a + a =n,665 nn- =n _ +a .：6a5 nncos a = cos n + a66即 cos a63 'TDOS ( a 7 n ) = cos(7 aX =cos(n = _,cosa53? 'cos a=-5专业.专注7?sin(3 n+ a ? taa 5 n7= sin( n+%) ? tan 5 n an=sin a ? tan a2nsin a2= sin a ?nCOS a2acos a3=?=aSinCOs=-sin a5探究提

8、高熟练运用诱导公式和基本关系式, 并确定相应三角函数值的符号是解题的关键 . 另外，切化弦是常用的规律技巧tan( n + a)cos(2 n + 久) sinoc 变式训绦 2( i) 化简：2aansin( 3ncos( 3sin( n x)cos( 2 nx)tan( x +n)31 n已知 f(x)=，求 f 的值 .n3cos 7+ x2tanain 2na“osn + + 2(1) 原式 =n+ a)cos( 3 n+a) sin( 3ntan 久 cos asin _+ a2tan acos acos a(cos %)sin a( cos "sin atan acosa

9、 sin a cos asin a= ?= 1.cos a sin asin x ? cos ( tan x)呦 =sin x=cos x ? tan = sin x,31 n31 n31 n= sin = sin3专业.专注nn=sin 10 n+一 = sin =233题型三三角函数式的化简与求值1 1侧 3(1) 已知 tana厂的值；=-, 求3 2sin 久 COS a+ cos 2 3 a3 ntan( n a)cos(2 n a)sin a+ f化简：cos( a n)sin( n oc)思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化要认真观察式子的规律，使用恰

10、当的公式?1解因为 tan a= 一，31sin 2+ cos 2a厂 =a所以厂2sin 0 ( cos a+ cos a 2sin 0 ( cos a+ cos atan 2 a+ 122tan a+ 137ttan aco a ? nsi oc2(2) 原式 =cos( n a) ? sn aaaasin atan? co? nsi? coa+ 2 cos a'='=1. cos a ? sia sin a探究提高在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系, 可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简求sin( n a) + cos(3 n + a

11、7t? sin a+ 3专业.专注盘如筋 已知 sin a+:=a ? (0 ,n ),an a2 2 ? cos 2 cos 2+2424专业.专注?7costn an acos 2+ cos 2 一4 24 2sin( n a) + cos( 3n+ an an a2i?2 icos 2'+ sin 2+一4242 sin a cos ancos + a2sin asin a cos acos a 3思想与方法系列甘分类讨论思想在三角函数化简中的应用4n 14n +1典例： (12 分)化简： sinn a + cosn a (n ? Z) .44审题视角( 1) 角中含有变量 n

12、, 因而需对 n 的奇偶分类讨论 .(2) 利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看 .规范解答解 当 n 为偶数时，设n = 2k (k? Z) , 则 1 分8k 1n a + cos8k+ 1原式 =sinn a44nn=sin 2 k n +_ a + cos 2 k n+ a44nn=sin a + cos a44n=sin + a + cos4nn=sin + a + sin4 + a = O.5 分4专业.专注当 n 为奇数时，设n = 2k+ 1 ( k? Z), 则 6 分8k+ 38 k +5原式 =sinn a + COSn a

13、443 n5 n=sin 2k n+ a + cos 2 k n+ a443n5 n aa=sin一+ cos44=sinnn+ a + cos n+n-a44nn=sin+ a cos a44nnn=sin _+ a cos2_+ a44nn=sin+ a sin+ a = 0.10 分444n 14n + 1故 sin4na+ cos,4n a =( 0.12 分温馨提醒(1) 本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将 n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想(2) 在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因.思想方法 * 感悟提高

14、0)* 1 2 = 1 ± 2sinBcos 0 的关系进行变形专业.专注1ncos 2 0（1 + tan 2 9） = sin 2 B 1 + =tan = .tan 2 04失误与防范1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱周一化锐.特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化 .练岀高分A 组专项基础训练（时间： 35 分钟，满分： 57 分）、选择题 （每小题 5 分，共 20 分）n1. 已知 a 和卩的终边关于直线y

15、= x 对称，且 3= ，则sin a 等于31A.B.2C.- 2答案n解析因为和卩的终边关于直线y= X 对称，所以 +3aan+?.=2k?(kZ)所以a5n12 k(kZ) 即得 sin=n+?,a622.cos( 2 013的值为1 2B. 1D. 0A.专业.专注答案 B2专业.专注解析 COS ( 2 013 n ) eos( 2 014 n + n ) = COS 1. n= sin( n a ? c(S na25 n已知 f( a) =, 贝 y厂的值为fcos( n a) ? tan a11A.B. -22答案 ASin aCOSa解析十(a= COS=a, tanaCOS

16、25na ( 25 nf 3= cos一3nn1=cos 8 n+_=cos =332n2函数 f(x) =cos 1当 0<x<4 时 ,2x厂的最小值是cos xsi n xsin 2x11A.B.C. 2D. 442答案 Dn解析 当 0< x< 时， 0<tan x<1 ,4cos 2x1f(x) =cosxsin x sin2xtan x tan 2x'11设 t= tan x ，则 0<t<1，y= 口 =亦 )利如果 sin5.专业.专注n 16 - 已知 sin a+12 二，则7 ncosa+爲的值为答案12137 n7

17、t解析 COS a+ = cosa+ 1212n= sin a+ 12a3 n? ta(ac +n)sin + 27.sin(答案 1n oc)cos a tan a sin a解析 原式 =1.sin asin a三、解答题洪22 分）8. (10 分)已知 sin 0+ cos_20< n )求 tan(0<37解将已知等式两边平方, 得 sincos=0018，专业.专注sin 9+ cos解方程组得sin 9 cos 9=一，3sin 9 9 4 寸 2?'tan 9=cos 971cos(n + 9(12 分)已知 sin(3 n+9)3， 求 cos ecos(

18、 n 9) 1cos( 9 2 ncos 9sin ?原式 =解?/ sin(31 19)丰sin 9=3sin 9=3cos 9( cos 9 1)cos( 2 n9)+ sin 9 cos( n 9) + cos 91cos911+ 2=+1 + cos 9 cos 4 59+ cos 9 1 + cos 9 1 cos 92 221 cos 2 9 sin 2 9=18.123B 组专项能力提升（时间： 25 分钟，满分： 43 分）选择题 （每小题 5 分，共 15 分）的值 .3 n3 n9 cos( 9n) sin + 952专业.专注nnn解析 ? 一 + a + a 36一2n

19、nnaa+? sin = sin 263n12n1. 若 sin _ a =_,3则 COS+ 2 a 等于63711A. -B. C-933答案An1=COS + a =332nn7则遡 丁+2a a 6-=+= 91 + Sin a 1COS a2- 已知盂 a=2, 则 sn ;的值是a11C. 2A.B. 一22答案 A解析由同角三角函数关系式COs aCOSa丸且 11 + sin acos acos a1 sina1 sin，11acos a即=.2'sin a 123. 若 cos a+ 2sina则 ta na等于=一5,()11A.B. 2C. _22答案 B6 si

20、n 2 a= cos 2 a 及题意可得7D.9D. 2sin a 丸,专业.专注匚 5COs a专业.专注5平方得 (1 + 2tan a2=厂=5(1 + tan 2 a,COS a?'tan2% 4ta n a 4= 0, 解得tan a 2.、填空题 （每小题 5 分，共 15 分）7t2'n ,贝 V COS a=答案sin(1解析nH= sin a, . sin a=2n/V3又 a? ,n ,. COS a= - 1 Sin a=2屮25.已知 tan 0= 2, 贝 U sin 2 0+ sin 0cos 0 2cos 2 0=4答案 -5解析sin2 0+si

21、n 0cos 0 2cos 2 0sin 2 0+ sin 0cos 0 2cos 2 0 = 1sin 2 0+ sin 0cos 0 2cos 2 0sin 2 0+ cos 2 0tan 20+ tan 0 2tan 2 0+ 14+224=4+1=5.n5n2 n6. 已知 cos _ 0 = a (|a|W1),贝 U cos +0 + sin 0 的值是 _663答案 05nn解析 cos + 0= cos n 一一066n= cos 0 = a.6专业.专注2 nn nnsin 7-e= sin2+ ； e = cos6- e = a，5 n2 n cos + e + sin e= 0.63三、解答题7. （13 分）已知 A、B 、C 是三角形的内角， - 3sin A, cos A 是方程 x2 x+ 2a= 0 的两