动点例题解析及答案

1、初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射 线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用 有关数学知识解决问题. 关键：动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想 数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对 称、动点的运动”等研究手段和方法， 来探索与发现图形性质及图形变化， 在解 题过程中渗透空间观念和合情推理。 选择基本的几何图形，让学生经历探索的过 程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力图 形在动

2、点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况， 才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题 的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生 的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从 数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4） 分类思想；（5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考 数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师

3、在教学中研究对策，把 握方向.只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确 地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和 区分度小题处理手法提出自己的观点.专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 ，是初中数学的重要内容 动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 ， 引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关 系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢？下面结合中考试题举例分析一、应用勾股定理建立函数解析式。二、应用比例式建立函数解析式。三、应用求图形面积的方法建

4、立函数关系式。专题二：动态几何型压轴题动态几何特点一问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把 握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图 形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动 中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊 角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍， 解 题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题。（一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。二、解决动态几何冋题的常见方法有：1、特殊探路，一般推证。2、动手实践，操作确认。3、建立联系，计算说明。

5、三、专题二总结，本大类习题的共性：1 代数、几何的高度综合(数形结合)；着力于数学本质及核心内容的考查 四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数.2 以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊 情况下的函数值。专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载 体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题这类题综 合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力， 空间想象能力以及 分析问题和解决问题的能力其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年 中题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏 1以双动点为载体，

6、探求函数图象问题。2以双动点为载体，探求结论开放性问题。3以双动点为载体，探求存在性问题。4以双动点为载体，探求函数最值问题。双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大 对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光 去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变 量、不变关系或特殊关系，动中取静,静中求动。专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未 说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问 题便会迎

7、刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。例1如图，已知在矩形 ABCD中，AD=8，CD=4,点E从点D出发，沿线段 DA以每秒1个 单位长的速度向点 A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的 速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动设点E移动的时间为t (秒).(1) 求当t为何值时，两点同时停止运动；(2) 设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式，并写出 t的取值范围;(3) 求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形;(4)求当t为何值时，/ BEC=Z BFC例2.正方形ABCD边长为4, M、N分别是BC、CD上的两个动点，

8、当M 点在BC上运动时，保持 AM和MN垂直，(1) 证明：RtA ABM s Rt MCN ;(2) 设BM x ,梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当 M点运动到什么位置时，四边形 ABCN面积最大，并求出最大面积；(3)当M点运动到什么位置时 Rt ABM s Rt AMN，求此时x的值.例 3如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD 3, DC 5, AB 4.2,Z B 45 动 点M从B点出发沿线段 BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点 出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运动设运动的时间为t秒.(09年济南中考)(1)

9、求BC的长。(2) 当MN / AB时，求t的值.(3) 试探究：t为何值时， MNC为等腰三角形.例4.如图，在 RtAAOB中，/ AOB= 90°, OA= 3cm, OB= 4cm，以点 O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t ( 0< t < 4)(1 )求AB的长，过点P做PM丄OA于M，求出P点的坐标(用t表示)(2) 求厶OPQ面积S( cm2),与运动时间t (秒)之间的函数关 系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？(3) 当t为何值时， OPQ为直角三角形？(4) 若点

10、P运动速度不变，改变 Q的运动速度，使 OPQ为正 三角形，求Q点运动的速度和此时 t的值.例5:如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH丄OA,垂足为H, OPH的重心为 G.(1) 当点P在弧AB上运动时，线段GO GP GH中,有无长度保持不变的线段 ？如果有，请 指出这样的线段，并求出相应的长度.(2) 设PH x ,gp y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域 取值范围).(3) 如果 PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时，OP保持不变，于是线段GO GP/ 2 2 1 中，有长度保持不变的线段

11、，这条线段是GH上NH=OP=2.3(即自变量X的GH在RtOHop2PH21 MH -OH2在 Rt MPH中 ,1362，x2.36图1MP . PH 2 MH 2x291x243x22 1 2- y=GPjMP= 36 3x (0< x<6).33(3) PGH是等腰三角形有三种可能情况GP=PH时，1 , 36 3x2x,解得 x3合题意1 -GP=GH时,36 3x2 2,解得 x3合题意. PH=GH寸,x 2.0.经检验，经检验，、.6是原方程的根，且符0是原方程的根，但不符综上所述,如果 PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为.6或2.例6.如图2,在厶ABC中,A

12、B=AC=1,点D,E在直线 BC上运动.设BD=X,CE=y .(1) 如果/ BAC=30 , Z DAE=105 ,试确定y与x之间的函数解析式； 如果/ BAC的度数为 ，/ DAE的度数为，当与x之间的函数解析式还成立 ？试说明理由.解: 在厶 ABC中，T AB=AC,Z BAC=30 , Z ABCZ ACB=75 ,ABD玄 ACE=105 .vZ BAC=30 , Z DAE=105又Z DAB+Z ADB=/ ABC=75 Z CAEZ ADB, ADBA EAC,/ DAB+Z CAE=75 , ABCEBDAC满足怎样的关系式时,(1)中y(2)由于/ DAB+Z CA

13、E=,又Z DAB+Z ADB=Z ABC=90,且函数关系式成立，2,整理得 一90 .2/ 190时,函数解析式y 成立.2x例7.如图，在厶ABC中，Z BAC=90 ,AB=AC=2jS , OA的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=X , AOC的面积为y.(1) 求y关于X的函数解析式，(2) 以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当O O与O A相切时， AOC的面积.解:(1)过点A作AHI BC,垂足为H./Z BAC=90 ,AB=AC=2 . 2 , /. BC=4,AH= BC=2.2OC=4-X .1/ S aoc OC AH , y x2(2)

14、当O O与O A外切时，4).在 Rt AOH中,OA=x 1 ,OH=2二(x1)222 (2x)2.解得X此时, AOC的面积y=4匕当O O与O A内切时，在 Rt AOH中,OA=X 1 ,OH=X1762,(x1)222 (x2)2.解得X此时， AOC的面积y =4-2171综上所述,当O O与O A相切时， AOC的面积为或丄.6 2动点练习题答案(1 分)例1.解：(1)当B, E, F三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示.2t 4 t -.解得 t=4.2t 8当t=4时，两点同时停止运动;（2）ED=t, CF=2t,- - S=Sabce+ Sa bcf=由题意可知：

15、ED=t, BC=8,/ ED/FE"A FBC.FD= 2t-4, FDFCFC= 2t.EDBC .3分）x 8X 4+- x 2t x t=16+ t2. 2 2（3）即 S=16+t2. （0 wt若EF=EC寸，则点w 4 ）；F只能在CD的延长线上, EP= （2t4）2t2 5t2 16t 16,6分）EC=42 t2若EC=FC寸,t2t EG=42 t2若 EF=FC时，T EF=（2t 4）2216t16 =t 16 . t=4或 t=0 （舍去）;t216 , F&=4t2,. t2 16 =4t2. t 4 4 ;3t2 5t2 16t16 , FC2

16、=4t2,- 5t2 16t 16=4t2.： t1=16 8、3 （舍去）,t2=16 8 3 .角形;当 t 的值为 4, 4 .3 , 16 8、. 3 时，以 E,3F, C三点为顶点的三角形是等腰三9分）在 RtA BCF 和 RtA CED 中，t/ BCD=Z CDE=90°, _BC 廿 2CD ED ' RtABCFRtA CED :丄 BFC=Z CED. （TAD/BCE=Z CED 若/ BEC=Z BFC 则/ BEC=Z BCE 即 BE=BC.10 分）T BEM216t80 , t216t80 =64.-11=16 8.3 （舍去），t2=16

17、.当 t=16 8、3 时，/ BEOZ BFC.12 分）例2.解：（1）在正方形 ABCD中,AB BC CD 4, B:AM 丄 MN ,AMN 90°,CMN在 Rt A ABMCMNRtA ABMC 90° ,AMB中，MAB90° , MABs RtAMCNMBAMB 90，(2)ABMCCN(3)Rt ABM s RtMCN , BMCN，xCN4xr2 2x 8S梯形ABCN2 2 10 ,2时，y取最大值，最大值为 10.B AMN 90° ,要使由（1）BM当占=1 八、 abm亠amn，必须有M知如MNMC ,M运动到ABMC，BC

18、的中点时， ABM例3解：（1 ）如图，过A、D分别作AK 是矩形- KH AD 3.在 Rt ABK 中,AB丽，sAMN，此时BC 于 K , DH4AK AB sin 452BC于H ,则四边形ADHKBK AB Icos454 2|# 4在 RtCDH 中, BC BK KH HC 4 3 3 10（图）由勾股定理得，HC3（图）/ AB/ DGAD 3（2）如图，过 D作DG / AB交BC于G点，则四边形 ADGB是平行四边形 / MN- MN BG（3）当 GC 10 3 7由题意知，当M、N运动到t秒时，CN DG / MN/ NMC / DGC又/C / C MNC GDC.CN CM /CD即-5解得,t, CM 10 2t.CG10 2t75017分三种情况讨论：NC MC时，如