动点问题含答案

1、动点问题1.C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动,如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC，/ B=90° , AD=24cm , AB=8cm , BC=26cm，动点 P 从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点 Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速 度运动.P、Q分别从点A、 设运动时间为ts.2.(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?3.(2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?4.(3)PQCD为直角梯形?当t为何值时,四边形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中.5. 如图， ABC中，点

2、0为AC边上的一个动点，过点 0作直线MN / BC，设MN交/ BCA的 外角平分线CF于点F,交/ ACB内角平分线CE于E.6. (1)试说明 EO=FO ;7. (2)当点O运动到何处时，四边形 AECF是矩形并证明你的结论；8. (3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形，猜想 ABC的形状并证明你的结论.点评：本题主要考查利用平行线的性质 等角对等边”证明出结论(1),再利用结论(1)和矩形的判定证明 结论(2)，再对(3 )进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一 问题提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用.9. 如图，

3、直角梯形 ABCD中，AD / BC,/ ABC=90，已知AD=AB=3 , BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q 点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N . P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单 位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点 Q运动的时间为t秒.10. (1 )求NC, MC的长(用t的代数式表示);11. (2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；12. (3)是否存在某一时刻，使射线 QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；13. (4

4、)探究：t为何值时， PMC为等腰三角形.上t ££Ab*p f点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类讨论和数形结合的数 学思想方法.14. 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若 BQ=xcm (xM0)，贝U AP=2xcm ，CM=3xcm ， DN=x2cm .(1) 当x为何值时，以PQ, MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三 角形

5、；(2) 当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；(3) 以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x的值；如果不能，请说明理 由.点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点.15.如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC，/ B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点 M 从点 A 开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s ;点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、 点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒.(1 )当t为何值时，四边形MNC

6、D是平行四边形？(2) 当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容.16. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC，Z C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点 P 从点 D 出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P 随之停止运动，设运动时间为t (s).17. (1 )设厶BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；18. (2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等

7、腰三角形？点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题(2)时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象.19. 直线y二34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从0点出发，同时到达A点, 运动停止点Q沿线段0A运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线0? B? A运动.20. (1 )直接写出A、B两点的坐标；21. (2)设点Q的运动时间为t (秒)， 0PQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；22. (3)当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点 0、P、Q为顶点的平行四边形的第四个 顶点M的坐标.点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题(2)时，

8、应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中 出现漏解现象.1. 分析：(1) 四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ .(2) 四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE .(3) 四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC .所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可.解答：解：(1)v四边形PQCD平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形.(2) 过D作DE丄BC于E则四边形ABED为矩形 BE=AD=24cm-EC=BC-BE=2cm四边形PQCD为等腰梯形 QC-PD=2CE即 3t- (24-t) =4解得：t=7

9、 (s)即当t=7 (s)时，四边形PQCD为等腰梯形.(3) 由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t- (24-t) =2解得：t=6.5 (s)即当t=6.5 (s)时，四边形PQCD为直角梯形.2. 分析：(1) 根据CE平分/ ACB，MN / BC,找到相等的角，即/ OEC= / ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理 OC=OF ,可得 EO=FO .(2) 利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形.(3) 利用已知条件及正方形的性质解答.解答：解：(1)v CE 平分/ ACB， / ACE= / BCE， MN / BC， / OEC

10、= / ECB， / OEC= / OCE， OE=OC，同理，OC=OF , OE=OF .(2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.如图 AO=CO，EO=FO，四边形AECF为平行四边形，v CE 平分/ ACB，1/ ACE= / ACB ,1同理，/ ACF=ACG ,/ ECF= / ACE+ / ACF= 2 (/ ACB+ / ACG )= X18O° =90° ,四边形AECF是矩形.(3) A ABC是直角三角形四边形AECF是正方形， AC 丄 EN，故/ AOM=9°0 , MN / BC , / BCA= / AOM , /

11、BCA=90 , ABC是直角三角形.3. 分析：(1) 依据题意易知四边形 ABNQ是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ , BC、AD已知，DQ 就是 t，即解；t AB / QN , CMN CAB , CM : CA=CN : CB , (2) CB、CN 已知，根据 勾股定理可求CA=5，即可表示CM ;四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；(3) 可先根据QN平分 ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB ，据此来求出t的值.然后根据 得出的t的值，求出 MNC的面积，即可判断出 MNC的面积是否为 ABC面积的一半，由此可 得出

12、是否存在符合条件的t值.(4) 由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论： 当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值. 当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出 t的值. 当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出 t的 值.综上所述可得出符合条件的t的值.解答:解：(1)t AQ=3-t CN=4- (3-t) =1+t在 Rt ABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5NC 生5+5t在 Rt MNC 中，cos / NCM= = , CM= .(2) 由于四边形PCDQ构成平行四边形 PC

13、=QD，即 4-t=t解得t=2 .(3) 如果射线QN将厶ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB51即：(1+t) +1+t= .1 (3+4+5 )5解得：t= : (5分)33而 MN= 1NC=二(1+t) S MNC=3-4X1-2(1+t) 2= : (1+t) 25当 t=时,S MNC= (1+t) 2=X3>4X1-2X1-2工8-3(4) 当MP=MC时(如图1)贝U有：NP=NC即 PC=2NC 二 4-t=2 (1+t)2-3 当CM=CP时(如图2)则有：§.(1+t) =4-t11解得：t=: 当PM=PC时(如图3)则有：在 Rt M

14、NP 中，PM2=MN2+PN233而 MN= !NC= . (1+t)PN=NC-PC= (1+t) - (4-t) =2t-33 (1+t) 2+ (2t-3 ) 2= (4-t) 21C3解得：t1= . . , t2=-1 (舍去)2 H 103.当t= . , t= / , t= .时， PMC为等腰三角形4. 分析:以PQ, MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点 P、 N重合且点 Q、M不重合，此时 AP+ND=AD 即2x+x2=20cm , BQ+M色BC 即x+3x工20cm；或者 点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+N戲AD

15、即2x+x2工20cm , BQ+MC=BC 即x+3x=20cm .所 以可以根据这两种情况来求解 x的值.以P , Q , M ,N为顶点的四边形是平行四边形的话， 因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当 点P在点N的左侧时，AP=MC , BQ=ND ;当点P在点N的右侧时，AN=MC , BQ=PD .所以可以 根据这些条件列出方程关系式.如果以P, Q , M , N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得 AP+N戲AD 即2x+x2工20cm , BQ+M0BC 即x+3x工20cm, AP=ND即2x=x2 , BQ=MC即x=3x , x工0.这些条件不能同时满足， 所以不能成

16、为等腰梯形.解答：解：(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ , MN为两边，以矩形的边(AD或BC ) 的一部分为第三边可能构成一个三角形. 当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x仁-1，x2=-1 (舍去).因为BQ+CM=x+3x=4 (-1 )v 20，此时点Q与点M不重合.所以x= -1符合题意. 当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5 .此时DN=x2=25 > 20,不符合题意.故点Q与点M不能重合.所以所求x的值为 -1 .(2) 由(1 )知，点Q只能在点M的左侧， 当点P在点N的左侧时，由 20- (x+3x ) =20- (2x+x2 )，解

17、得x1=0 (舍去)，x2=2 .当x=2时四边形PQMN是平行四边形. 当点P在点N的右侧时，由 20- (x+3x ) = ( 2x+x2 ) -20，解得 x1=-10 (舍去)，x2=4 .当x=4时四边形NQMP是平行四边形.所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形.(3) 过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F.由于2x >x，所以点E 一定在点P的左侧.若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F 定在点N的右侧，且PE=NF，即 2x-x=x2-3x .解得x1=0 (舍去)，x2=4 .由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边

18、形是平行四边形， 所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形.5. 解答：解：(1)v MD / NC,当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形 MNCD是平行四边形；(2)作 DE 丄 BC,垂足为 E，则 CE=21-15=6，当 CN-MD=12 时，即 2t- (15-t) =12，t=9 时，四 边形MNCD是等腰梯形6. 分析：(1) 若过点P作PM丄BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：1s= 2PMK QB=96-6t ;(2) 本题应分三种情况进行讨论，若 PQ=BQ，在Rt PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=Q

19、B，将各数据代入，可将时间t求出； 若BP=BQ，在 Rt PMB中，由PB2=BM2+PM2 ，BP=BQ，将数据代入，可将时间 t求出； 若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出.解答:解: (1)过点P作PM丄BC于M，则四边形PDCM为矩形. PM=DC=12， QB=16-t，1 1 21 s= 2?QB?PM= 2 (16-t) X2=96-6t (0< t 迈).(2)由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情 况P7-2综上所述,t或S7-2_16一时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三

20、角形.若 PQ=BQ，在 Rt PMQ 中，PQ2=t2+122，由 PQ2=BQ2 得 t2+122= (16-t) 2，解得若 BP=BQ，在 Rt PMB 中，PB2= (16-2t) 2+122，由 PB2=BQ2 得(16-2t) 2+122= (16-t)2，此方程无解，二BP PQ.十迪 若 PB=PQ，由 PB2=PQ2 得 t2+122= (16-2t) 2+122 得一 5，t2=16 (不合题意，舍去)7. 分析：(1) 分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；(2) )因为0A=8，OB=6，利用勾股定理可得 AB=10，进而可求出点Q由0到A的时间是8 秒, 点P的速