江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.4向量的数量积(2)》学案

1、江苏省常州市西夏墅中学高一数学2.4 向量的数量积（ 2）学案教学目标：1掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积 的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；2掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题；3通过师生互动，学生自主探究、交流与合作，培养学生探求新知及合作能力教学重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用教学难点：平面向量的数量积运算律的理解教学方法：引导发现、合作探究教学过程：一、复习导引复习提问：1（ 1）两个非零向量夹角的概念；（ 2）平面向量数量积的定义； （ 3）“投影”的概 念；（ 4）向量 数量积的几何意义；（ 5）两个向量的数量积

2、的性质2判断下列各题正确与否：若 a0，则对任一向量 b ，有 a b 0 ；( )若 a0 ，则对任一非零向量b ，有 a b0 ；( × )若 a 0， a b 0 ，则 b0 ；( ×若 a b0 ，则 a,b 至少有一个为零向量；( × )用心爱心专心-1-若 a ba c ，则 bc 当且仅当 a0 时成立；(× )对任意向量 a ，有 a2| a |2 ( )二、学生活动问题 1 已知实数 a ， b ， c ( b0) ，则 a bb cac . a b =b · ca = c 是否成立？问题 2实数的运算律有ab=ba； a(

3、b+c)= ab+ac； ( ab) c=a( bc) 在向量的数量积中是否成立？（举例说明）三、建构数学1数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）（1）交换律： abb a ；证明：设 a, b 夹角为，则 a b|a |b | cos ， b a| b | |a | cos， a bb a （2）数乘结合律： (a)b(ab)a(b)证明：若0，此式显然成立若0， (a) b| a |b | cos，(ab)| a |b | cos，a(b)| a | b | cos， (a) b( a b)a(b)若0， (a) b|a |b |cos()|a |b |(cos )| a|b

4、|cos，( ab)| a | b | cos，a (b)|a | b | cos()| a|b|(cos )| a|b |cos ( a) b( a b) a ( b)综上可知 (a)b(ab)a (b) 成立A（3）分配律： (ab)cacb c 2 bB在平面内取一 点 O ，作 OA = a ,AB = b ， OC = c ，a1 a b （即 OB ）在 c 方向上的投影等于a, b 在 cOABCc方向上的投影和，即：| ab | cos| a | cos 1 |b | cos 2用心爱心专心-2- | c | ab | cos| c | a | cos 1| c | b | c

5、os 2 ， c(a b) c a c b即： (ab) ca c b c 说明：（ 1）一般 地， ( a b ) · c a ·（ b · c ）（ 2） a · c b · c ， c 0a （ 3）有如下常用性 质： a 2 | a | 2 ,( a b ) 2 a2 a b b 2（ a b ）·（ c d ） a · c a · d b · c b · d , 2向量的数量积不满足结合律分析：若有（ a b ） c a（ b · c ），设 a 、 b 夹角 为， b 、

6、c 夹角为 ，则 ( a b ) c | a | ·|b |cos · c ， a ·(b · c ) a ·|b | c |cos ，若 a c ， ，则 | a | | c | ，进而有：（ a b ） c a ·(b ? c ) ，这是一种特殊情形，一般情况下不成立举反例如下：已知 |a |，|b | ，|c |2 ， a 与 b 夹角是60°，b 与 c 夹角是45°，(a b ) · c （ |a | ·|b |cos60 °）·c 1c ，2a ·(b

7、· c ) （ |b |·|c |cos45°） a a而 1 c a ，故（ a b ）· c a ·（ b · c ）2四、数学运用1例题例 1已知 a, b 都是非零向量， 且a 3b 7a 5b垂直，a4b与7a 2b与垂直，求 a 与 b 的夹角例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和变式 1 用向量方法证明：菱形对角线互相垂直变式 2如图， AD , BE , CF 是ABC 的三条高，求证：AD , BE, CF 相交于一点AEF用心H爱心专心-3-BCD变式 3用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点

8、例 3四边形ABCD中，AB = a BC = b CD = c DAd，且a·bb·cc·d， d · a ，试问四边形ABCD 是什么图形？例 4设 a 与 b 是夹角为60°，且 | a | b | ，是否存在满足条件的a ， b ，使| a + b |=2|a - b | ？请说明理由2巩固（ 1）已知 | a |=1,|b |=2，（ 1）a - b 与 a 垂直，则 ab 的夹角是 _；（ 2）若 a / b ，a b _；（）若a、b的夹角为，则 |a +b |_；33（ 2）已知 |a |=2,|b |=1 ， a 与 b 之间的夹角为，那么向量a -4 b 的模为 _；3| a -4 b | ·|a - b |_（3）设 e 、e 是两个单位 向量，其夹角为 600，求向量 a =2 e1 + e2 与 b =2 e2 -3 e1 的夹角；12（4）对于两个非零