勾股定理知识点与常见题型总结

1、baba勾股定理复习一知识归纳1勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2 b2 c22 勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4SS正方形efgh s正方形abcd, 4 1 ab (b a)2 c2，化简可证.2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1 ab c2 2ab c22大正方形面积为 S (a

2、 b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2AAA方法三：S梯形(a b) (a b) , S弟形2S ade S abe 2 ab c，化简得证2223 勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾 股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进

3、行求解. 已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC中， C 90，则c a2 b2 , b . c2 a2 , ac2 b2 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a , b , c为三边的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2，时，以a

4、 , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a, b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ,b , c满足a2 c2 b2,那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三 角形6 .勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速

5、度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25等 用含字母的代数式表示勾股数：n2 1,2n,n2 1 ( n 2, n为正整数)；m2 n2,2mn,m2 n2 ( m n, m , n为正整数)常见图形：类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtAABC中，/ C=90°(1)已知 a=6, c=10，求 b, (2)已知 a=40, b=9，求 c； (3)已知 c=25, b=15,求 a.2.已知直角三角形两边的长为 3和4，则此三角形的周长为 .【变式】：如图/ B=Z ACD=90° , AD=13,CD=12, BC=3则AB的长是多

6、少?类型二：勾股定理的构造应用1. 若一个三角形的边长分别是 12、16和20,则这个三角形最长边上的高长是2. 如图， ABC中，值为()A.8有一点P在AC上移动.若B. 8.8C. 9.8OAB=AC=5 , BC=6，贝U AP+BP+CP 的最小D.103在 ABC 中，AB15, AC 13 , BC边上的高AD 12，则 ABC的周长为()A、4232C、42 或 32D、37 或 334. 等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为 .5. 等边三角形的边长为 2,求它的面积。【变式】： ABC中，BC=a AC=b, AB=c,若/ 0=90°,如图1，

7、根据勾股定理，则a2 b2 c2。若 ABC不是直角三角形，如图 2和3,请你类比勾股定理,试猜想a2 b2与c2的关系，并证明你的结论。类型三：勾股定理的实际应用1. 如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根0的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m, 现将梯子的底端 A向外移动到A',使梯子的底端 A'到墙根0的距离等于3m.同时梯子的顶端 B 下降至B',那么BB'().A.小于1mB.大于1mC.等于1m D.小于或等于 1m2. 将一根24cm的筷子，置于底面直径为 15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯 子外面的长度为hem

8、,则h的取值范围是().A. h< 17cmB. h > 8cm C. 15cm < h< 16cmD. 7cm < h< 16cmArA0/ Tf h丄(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东 60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西 30°方向走了 500m到达目的地C点。(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地 C在营地A的什么方向。【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？如图，公路 MN和公路

9、PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的iAl_ £1卄£.1r-iff2岸一距离为80米，假使拖拉机行驶时， 周围100米以内会受到噪音影响， 那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉 机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？(二)用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮

10、助计算一下，哪种架设方案最省电线.【变式】1如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AE为4cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.2.如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm,高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从 A点向B点爬行, 问：爬到B点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？3如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？解题步骤归纳：

11、1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数X；2、利用折叠，找全等。3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。 类型四：利用勾股定理作长为而的线段1、作长为：、宀、宀的线段。 举一反三【变式】在数轴上表示' 的点。类型五：勾股定理逆定理7、如果 ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC的形状。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，/ B=90°，AB=3，BC=4, CD=12, AD=13，求四

12、边形 ABCD的面积。【变式2】已知： ABC的三边分别为 m2 n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且m>n）,判断 ABC是 否为直角三角丄【变式3】如图正方形 ABCD, E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。请问FE与DE是否垂直？请说明。类型六：与勾股定理有关的图形问题1如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若图中大小正方形的面积分别为62.5和4，求直角三角形两直角边的长。2.如图，直线I经过正方形 ABCD的顶点B,点A、C到直线I的距离分别是1、2,则正方 形的边长是.置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形次 是S-|、S2S3

13、、S4，则 s.S2S3S4 =类型七：关于图形变换问题1.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点BC=6,求厶FAC的周长和面积.2如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE 6cm，AB 16cm，求 BF 的长.3.如图， ABC是直角三角形, 重合，若AP=3,求PP'的长。BC是斜边，将厶ABP绕点A逆时针旋转后，能与 ACP'勾股定理在旋转中的运用例1、如图1 , P是正三角形 ABC内的一点，且 PA=6 PB=8, PC=10,求/ APB的度数。练习：如图：设 P是等边 ABC内的一点，PA=3 PB=4, PC=

14、5贝U APB的度数是例2 .如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A B C的距离分别为形ABCD面积。 V2 +5CAE处，EC与AD相交于点F若AB=4,PA=1, PB=2 PC=3o 求此正方练习1 正方形 ABCD内一点P,使得PA PB: PC=1: 2: 3，求/ APB的度数。.练习2:请阅读下列材料：问题：如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2 PB边 ，PC=1求/ BPC度数的大小和等边三 角形ABC的边长.李明同学的思路是：将厶BPC绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的图形（如图2）,连接PP ,可得 P' PC是等边三角形，

15、而厶PP A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以/ AP C=150 , 而/ BPC=/ AP C=150，进而求出等边厶ABC的边长为，问题得到解决.请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3,在正方形ABC内有一点P,且PA=t ,BP=., PC=1求/ BPC度数的大小和正方形ABCD勺边长.解：（1）如图，将 BPC绕点B逆时针旋转90°,得厶BP A,则厶 BPQA BP A.A AP =PC=1 BP=BP 二说 ；连接 PP，在 Rt BP P 中，V BP=BP = :- ,Z PBP =90°,A PP =2,Z BP P=45

16、76;在厶 AP P 中，AP 2+PP2二aP;2 AP P是直角三角形，即/ AP P=90°,/AP B=135°,aZ BPCMAP B=135.（2）过点B作BEL AP，交AP的延长线于点E;./ EP B=45° EP =BE=1二AE=2二在Rt ABE中，由勾股定理，得 AB吧 ;/ BPC=135，正方形边长为俊AD1BCBC=AC P为厶ABC内一点，且例 3.如图（4-1 ）,在厶 ABC中，ACB =9C°,PB=1, PC=2 求BPC的度数。练习1.如图，在Rt ABC中，ABAC , D E是斜边BC上两点，且/ DAE=

17、45°，将 ADC绕点A顺时针旋转90后，得到 AFB，连接EF，下列结论：厶AED AEF :厶ABE ACD :BE DC DE ; ® BE2DC2 DE2其中正确的是（B.； C .；D.;练习2:.阅读下面材料，并解决问题：（1）、如图（10），等边 ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3, 4，5则/ APB=，由于PA,PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP绕顶点A旋转到 ACP处，此时 ACP也这样,就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出/APB的度数.、请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

18、已知如图（11）， ABC中，/ CAB=90，AB=AC E、F为BC上的点 且/ EAF=45，求证：Eh=BE+FC .数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为 直角三角形问题来解决.1、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC, D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、 AC边上的点，且 DEL DF，若BE=12，CF=5.求（1）线段EF的长。（2） DEF的面积。总结：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。（二）方程的思想方法1若直角三角形的三边长分别是n+1, n+2, n+