南京工业大学浦江学院线性代数试题(A)卷

1、班级学号姓名题号-一-二二三四五六七八总分得分（符号说明：E表示单位矩阵，R（A）表示矩阵A的秩， 表示行列式，T表示矩阵的转置。）-、填空题（每题 3分，共15分）xyzx 2 y 2 z 21.已知0232，则2451111 1 12.已知 A2 A 2E，则(A E) 13. 设向量i （0, 1,1）T, 2（1,k, 1）T分别为属于三阶实对称矩阵A的特征值一2, 1的特征向量，贝y k 。* 14. 若A表示可逆方阵 A的伴随矩阵，则 A 。5.设向量 u 12 3,v ( 1,2,1)T 则 uTv,uvT。二、选择题（每题 3分，共15分）3211311 .设齐次方程组AX 0

2、的一个基础解系为1 1 , 20,30，则010001( ).(A) R(A) 5(B) R(A) 4(C)R(A)3(D) R(A) 22.设有m个n维向量（m n），则()（A）必线性相关（B）必线性无关（C）不一定（D）无法确定3 .设A、B、C是三个同阶方阵、E为同阶单位矩阵，且ABCE。下列等式：ACB E;BAC E;BCA E; CABE;CBA E。其中正确的个数有()（A）1 个 （B）3 个（C ）2 个（D） 4 个24设三阶方矩 A的三个特征值分别为1,2,4,又矩阵B A A 3E ,则如下正确的是（）(A)矩阵E不可逆(C)矩阵B不可以对角化(B) A中存在一个r+

3、1阶子式不等于零(D) A中只有一个r阶子式不为零a bbabbLL、(12分)计算n阶行列式DnbbaLLLLLbbbL5.若矩阵A的秩为r，则()。(A)A中至少存在一个r阶子式不为零(C)A中所有r 1阶子式均不为零bbbLa(B)矩阵E三个特征值为-1,3,17(D)|B| 511000230Of2四、(12分)设四阶矩阵A，万阵B满足矩阵万程AB A216E 4B，试00501507求出四阶矩阵B 。10321五、（ 12 分）求向量组 1132,03,14 , 51的秩及其一个极大221752421460线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示。x1x2x3x40六、（

4、13分）求下列线性非齐次方程组的通解：2x13x24x34x41x22x32x413x12x2x32x41七、(16 分)已知二次型 f(x1,x2,x3) 2x12 6x22 2x32 8x1x3 ，试回答下列问题1) 写出此二次型的矩阵 A ；2) 利用正交变换 X QY 该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；3) 判断该二次型是否具有正定性。八、(5分)设A是m n阶矩阵，B是n p阶矩阵，0为m p阶零矩阵，且AB O，证明:R(A) R(B) n 。试题标准答案2009-2010学年第一学期使用班级 浦江学院各专业(1)-22A-1 (4)|A|A*0, 23二、选择题

5、（每题3分，共15分）(1) D (2) A (3) C (4) B (5) A三、（12分）解：a (n 1)ba (n1)ba (n 1)bbabDn =bbaLLLbbb111 L1bab Lb=(a (n 1)b)bba LbLLL LLbbb La111L10a b0L0=(a(n 1)b)00a b L0LLLLL000La、填空题（每题 3分，共15 分）=(a214263La(n 1)bLbLb(A2Lrn)5分LLLa(ri bri(i2丄 n)10 分(n 1)b)(a b)n112分四（12分）解：由矩阵方程 AB A216E 4B可得AB 4B 16E A2即(A 4E

6、)B (A 4E)(A 4E)(1)又|A 4E | 0 , A 4E可逆，方程（1）两边左乘(A 4E) 1 可得50002700八B (A 4E)12分009015011五（12分）解：以i , 2,L , 5为列构成矩阵A，对A施行初等行变换将其化为行最简形。103212110321A13011210333021752r4r0111042146044【10222410321r1r03211030123b0000201301110230110142301110七r4只f 000111230001100044訂300000000006分故 R（ i,L , 5）3, 8 分其一个极大线性无关

7、组为1, 2, 4且3 3 12, 5412 12分六、（13分）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换1111M 01111M02344M 12210122M1(A|b)f0122M 13工0122M13211M 10122M1111 1M01011M 132012 2M10122M 1128分42000 0M101 20000M 0000 0M00000M 0与原方程组等价的方程组为X,令叫X 1 X3 X4 x21 2x3 2x411。10分0，得原方程组的一个特解为X400与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为XiX3X4x2 2x3 2x4令X31 , 0得齐次方程组的一个基础解系为

8、X401故原方程组有无穷多组解时的通解为Xk) 1 k2 2， k|,k2为任意常数13分2 04七( 16分)解：二次型的矩阵为 A 0604 02(6)2( 2)2 0矩阵A的特征方程为fA( ) A E 0640404X1A10000x20，解之得11207 31；10分404X310404X1132时,解方程组(A 2E)X0，即080X20，解之得3404X31故矩阵A的特征值为126, 32，当126解方程组(A 6E)X 0即2 2 2123 ，作X QY即为正交变换，其标准型为 6y1 6y2 2y3 。 13分3 )因为矩阵 A有一个特征值小于零，而其余两个特征值大于零，故该二次型没有正定性。 16分八、证明：将矩阵 B列分块，即B B1 B2 L Bp，由于AB O,则可得ABi 0(i1,2,L ,p) 3分即Bi(i 1,2,L ,p)为齐次线性方程组