《概率论与数理统计第一章》答案

1、精品文档第 1 章事件与概率2、若 A ,B ,C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：（1）ABC A ；（2）A B C A；（3）AB C； （4） A BC .3、 试把 A A2An表示成 n 个两两互不相容事件的和.6、若 A , B , C, D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3） A , B 都发生而 C, D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。8、证明下列等式：（1）C1Cn2C23C；nC；n2n 1；(2)C1Cn2Cn23C；(1)n1nC：0；(3)a rCk

2、 r k aCba rCa bk 09、袋中有白球 5 只，黑球 6 只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。10、 一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3 ）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。11、 把戏，2, 3, 4, 5 诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得 数是偶数的概率。12、 在一个装有 n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取 m 只球，求其中白、黑、红球 分别有m2m3m）只的概率。13、 甲袋中有 3 只白球，7 办红球

3、，15 只黑球，乙袋中有 10 只白球，6 只红球，9 只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。14、 由盛有号码 1,2, N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。精品文档16、任意从数列 1,2, N 中不放回地取出 n 个数并按大小排列成18、从 6 只不同的手套中任取 4 只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、 从 n 双不同的鞋子中任取2r（2rn）只，求下列事件发生的概率： （1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有 r 对鞋子。20、 袋中有 n 只球，记有号码 1,2, ,n,求下列事

4、件的概率：（1）任意取出两球，号码为1,2；（ 2）任意取出 3 球，没有号码 1；（ 30 任意取出 5 球，号码 1,2,3，中至少出现一个。21、 袋中装有 1,2, ,N 号的球各一只，采用（1）有放回；（1 ）不放回方式摸球，试求在第k 次摸球时首次摸到 1 号球的概率。24、从 52 张扑克牌中任意抽取 13 张来，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张草花的概率。25、 桥牌游戏中（四人各从 52 张纸牌中分得 13 张），求 4 张 A 集中在一个人手中的概率。26、 在扑克牌游戏中（从 52 张牌中任取 5 张），求下列事件的概率：（1）以 A 打头的同花 顺次五张

5、牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点数；（4）三张同点 数且另两张也同点数；（5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五 比重中有两对；（9 ）五张中有一对；（10）其它情况。27、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24 小时内各时刻来到有可能性都相等，如果它们需要停靠的时间分别为3 小时及 4 小时，试求有一船要在江中等待的概率。28、两人约定于 7 点到 8 点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。33、设 A1,A2, An是随机事件，试用归纳法证明下列公式:nP（A1AAn）P（Ai）P（AAj）（ 1）n1P（AA

6、2An）。i 1n j i 136、考试时共有 N 张考签，n 个学生参加考试（n N），被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后，至少有一张考签没有被抽过的概率。37、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者xn，试求 XmM 的概率，这里1 M N精品文档与丙进行第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两精品文档39、给定 p PA,q P B , r PA B，求 P AB 及 PAB。40、已知：P AB P A P B , C AB, C43、利用概率论的想法证明下列恒等式:1 (A吨 *1)A 1 (A 1)(A 2)其中

7、A，a 都是正整数，且A a。46、 证明 的一切子集组成的集类是一个域。47、 证明：域之交仍为域。解答K Nt(1) Pl 貝 if 购 A (n-p(AHPAB)+PA8C -ABCA.与男间学晶平燧 WHSTFU 亡运幼覺日成(3当小运动员的于丄強址平饶川孰的 ITLT匸於戒立.U)= 当刃学 t 的牛体也就兄平蹩叩毗的学生仝快 IE就不星运渤员的字生金怵时虑立” it 可舷为 J 当舟字主不転唱t_a 不直唱歉的一定是 I!学 峑.并且男筆生不是运功慣且不是坛功咼的是男举生的虑立.乩鵬设袋叩冇三金纵 编吊为 I,忑3,毎次篁一帕 IL 挥本空间共有 3 梯寧点(1),C2),.设阿

8、4 诃(7 讪 期了關,4UJ-fcUb 亦,小A-S=V2t6、解：(1) 至少发生一个= A B C D .(2) 恰发生两个= ABCD ACBD ADBC BCAD CDAB BD AC .(3) A , B 都发生而 C, D 都不发生= ABCD .(4)都不发生= ABCD ABCD.(5)至多发生一个= ABCD ABCD BACD CABD DABCAB AC AD BC BD CD .7. Nt 分析 卜起 Nl：Q 的乂杀.克呛茨迎样恭心搬再井析此靱証冉 WE# /),EtEt(JV 切轧(1E6为不可能事孤(卽若 di 它尽，则少WH冲 nun即耳E /lco6Ex1

9、朝毋頁叫 W 不昌.(和若陌，则必总剖屯国或皿血之一爰尘但即君 E昂 q 由此得场 EU 虽虽 M 監* E彫昂柞 ewE：，刪必冇如EE|或*矍T 由呼靜EME風E .申还有这样的点小 12 列仏心口I 血不冉届!|仃小加 诸目之痢的 人家用文腔农小如圏人E站心卜： 精品文档8、解：（1）因为（1 x）n1 C：x C；x2nCnxn，两边对 x 求导得n（1 x）Cn2CnxnCnx，在其中令 x=1 即得所欲证。（2）在上式中令 x=-1 即得所欲证。（3） 要原式有意义，必须0 r a。由于 C；bCabb, CbC；k，此题即等于a要证CarC；kC；b, 0 r a .利用幕级数乘

10、法可证明此式。因为k 0（x 1）a（x 1）b（x 1）a b，比较等式两边 xb r的系数即得证。9、解：P A6A5A5/A31 0.153310、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以 p 2 4!/5!2/5（2） 可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边， 或者第一卷出现在右边而第五卷 出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以p 2 3!/5! 1/10（3）p P第一卷出现在旁边+P第五卷出现旁边-P第一卷及第五卷出现在旁边=-丄上.551010（4） 这里事件是（3）中事件的对立事件，所以P 1 7/10 3/10（5

11、） 第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以P 1 4!/5! 1/52 或 4。当末位数是 2 （或 4）时，前两位数字从剩下四个数字中选排，所以 P 2 A/A；2/5m1m2m3mCnCnCn/3C3n13、解：P两球颜色相同=P两球均白+P两球均黑+P两球均红310 76159207M0.33.2525 2525252562511、解：末位数吸可能是12、解：P14、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n 个号码必然精品文档同号码可产生 n!种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说,精品文档种组合对应一种严格上升排列，所以共有CN种按严格上升次序的排列。

12、总可能场合数为 Nn，故题中欲求的概率为 P CN/Nn.15. Mte=引入車复纽汁置删工从 nA 不同的用薫里毎次取出 mt*元重*元薫不-朴管占样的輻序JI战 |；谶从 n 牛几趙議每択狀 m 卜尢素的mm ft-.拡血的叠记为亡二 Ui 这牛於式的证昭恩踣是.把 n 牛不同前元索馆号为裤耙至址聖卅的毎 览中数从小划人用列铮个數依氏加丄。丄翊一 1 風这 纽敕就曼破了从 IA+櫛其尊鮎甘一 I 金數中取出牛数的*宦冥齟合屮的一址.这种選算构说期看之同一一对应.若取由 n 个号码旅上升（不一定严辂）ifc 啓列.与上 J5 同理可得. 个茧反齟合对 艇一种截上升次序的持砒 所 wj：fic

13、;种按上门次序的申 I 刘 n 權场會敕为科从而解袪二.现挂另一思翳叢解取川的僭个數中闾可设当里肌的 n 載金祁和同时*可以君成中徇投有间壘.趙何壑心心二种皿扰；这时貝需取牛数字有 C；种脈 法 I 这曲场合的种数有 UQi,科.当由小大两牛数填上，丽间蜃的位置 HCti 种氐 編 數孚有（7；种取岛 这种场件的种聲有匸神.当吐个数【-宰数由城时，可為境 合种歟菊 C：iU 种.等等-星后.片 n 亍数均为不同数字时.有 nJ 亍闾事.有 V 神蹴 闵救字百 C；种貼 k 这种场合料故 fFMH：种.册以共有片训场仆裁为;叫=c.c；YLU Y；c：碌匕=Q,-此式证明见本廉弟富也（3）-总可

14、葩场合敕为叫=AT”故用妊应附囁耶为匕码产匸；16、解：因为不放回，所以 n 个数不重复。从1,2, ,M 1中取出 m-1 个数，从M 1, N中取出 n m 个数，数 M 定取出，把这 n 个数按大小次序重新排列，则必有 xmM。故 P cm1C11CN m/CN。当M 1 m 1或N M n m时，概率P 0.精品文档17、 :从】2申宥放也地取 nt.这 n 卜纹打.处 7 g 刼 如果戟 tfj 凶泄札次圧观到如 的臥A2次卅収到M 前乱 当劭贞汆-疋肚取幻 M 的*当次地同士应 小 i 的有（MT）#种町陡的収仏（因栋 次耀珥以从 Af 1 卜數中取）,M 的 fj（AT-M 户种

15、可能的哦秋，而-M 的只有种礙也 5P 全是 MA 所以可篦的取江（M-1 户（W-阳户种.时于确定的占衣来肉 在 ti 次取数中,同亶霽屯汝取測G 的裁.鼻玉找取劃 AM 的亂 谨茯冇*丸种不同的国定方式，固此心次腿审!*M 的 数.札枕展刮卜 M的載的可吨礙注育（丫二 1 财一 1 户N-VfN 神，设 B 表示事件把取出的 n+*A+M 大賈 AMM hMBA現就忙淮 l|.；Ul 匕也 仁丄：卜 hl |-.i：工.m14_上九细一士J.mI *JUT的所冇可能前取法冇艺 工 邙 U1JM种所以右18、 解：有利场合是，先从 6 双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5 双中取出两双，

16、16从其每双中取出一只。所以欲求的概率为P C6C/C5C2C1/C120.483319、 解：（1）有利场合是，先从 n 双中取出 2r 双，再从每双中取出一只。2 r 1 2r 2 rP Cn（C2） /C2n,（2r n）（2）有利场合是，先从 n 双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的n 1双中取出2r 2双，从鞭每双中取出一只。12 2r 21 2r 2 2r2r 2 2r 2 2rP CnC2Cn 1（C2） /C2nn2Cn 1/C?n2r 42 2r 42 r2 CnCn 2/C2n（4）Pc：（c；）r/c；nc；/c；：20、解：（1）P任意取出两球，号码为1，2=1/C；

17、.（2）任取 3 个球无号码 1,有利场合是从除去 1 号球外的n 1个球中任取 3 个球的 组合数，故P任取 3 球，无号码 1c31/cn3.（3） P任取 5 球，号码 1,2,3 中至少出现 1 个=1 P任取 5 球，号码 1,2,3 不出 现1 略心.(3) P精品文档其中任取 5 球无号码 1,2,3，有利场合是从除去 1,2,3 号球外的n 3个球中任取 5 个球的 组合数。精品文档P (N 1)k 11/Nk(N 1)k 1/Nkm n22.（老师的解法产卅A23.2 臥 Ki#：it A-fTWtiilE 面数 a 乙诙出正面取! B-StDIiEta 乙面霆 h肅虑刁冋甲

18、拯出正面 IfcW乙葬出正面龜 h生.若乙掷出 nik 正面-则*F5#Hbn次止面也戟是说乙掷出 0 欢反面*叩車少摄曲欧反面，从血屮拥曲应側勒乙掷出反曲 数.若乙攜出虑 1 比正而，则甲至壷 IWw 1 次正码 血就是说乙掷岀 1 祢反面甲更少 州出 2 衣反向.畝面也有甲掷册麼曲戡，乙揮出底面 SL 等尊.由此町得2巳屮撇斤疋面数S乙掷岀止面 = ff 掷出反面赵乙掷出反而瓠、:.P( PR= P(A) PA=I輕然 AJJ 旺尊可厕厂固比毎天暮自掷出正面写夏 .llliw BFB“=阳,MlfijPg- *Mfczli 咄出卄 1 牛硬帀共育 2 卄等可齡合，耳中有节山勇。次正面，有%

19、伞出现 1 次正丽丫.c：牛川观“士】績正丽,抑1 节隨币;n 冇才牛尊可能廝件.英中有 c?心出環D次疋面，C1，用 3U 战正页，*，c：F 出现“次帀面若甲那ItJIrt + 14-帀*乙掷 n 牛埋币.則共有 fl, =2JlJ-2* =2iwJ种等可能场缶 毘中甲揮岀正囱 ”乙卿出匸面多的冇刊场 A 诙有W W + UQ ） W（UC ：）+=CufC 十 U 十十）+匸囂（C +c-U）料用公式=C；十 U矗g；二 C：得叱(C Y：)+ ,十+) + fC;+ C：g 十 U r U)十*21、解：（1）有利场合是，前k 1次从N1个号中（除 1 号外）抽了，第 k 次取到 1

20、号球,（2）考虑前 k 次摸球的情况,P AN1/AN精品文档(C；-1+m V + - +T ) W Y i Y)精品文档Jgf + cUb （c；1+cc7 +c,；c； 14-1（c；）J+c；c； +c；c： 4应注意 r 出 OJ/-.ftM 牛正血的 n+2 住會不杲琴可能的.24、解：P CCnCi/C520.0129或解为，4 张 A 集中在特定一个手中的概率为C：C：8/C12，所以 4 张 A 集中在一个人手中的概率为P 4 C：8/C5；0.0106.26、解：(1)P 4/C：0.0000015 .这里设 A 只打大头，若认为可打两头AKQJ10 及A2345，则答案有

21、变，下同。(2)取出的一张可民由 K , Q ,，6 八个数中之一打头，所以115P C4C8/ C520.0000123 .(3)取出的四张同点牌为 13 个点中的某一点，再从剩下 48 张牌中取出 1 张，所以P C；3C：/C520.00024.(4)取出的 3 张同点占有 13 个点中一个点，接着取出的两张同点占有其余 12 个点中的一个点，所以P C113C43C112Cj/Cf20.00144.(5) 5 张同花可以是四种花中任一种，在同一种花中，5 张牌占有 13 个点中 5 个点，所以 P dC/C：0.00198.(6) 异花顺次五张牌=顺次五张牌 - 同花顺次五张牌。顺次五

22、张牌分别以 A ,K,，6 九个数中之一打头，每张可以有四种不同的花；而同花顺次中花色只能是四25、解：P131313kC52C39C26C13130.0106.149131313C4C4C43C39C26C13c5；精品文档种花中一种。所以p =P顺次五张牌 - 同花顺次五张牌c；(c；)5C4C9 /C520.0000294.精品文档(7)三张同点牌占有 13 个点中一个占有剩下 12 个点中两个点，所以P C；3C：C122(C：)2/C520.0211.(8)P五张中有两对=P五张中两对不同点+P五张中两对同点C22211512C4C4C11C4/C52C；3C：C；0.0475.(9

23、)pC13C4C12(C4)/C520.423.(10)若记(i)事件为A,则 A1A5, A2A5,A3A8,A4A9而事件9As, A9两两不相容，所以p 1 P Ai 591 P(A) 0.506.i 527、解：设 x, y 分别为此二船到达码头的时间，则0 x 24, 0 y 24.两船到达码头的时间与由上述 条件决定的正方形内的点是一一对应的(如图)设 A 表事件一船要等待空出码头”则A发生意味 着同时满足下列两不等式x y 3, y x 4由几何概率得，事件A的概率，等于正方形CDEF中直线x y3及y x 4 之间的部分面积，与正方形CDEF 的面积之比，即PA 2421202

24、1212/ 242311/1152 0.272228、解：设 x, y 分别为此二人到达时间，则7 x 8, 7 y 8。显然，此二人到达时间(x,y)与由上述条件决定的正方形CDEF 内和点是一一对应的(如图)。设 A 表事件 其中一人必须等另外一人的 时间 1/2 小时以上；则 A 发生意味着满足如下11不等式x y或y x。由几何概率得,22事件 A 的概率等于 GDH 及 FMN 的面积之和与正方形CDEF 的面积之比，所以P(A)1112(2 21)/(1 1)2 2精品文档29, flLFl A ff = .rpAX- =些则0 x玉飮 0JC2 d - x, xs a、斗 + 佃

25、-心）、fr2- M（） = X| 4 * M A 心fx3 x,=曲O 谟;X n 屯AX. X X.= ,vl-x2.尢=心一乱.则二港図构戚=角+ （ - x J少一,n 旺 a* （工I 一用十）4（$_耳“） 斗=比弋2A,+ （a - .r3） 工| -J n “ 0CUI）时*不更枸成 J麻.由几何旣率知,=| X / X 丄訝 +丄 MX 丄衣/12U 2222 解；设 0 到匸成的三钱民长分別为亂炖，即相应的 右卅点郅标为屯w晁耕。玉斗只=1 迢 金戏 段咧成用涉曲处曼条 FT *右斗4 p n u x + r v, v + r x.枉线闻（h 1上任意投三点与帀方体OWjr

26、Ml. 0 百盂 10 = 1 申的於召”打对应，軒見所求心构感:Mrnm$裁价于在边&为 1 的立方悴 T 中均匀地拂点,丽点落在万*孑产乱耳十言乂十匸沪蛊区城中的懂率=这也就址落茫囲中由 A A1）C A -Hili. A fWK .& hue.AAon .吐BO匚所网祓曲真嵋石中的刪率 rti 1 r（r）-】,5 -諾城山8I精品文档丄舅丄 xl3-1.3 22曲此得论牛不誰梅应三垢堆苗书何的唱李一杆玄3K设方格边怅为当磴币凰心落于图中阴常制疔才耳鈕界不和亶(團屮衣取-bJj 辂 h 由儿 WIHtW1户硬帀与震不相交丿豐豐枳1方格血积二 W)/.f令2 1)/P=0.

27、(Ha 1-4周右半*70 时.咬帀必勺蛊村卷(昼殊嘟件人 战只需嘴腔a打 Z (丄 如冷方昨 押才桃師与线不和交的賺平冲于 i%悶、鮮：to* n 中皿出的两皴分别为血屮则 aa 与 止勺底 ABCD 内的点- XJ 庖(1)Kx + y = .2与航:仝点坐氐为 Ch 0,2)与DC 点坐徐为 W 工 D,所 CL 由几何概举町得P俩数之和小粕沈鷺讐止方曲面税 就血线取=扌与 BC 童点警标为| 1,9iDC 鱼血來杯为:討14 )所且由几何僦申得精品文档(35 直釀 jr+yMia 与曲线莎二丄的交直坐输为 1 如斟*4石=0-6 + 0JH-(1932J归=0,268! = 0.6-O

28、.lpH = 62岛耳y2-0.952：門两数之和彷于】2 関数之积小于丄4囲膨 X 城/枳1E方形曲枳0.2x1-bCI.26K(-X + 1.2) +CIJ0.9K ItZx十忙肚4v(I十I2)dx/ aw(1、1皿I1 QW21l0.2 +丄F+L加4 丄x2+IJjrI 2)hI 2Jiig= 0.2+ D.0&57 +03116 0.0160 =0 59333、证：当n 2时，A A2A1A1A2), A 与A2AlA2两者不相容，所以此即当n 2时原式成立。设对n 1原式成立，现证对 n 原式也成立。P(A1An 1An)P A1An 1AnP(AAn 1)P(An)PA

29、An 1AnP(AAn 1)P(An)PAAnA2AnAn 1AnP(AA2) P(A2AA2) P(A) P(A2)P(AIA2).对前后两项分别应用归纳假设得P(An)n 1P(AAn)P(AAnAjAn)i 1n 1 j i 1(1)2P(AAnAjAnAn 1An)n 1P(AiAn 1An)P(A) P(AAj)n 1n 1 j i 1(1)n2P(A An1)精品文档nP(A)P(AAj)(1)n1P(AA2An).i 1n j i 1至此，原式得证。则、设州第/牛战上拿到自BflOtt, jMi工，押*瓦乏丽容，现屈上童处式|楸鬥 4/)二(“可妆 1 覽 1/师二“恥二 (心丿

30、人.，化珂地血 J 二 1/V!由巷比得肥至少片一个战士拿到自巴的枪 = /4U 也 UUQ=乞-乞 珂&勺”十(一广巩出仏血,) 恥问I汕：由此M求孤 刃件“至少自 ，战丄拿到口己的枪”的剧d事刘的嗨单为阳、51 k W 定的战上拿到口己削枪的槌率垦 1 二丄；.利用上题洼(槻这里 W-上干 kY-iJ战玄都注有拿到自己枪的慢窄为鬥恰有*牛战士拿別自己的枪.则这 Ic,临 禽八上町以圧 X 卩战上屮任总的 k 卩強 L風対，战 I 屮遼他 闇 Ik rLfiCt 种母必 ffitsiift “梏有 it Fat土#和自己枪的 is 孰 是爭件B* k t#g 地士拿到自己的检 nH余

31、用站个战七没籽拿利 n 己晒枪“喷申的 G 俸 呵射 p 附仃战丄网 g 抢 we；-厶$単+宴芈.*山r-n / FT上!36、解：设考签编号为 1,2, , N，记事件 A 第x号考签未被抽到，则P(AJ (N 1)n/Nn，P(AAj) (N 2)n/Nn(i j),P(AA2AN)(N N)n/Nn0 ；屮-】)_PtN竹 ft 丄没f)A1牛战上拿到自己的枪二 1 工 T+ + (-!)VC；一(一1)精品文档诸A相容，利用第 33 题公式计算得37、解：这些比赛的可能结果，可以用下面方法表示：aa, acc, acbb, acbaa, acbacc,acbacbb,Lbb, bcc

32、, bcaa, bcabb, bcabcc,bcabcaa,L其中 a 表甲胜，b 表乙胜，c 表丙胜。在这些结果中，恰巧包含 k 个字母的事件发生的概率应为125P(a)P(b)2(1)-.证：就父胜子的懾率为打，子 H 父的就率力片父理厚.母 1136 母肚予，子 II 母时 槪爭汕别兄 ms 兀吋 刪站鬥间有黄孟 码十片=严冲*仿上题，设首局为父对 母比寒的可累划:,刈 t 肚虫上虫1%站旳口心為 U 評 1 吟縮*由* *利表父廉，皑父胜埠与艾胜子的率不同.为明确起见.比赛结果申了母下折.下标中 1 刘应枫牢P,*故冋林卜邱呵珂裁护珂冋)-P1PI +类個地，券一同占乂対子，期可得挪-

33、局若了对母”则小讪=FU 前T】*門慎的=风珂 6 +风码 R = Pi/MPV +PI)=Pi小(.由于 R “、所以 F】P*P汕|Pr 扎已鬥円冋宀鬥 Pl 4 此处(tf 丨 U P树*Mii凤町a 円的这说明父的抉菠杲优.P=至少有一张考签未被抽到 PAiAANNP(A)P(AAj)i 1N j i 1(1)N1P(A(A2AN)CN(N1)nnCN(n 2)Nn(1)N2CN1Nn1)i1CN(N i)nNnaa 发生的概率为 1/4, acbb 发生的概率为 1/16 等等。则p(c) P(acc) P(bcc) P(acbacc) P(bcabcc)由于甲，乙两人所处的地位是对

34、称的，所以p(a)2326 229P(b)，精品文档39、解:P(AB)P(A B) P(A B B)P(A B) P(B) r qP(AB)P(A B) 1 P(A B) 1 r.精品文档40、证:设 BCCi,C(A B)C2.由 CAB可得,CA B ,- C CiC2, CiC2(i)又 CAB ACiA(BC)AB再由P(B)P(Ci)得P(AG) P(AB) P(A)P(B) P(A)P(Ci) 由 C2A 并利用 P(A) 1 得P(AC2)P(C2)P(A)P(C2)由(1), (2), (3)可得P(AC) P A(CiC2)P(ACiAC2)P(ACi) P(AC2) P(

35、A)P(Ci) P(A)P(C2)P(A) P(Ci) P(C2) P(A)P(C)4lt证1心缶无砂调在及刊南 5 冏闻APMJ + P（去）7,卫二则出斗 I 构次利用 I）的结卑衍円/蛙冲 U|赴M） 2 PU/+PMM 訂-1卫网和“片的“丹地）1 =科珀）+鬥血）+曲 4 订丄机、* 设 M 阶廿列式中 j1t 珂 r 打列朮燧开式的締 国为刑河仃卅网列兄霖的栗枳.刘丁栢一项中的拎牛元素.从推一列中取-个元素有 N 种版秋.寺从第-例申戦的元祐取瓷 乩 耳从第二列屮以 今兀露存 W1 崔畋*接电从第三列屮展 伞尼幕和川一 2 种収;L 尊等*禅种脫弦喷訓足彎可龍的，哉有 N!神取注

36、r雀每盍事件NflYfF 刊武的顶含h 站M9Ap（1（=（ -I）h _!_二_L一二_*至少含 4 E 时弗戏无索前项的 Hl 率为点得说主M线圮押坝綁曽口-w右11K注:不含主对肃线无Jpfi的雌为(2)(3)P( X|JThi I p uh =y珂也 J-工門右 “J-A) )lr=lKM计住精品文档43、证：设袋中有 A 个球，其中 a 个是白球，不还原随机取出，第k 次才首次取得白球的精品文档AA 1A：a(A a)(A a 1) (A a k 2)AAA(A 1)(A 2) (A k 1)因为袋中有 a 个白球，A a 个黑球，若一开始总是取到黑球，直到把黑球取完为 止，则至迟到

37、第 A a 1 次一定会取到白球；也就是说，第一次或第二次或至迟到第A a 1 次取得白球事件是必然事件，其概率为1。所以1 P1P2a a(ApA a 1A A(Aa)a(A a)2 11)A(A 1)(a 1)a等式两边冋乘以A得a1A aA 1(A a)(A a 1)(Aa) 2 1A(A 1)(A 2)(A1) (a 1)aa44,解,的墟辛为 12-71.?%, Si SI 乩丹渭垓箱&粘!技吐知 BW 71；的可戏育圈昴疗效.4 轧 IT诸元氮 按圧通过求世*奔丸鱼算逐步戶：|一；让 2岗共包書箱牛元素；口鼻，厶丘九乩川武川&必凤EUEdHU/l 耳UR 丽刁 U 民艮丿 4U# fit-.现证明它是包售入 B 的丘小 b-龌首兜它它含禹 B；lljJ所有寒均由人 B 产生 故最小.集是有限也 故貝需竝它为代数，即按如下购樂斡讪集系箱闻切心若UJ、則CUDE尸。杞胡幣证U 确为供耻： 证二，由闰初，两 F 荣寧可严生用个欖分*可砾之 为产生址时禾小那井.从这四牛部分申任取 0仁艺艮 4求并宦+扶刷枸成tf *C14Ci+C；+C-16牛