选修2-3二项式定理

1、1.3.11.3.1二项式定理二项式定理汶上一中汶上一中 朱爱珍朱爱珍1008(3)(3)如果是如果是 天后的这一天呢？天后的这一天呢？ (1)(1)今天是星期六，那么今天是星期六，那么7天后天后 的这一天是星期几呢的这一天是星期几呢? ?(2)(2)如果是如果是15天后的这一天呢？天后的这一天呢？2)ba（3)(ba322333babbaa222baba？100)(ba)(22bbaababa2ababa3a2baba23bbabab2)()(bababa4 4b b) )（a an nb b) )（a a2 22 22 2b b2 2a ab ba ab b) )（a a3 32 22 2

2、3 33 3b b3 3a ab bb b3 3a aa ab b) )( (a ab ba ab b) )（a a1 14 4b b) )（a a4 4a ab ba a3 32 22 2b ba a3 3a ab b4 4b bn nb b) )（a an na ab ba a1 1- -n n2 2na bn nb b1nab a3 a2b ab2 b3 (ab)2 ( a b ) ( a b )b ) b )(ab)3( ab )( ab )( ab )a33a2b3ab2b30C3C31C32C33选选b a2 ab b20C2C21C22a22abb2(ab)4(ab) (ab)

3、(ab) (ab) a4 a3b a2b2 ab3 b40C4C41C42C43C44a44a3b6a2b24ab3+b4选选b 选选b b问题问题3 3你能写出你能写出 的展开式吗？的展开式吗？nba)( (1)(1)展开式共有展开式共有n+1n+1项；项； (2)(2)各项的次数都等于二项式的次数各项的次数都等于二项式的次数n n； 字母字母 按按降幂降幂排列排列, ,次数由次数由n n递减到递减到0 0； 字母字母 按按升幂升幂排列排列, ,次数由次数由0 0递增到递增到n n ab)(CCC)(*110NnbbabaaCbannnkknknnnnnn )(CCC)(*110Nnbbab

4、aaCbannnkknknnnnnn (4)(4)二项展开式中二项展开式中, ,系数系数 叫叫作作二项式系数二项式系数, ,即即), 1 , 0(nkCkn nnnnCC,C,C,2n10(3)(3)二项展开式的二项展开式的通项通项：kknknkbaCT 1, 1 , 0nk 其中其中第第1 1项项 第第2 2项项第第k+1k+1项项 该公式所表示的定理叫做该公式所表示的定理叫做二项式定理二项式定理，右边的多项式叫做右边的多项式叫做 的的二项展开式二项展开式，其中的系数其中的系数 叫做叫做二项式二项式系数系数。式中。式中 的叫做的叫做二项式通项二项式通项， 用用 表示。表示。 nba)( nr

5、Crn, 2 , 1 , 0rrnrnbaC1rTnba)(222bannCbaannnnCC110nnnrrnrnbbaCC)(*Nn二项式定理二项式定理的的二项展开式二项展开式的通项与的通项与的通项是否一致呢？的通项是否一致呢？nba)( nrCrn, 2 , 1 , 0rrnrnbaC 1rTnab)( rrnrnabC 1rT43243243243244641)(4641)(4641)(4641)(_1.xxxxDxxxxCxxxxBxxxxAx ）展展开开（练练习习_11.14 ）展展开开（例例x特别地特别地: 2、令令a=1，b=x1、把把b用用- -b代替代替 (a-b)n= C

6、nan-Cnan-1b+ +(-1)rCnan-rbr + +(-1)nCnbn01rnn) 11 ( n2nnnrrnnnnxCxCxCxCx 22111）（01CCCnnnn3、)(Nn011()nnnrn r rn nnnnna bC aCa bC a bC b二项展开式定理二项展开式定理: :1 10 00 01 10 00 01 1）（7 78 8r r1 10 00 0r r1 10 00 09 99 91 11 10 00 01 10 00 00 01 10 00 07 7C C7 7C C7 7C C1 10 00 01 10 00 01 19 99 91 10 00 0C C

7、7 7C C 余数是余数是1 1， 所以是所以是星期日星期日）（9 99 91 10 00 09 99 90 01 10 00 0C C7 7C C71 11008(3)(3)今天是星期六，那么今天是星期六，那么 天后天后的这一天是星期几？的这一天是星期几？解解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2 )(2 )(2 )xCxCxCxx1=(24256666(2 )(2 )CxCxC32236012164192240160 xxxxxx=例例2 2、求、求 的展开式的展开式 6)12(xx 应用举例应用举例求第三项二项式的系数及第三项的系数求第三项二项式的系数及第三项的

8、系数2.2.求二项式系数或项的系数的一种方法是求二项式系数或项的系数的一种方法是1.1.区别区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念二项式系数二项式系数为为 ；项的系数项的系数为：为：knC注意：注意：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积将二项式展开将二项式展开7)3x: :( (1 1) )求求（1 1+ +2 2的的展展开开式式的的第第例例4 4项项的的系系数数931)xxx (2)(2)求求（的的展展开开式式中中的的系系数数和和中中间间项项解解:37 3333 17(1)1(2 )280TCxx第四项系数为第四项系数为28099 21991(2)()( 1)r

9、rrrrrrTC xC xx 339923,84rxC 3由得r=3.故 的系数为(-1)49 444 1959 555 1915,6,()70170()TC xxxTC xxx中间一项是第项 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23( x例例4(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.8312xx解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则：8824 431883

10、11122rrrrrrrrxTCCxx 由题意可知，由题意可知，244063rr故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项，项，常数项常数项8 6660781172TCx 常数项即常数项即 项项.0 x例例4(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.8312xx100,.236,0100.0,6,12,96,17.r rTrr均为整数时为有理数为 的倍数 且即r为展开式中共有项有理项解：解： 的展开式的通项公式为：的展开式的通项公式为：1003)23( x100100100332110

11、01003232rrrrrrrrTCxCx012100r ， ， ， ，点评：点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高维的严密性要求也高.有理项即有理项即整数次幂整数次幂项项 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23( x12312.3931133nnnnnnnnnnCCCC等于（ ）44 A.4 B.3 4 C. D.0kkn122nnnnnnn(1+x) = C +C x+C x +C x +C x拓展训练：拓展训练