旋转模型专题

1、旋转模型专题一、等线段共点等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形二、按图形分类1、等腰三角形，2 、等边三角形，3 、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型2、角含半角模型3 、对角互补模型4、与勾股定理结合5、费马点问题精品文库例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM 、 CBN 是等边三角形常见结论：（1） ANBMN（2） CDCEM F（ 3） CF 平分 AFB（ 4） CDE 是等边三角形DE（ 5） AFM=60° 且保持不变ACB2、如图，在凸四边形 ABCD 中， BCD 30 , DA

2、B60 ，AD AB 求证： AC2CD 2BC 2CBAD3、已知 ABC ，以 AC 为边在 ABC 外作等腰 ACD ，其中 ACAD 。如图，若DAC2 ABC， ACBC ，四边形 ABCD是平行四边形，则ABC _如图，若ABC30 ， ACD 是等边三角形， AB 3 ， BC4 ，求 BD 的长；如图，若 ACD 为锐角，作222AH BC于 H ，当 BD4 A HBC时，D A C 2A B是C否成立？若不成立， 请说明你的理由； 若成立，证明你的结论。DADADABCBCBHC欢迎下载2精品文库二、角含半角模型4、已知：如图 1 在 Rt ABC 中，BAC90 ， AB

3、AC ，点 D 、 E 分别为线段 BC上两动点，若 DAE 45 探究线段 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系小明的思路是：把 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到 ABE ，连结 E D ，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明AACDCBDBEE图1图 25、在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 EAF

4、= CEF=45°，（ 1）将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到 ABG ，如图 1，求证： AEG AEF ；（ 2）若直线 EF 与 AB 、AD 的延长线分别交于点 M,N ，如图 2，求证： EF2ME2 NF2（ 3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，BE，DF 之间的数量关系。ADFBEC欢迎下载3精品文库6、在等边ABC 的两边 AB，AC 所在直线上分别有两点M，N，D 为ABC 外一点，且 MDN60 ， BDC 120 ， BDCD ，探究：当点 M，N 分别爱直线AB，AC 上移动时， BM，NC，MN

5、之间的数量关系及AMN 的周长与等边ABC的周长 L 的关系如图，当点M，AC上，且 DM=DN 时， BM，NC，MN之间的N在边 AB数量关系式 _；此时 Q =_L如图，当点M，AC上，且DM DN 时，猜想(1)问的两个结论N在边AB还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点M，N 分别在边，CA 的延长线上时，若 AN=x，则ABQ=_(用 x，L 表示 )AANNAMNMBCBCBCMDDD图（ 1）图（ 2）图（ 3）欢迎下载4精品文库三、对角互补类7、已知： MAN ， AC 平分MAN 在图 1中，若 MANDCB90 ，证明： ABAD2AC 在图 2中，若 MAN120

6、 ， DCB 60 ，探究 AB 、 AD 、 AC 三者之间的数量关系，并给出证明；在图 3中：若 MAN（ 0180 ）， DCB180，则 AB AD _ AC（用含的三角函数表示 ,直接写出结果，不必证明）NMMDCCDCMDNAABNBAB图1图2图 38、如图 1，正方形 ABCD 和正方形 QMNP ，M 是正方形 ABCD 的对称中心， MN 交AB于F，QM 交AD于E猜想： ME 与 MF 的数量关系如图 2，若将原题中的“正方形”改为“菱形” ，且MB ，其它条件不变，探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系，并加以证明如图 3，若将原题中的“正方形”改为“矩形” ，且

7、AB : BC1: 2 ，其它条件不变，探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系，并说明理由如图 4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且MB， AB:BCm ，其它条件不变，求出 ME : MF 的值（直接写出答案）CBCBCBCBMMFMF NMFNAEFENDEEADANDADQQQQPPPP图4图 1图 2图3欢迎下载5精品文库四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角ABC 中， ACB 90， ACBC，M 是 AB的中点，点 P从 B出发向C运动， MQMP 交 AC 于点 Q ，试说明MPQ 的形状和面积将如何变化AMQCP B10、等腰直角三角形 ABC ， ABC90 ，AB

8、2 ，O为 AC中点，EOF 45 ，求BEF 的周长AOEBFC11、已知 RtABC 中，AC=BC，C=90°，D 为 AB 边的中点， EDF=90°，EDF绕 D 点旋转，它的两边分别交AC、CB（或延长线）于 E、F当 EDF 绕 D 点旋转到 DEAC 于 E 时（如图 1），易证S DEF1S CEFS ABC2当 EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否成立 ? 若成立，请给予证明；若不成立， S DEF ,SCEF , S ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AAADEDDECBF

9、CFBCFB图 1E图 3图 2欢迎下载6精品文库欢迎下载7精品文库五、等线段共点12、如图所示， P 是等边 ABC 内部一点， PC 3 ， PA 4 ， PB 5 ，求 ABC 的边长 .S BPC=,S ABP=,S APC=,S ABC=,BBPPACAC13、 P 为等边ABC 内一点，APB113 ，APC123 ，求证：以 AP 、 BP 、CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.APBC14、如图， P 为正方形 ABCD 内一点， PA1，PD2，PC3，将PAD 绕着 D点按逆时针旋转 90 到DCM 的位置（ 1）求APD 的度数。(2)求正方

10、形的边长ABPDCM欢迎下载8精品文库欢迎下载9精品文库六、费马点问题15、阅读下列材料对于任意的ABC ，若三角形内或三角形上有一点P ，若 PAPBPC 有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。若三角形内有一个内角大于或等于120 ，这个内角的顶点就是费马点若三角形内角均小于120 ，则满足条件APBBPCAPC120 时，点 P 既为费马点解决问题：如图， ABC 中，三个内角均小于 120 ，分别以 AB 、AC 为边向外作等边ABD 、ACE ，连接 CD 、 BE 交于点 P ，证明：点 P为ABC 的费马点。( 即证明 APBBPCAPC 120 ) 且PA PB P

11、C CDDAEPBC如图，点 Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明： QAQCQBPAPBPCDAEPQBC若ABC30 ， AB3 ， BC4 ，直接写出 PAPBPC 的最小值欢迎下载10精品文库16、如图，四边形 ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN ，连接 AM 、 CM 、 EN 求证：AMB ENB当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由；当 AMBMCM 的最小值为31 时，求正方形的边长ADNEMBC17、阅读下列材料：小华遇到这样一

12、个问题，如图1,ABC中， ACB=30o，BC=6， AC=5，在 ABC内部有一点P，连接 PA、 PB、 PC，求 PA+PB+PC的最小值 EDADAAPPCBBC BC图 1图 2图 3小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将 APC绕点 C顺时针旋转60o ，得到，连接、 ，则的长即为所求EDCPD BEBE（ 1）请你写出图 2 中， PA

13、+PB+PC的最小值为；（ 2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，菱形 ABCD中， ABC=60o，在菱形 ABCD内部有一点 P，请在图 3 中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可） ；若中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当欢迎下载11精品文库PA+PB+PC值最小时 PB的长欢迎下载120 ，小于或精品文库七、最值问题18、已知： PA2 ， PB 4 ，以 AB 为一边作正方形 ABCD ，使 P 、 D 两点落在直线 AB的两侧.如图，当 APB45 时，求 AB 及 PD 的长；当 APB 变化，且其它条件不变时，求 PD

14、的最大值及相应APB的大小 .DCAPB19、如图，已知ABC 是等腰直角三角形，BAC =90°，点 D 是 BC 的中点作正方形 DEFG ，使点 A 、 C 分别在 DG 和 DE 上，连接 AE 、 BG 试猜想线段 BG 和 AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于等于 360°），如图，通过观察或测量等方法判断 （ 1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由若 BCDE2 ，在的旋转过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值FGFGAAEBDCEBDC欢迎下载13精品文库八、综合应用20、已知：在 Rt ABC 中， ABBC ，在 Rt ADE 中， ADDE ，连结 EC ，取 EC 的中点 M ，连结 DM 和BM 若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，探索 BM 、 DM的关系并给予证明； 如果将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转小于45 的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明BEBEMDMCAACD图 1图22