数分选讲讲稿

1、讲授内容第三十四讲§6.4隐函数存在定理对方程 F (x, y)0 而言，隐函数存在定理是： F ( x, y) 满足10F (x0, y0 )0, Fy (x0 , y0 )0 ；20F (x, y) 及 Fy (x, y) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，则方程 F ( x, y)0 在 (x0 , y0 ) 的邻域里确定了唯一的隐函数.具体来说，即0,0 ，及函数 yy( x) ，满足：i)y0y( x0 ) ；ii)F x, y( x)0,y( x)y0, xU ( x0 ,)其中 U (x0 , )x | x - x0 |；iii) 满足条件 i) 、ii) 的

2、函数 y( x) 是唯一的；iv)yy( x) 在 U (x0 ,) 内连续若附加条件： Fx( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 的邻域内连续，则 y (x) 存在， 且 y ( x)dyFx ( x, y) dxFy ( x, y)例 1 给定方程 x2y sin( xy) 0( A)1) 说明在点 (0,0) 的充分小的邻域内，此方程确定唯一的、连续的函数 yy( x) ，使得 y(0) 0 ；2)讨论函数y( x) 在 x 0 附近的可微性；3) 讨论函数 y( x) 在 x 0 附近的升降性（单调性） ；4) 在点 (0,0) 的充分小的邻域内， 此方程是否确定唯一的单值函数

3、xx( y) ，使得 x(0)0 ？为什么？解 1)F (x, y) x2ysin( xy)备注3 学时注：定理的条件只是充分条件，而不是要条件偏导数是两个特殊方向的方向导数梯度方向是函数变化最剧烈的方向，或个方向导数的最大值就是梯度的模书 P100 EX5外法线方向对一元函数若f (x)0, xI则f ( x)C , xI注：本结论可推广到 ? n 中图10F (0,0) 0 ， Fy ( x, y)1 x cos(xy), Fy (0,0) 1 ；20显然 F ( x, y) 及 Fy ( x, y) 在 (0,0) 的邻域内连续，由隐函数存在定理， F( x, y)0在点 (0,0)的某

4、邻域内存在唯一隐函数 y y( x) ，连续， y(0)0 2)Fx ( x, y) 2 x y cos(xy) 也在 (0,0)的邻域内连续，所以函数 yy( x) 的导数存在，且3) 为讨论 y( x) 在 x 0 附近的升降性， 考虑 y ( x) 的符号，由 (B) 得出，当 ( x, y) 充分接近 (0,0) 时， y ( x) 的符号取决于分子 2x y cos(xy) 的符号Q y(0)0 ，由( B)知y (0)0 ，y(x)o(x)（当 x0 时）于是ycos(xy)| y | o( x)y ( x) 的符号与2x 的符号相同x0 时，y ( x)0,y( x) ，x0 时

5、，y ( x)0,y( x) Z可见， y( x) 在 x0 处取（严格）极大4) （用隐函数存在定理不能判定在 (0,0) 的邻域内是否存在唯一的单值函数x x( y) ，使得 x(0) 0 ，Q Fx (0,0)0 ）由 3) 知， y( x) 在 x0 处取（严格）极大，故在 (0,0) 的充分小的邻域内，当 y 0时，至少有二个 x 与 y 对应而当 y0 时，无 x 与 y 对应，使得 F (x, y)0 所以不能确定 xx( y) ，使得 x(0)0 § 6.5 方向导数与梯度一、方向导数的计算1) 利用定义函数 yf (x) ( x? n ) 在点 P(x1, x2 ,

6、L , xn ) 处沿单位向r量 l (l1 ,l2 ,L ,ln ) 方向的方向导数定义为2) 利用偏导数与方向导数的关系若 f ( x) 在点 P( x1 , x2 ,L , xn ) 处可微，则 f 在 P 点沿任意r方向 l (cos 1,cos2 ,L ,cos n ) 的方向导数存在，且3) 利用梯度与方向导数的关系若 f ( x) 在点 P( x1 , x2 ,L , xn ) 处可微，则 f 在 P 点沿任意r方向 l(cos 1,cos2 ,L ,cos n ) 的方向导数存在，且其中r表示 grad f ( P) 与 l 的夹角例 1 设试证： f ( x, y) 在 (0

7、,0)点沿任意方向的方向导数存在，但在(0,0) 处不可微r(cos,sin)证取任意方向 lf ( Prt cos,0t sin)f (t cos ,t sin )则tl ) f (0于是fdf (t cos ,t sin)l(0,0)dtt 0可见在(0,0)处沿任意方向的方向导数存在不可微性是课本上的例题x2 y22例 2 证明： f ( x, y)x4y2 ,xy00,x2y2 =0在 (0,0)r(cos ,sin) 的方向导数为处沿任意方向 l证rt cos,0t sin)f (t cos , t sin )f ( P tl ) f (0r若 sin0， f (t cos,0)0，

8、 df ( Ptl )0dt总之，有cos2,sin0f (0,0)sinlsin00,例 3 求 f ( x, y, z) x2y 2z2 在椭球面 x2y2z21 上a2b2c2的点 P(x0 , y0, z0 ) 处的外法线方向的导数r2x02y02z0解 法向量 na2 ,b2 ,c2uur1r1 2x02 y02z0单位法向量n0rnr2,2,c2| n | n | abr222x0y0z02 其中 | n | 2a4b4c4因此，2x02y02z021 x02y02z02a2b2c2a4b4c4例 4 设 y( x) 是区间 ax b 上的可微函数，在 xOy 直角坐标平面内，其图

9、像为曲线若二元函数 f ( x, y) 在包含曲线的某区域上连续可微（即具有连续的偏导数） 且在曲线上恒为 0求证： f ( x, y) 在曲线上任一给定点处沿该曲线切线方向的导数等于 0r(cos,sin) 是曲线上任意点 P 处的单位切证 设 l向量，则可见只要找出cos,sin，便得所证结果由已知条件f x, (x)0( x, y)两边关于 x 求导f x (x, y)f y ( x, y)(x)0( x, y)从而cos1f y1tan2f x2f y2所以ffx ( x, y)cosf y ( x, y)sinlf xf yfxf y0 f x2f y2fx2f y 2例 5rur2

10、 中的两个线性无关的单位向量函数设 l1 , l2 为 ?f ( x, y) 在 ? 2 中可微方向导数f0, i 1,2 li试证： f ( x, y)常数rur(a21, a22 ) ，因为 f0, i 1,2证记 l1( a11 ,a12 ), l2l irura11a120Q l1, l2 线性无关，a21a22上述方程组只有零解： f xf y0 记 P( x, y)2 , P( x0 , y0 )2 ，由微分中值定理故 f (x, y) 常数二、梯度的计算梯度的计算（以 ? 3 为例），主要使用如下公式：rr r其中为 Hamilton 算符， i ,j , k 分别表示 x, y

11、, z 轴上的单位向量注：梯度是向量，因此其运算，要遵从向量的运算法则例 6设 uf ( x, y) ， xr cos, y r sin ，求证：uu ur1 u uurr0r0 uruurr其中 r0 , 0分别是径向与圆周方向的单位向量 （如图）证u ru ruij xyurururu 在 r0 方向的投影：ugr0（ r0方向的分量）uururuuruury0r0u 在0 方向的投影：ug 0uur（ 0方向的分量）按向量的分解原理：Oxuru cosu sinu所以ugr0xyru ur1u uur从而ur0r0 r例 7设有方程x2y 2z21(1)a2ub2u c2u证明：gradu2(2)2 Aggradu其中 A(x, y, z) 证 这是一个兼有梯度计算与隐函数求导的题目(2) 式变形为ux2 u y2 uz2 2( xux yuy zuz )(3)问题转化为由方程 (1) 证明式 (3) 方程 (1) 满足隐函数存在定理的条件， 因此 (1) 式将 u 定义为 x, y, z 的函数将 (1) 式对 x 求导2xx2y2z2(4)即2ua2u2u22 uxab2c2u由轮换对称2 yx2y2z2b2ua2222 uy (5)ub2uc2u2zx2y2z2c