数列求通项的方法总结

1、数列求通项的方法总结按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列an 的第 n 项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。为大家总结数列求通项的方法，一起来看看吧！一、累差法递推式为： an+1=an+f(n)(f(n)可求和 )思路： : 令 n=1,2,n-1 可得a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)an-an-1=f(n-1)将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1) f(n) 可求和 an=a1+f(1)+f(2)+f(n-1)当然我们还要验证当n=1 时,a1 是否满足上式例 1、已知数列 a 中,a1=1,an+1=a

2、n+2, 求 an解：令 n=1,2,n-1 可得a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23an-an-1=2n-1将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1) f(n) 可求和 an=a1+f(1)+f(2)+f(n-1)当 n=1 时,a1 适合上式故 an=2n-1二、累商法递推式为： an+1=f(n)an （f(n) 要可求积）思路：令 n=1,2,n-1 可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2)f(n-1) f(n) 可求积 an=a1f(1)f(2)f(n-

3、1)当然我们还要验证当n=1 时， a1 是否适合上式例 2、在数列 an 中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求 an解：令 n=1,2,n-1 可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘后可得an/a1=2/1 ×3/24 ×/3 × × n/(n-1)即 an=2n当 n=1 时， an 也适合上式 an=2n三, 构造法1、递推关系式为an+1=pan+q(p,q 为常数 )思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x), 得 an+1=pan+(p-1)x,解得 x=q/

4、(p-1)故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)构造数列 bn,bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即 bn+1/bn=p,bn 为等比数列 .故可求出 bn=f(n) 再将 bn=an+q/(p-1) 代入即可得 an例 3、(06 重庆 ) 数列 an 中, 对于 n>1(nN) 有 an=2an-1+3, 求 an解：设递推式可化为an+x=2(an-1+x), 得 an=2an-1+x, 解得 x=3故可将递推式化为an+3=2(an-1+3)构造数列 bn,bn=an+3bn=2bn-1即 bn/bn-1=2,bn为等比数列且公比为3bn=bn-1·3,b

5、n=an+3bn=4×3n-1an+3=4×3n-1,an=4 ×3n-1-12、递推式为 an+1=pan+qn(p,q 为常数 )思路：在 an+1=pan+qn两边同时除以 qn+1 得an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q构造数列 bn,bn=an/qn可得 bn+1=p/qbn+1/q故可利用上类型的解法得到bn=f(n)再将代入上式即可得an例 4、数列 an 中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求 an解：在 an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以 (1/2)n+1得2n+1an+1=(2/3)×2n

6、an+1构造数列 bn,bn=2nan可得 bn+1=(2/3)bn+1故可利用上类型解法解得bn=3-2 ×(2/3)n2nan=3-2×(2/3)nan=3×(1/2)n-2×(1/3)n3、递推式为： an+2=pan+1+qan（p,q 为常数）思路：设 an+2=pan+1+qan变形为 an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是 an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到 x+y=p,xy=-q解得 x,y ，于是bn就是公比为 y 的等比数列（其中 bn=an+1-xan）这样就转化为前面讲过的类型了例 5、已知数列 an

7、 中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3) ·an,求 an解：设 an+2=(2/3)an+1+(1/3)an 可以变形为 an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是 an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到 x+y=2/3,xy=-1/3可取 x=1,y=-1/3构造数列 bn， bn=an+1-an故数列 bn是公比为 -1/3 的等比数列即 bn=b1(-1/3)n-1 b1=a2-a1=2-1=1 bn=(-1/3)n-1an+1-an=(-1/3)n-1故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+3/4 ×1

8、-(-1/3)n-1(nN*)例题1 、利用 sn 和 n 的关系求 an思路：当 n=1 时， an=sn当 n2 时,an=sn-sn-1例 6、已知数列前项和s=n2+1, 求an 的通项公式 .解：当 n=1 时， an=sn2当 n2 时,an=sn-sn-1 n+1-(n-1)2+1=2n-1而 n=1 时， a1=2 不适合上式当 n=1 时， an=2当 n2 时,an=2n-12 、利用 sn 和 an 的关系求 an思路：利用 an=sn-sn-1 可以得到递推关系式， 这样我们就可以利用前面讲过的方法求解例、在数列 an中，已知 sn=3+2an，求 an解：即 an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)an=2an-1 an是以为公比的等比数列 an=a1·2n-1=-3 ×2n-12 、用不完全归纳法猜想 , 用数学归纳法证明 .思路 : 由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出 an，再用数学归纳法证明例 8、(xx 全国高考 ) 已知数列 an 中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求 an解：由已知可得 a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6 由此猜想 an=n+1，下用数学归纳法证明：当 n=1 时，左边 2，右边 2，左边右边即当 n=1