数列的求和问题

1、数列的求和问题编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；2掌握数列的通项an 与前 n 项和 Sn 之间的关系式；3熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.【要点梳理】要点一、数列的前n 项和 Sn 的相关公式任意数列的第n 项 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系式：anS1(n1)Sn Sn 1 (n2)等差数列的前n 项和 Sn 公式：Snn(a1an )na1n(n1) dAn 2Bn （ A、B 为常数）22当 d0时， Sn 是关于 n 的二次式且常数项为0；当

2、d=0 时（ a10）， Sn=na1 是关于 n 的正比例式 .等比数列的前n 项和 Sn 公式：当 q1 时， ana1 ， Sn a1a2a3 Lan na1 ，当 q1 时， Sna1 (1 q n ) 或 Sna1an q1q1q要点诠释： 等比数列的求和中若q 的范围不确定，要特别注意 q1的情况 .要点二、求数列的前n 项和的几种常用方法公式法：如果一个数列是等差或者等比数列，求其前 n 项和可直接利用等差数列或等比数列的前n 项和公式求和；倒序相加法：等差数列前n 项和的推导方法，即将Sn 倒写 后再与Sn 相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.裂项相消法：

3、把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.1例如对通项公式为an的数列求和 .n(n1)常见的拆项公式：11? (11) ；n(nk) knn k若 an 为等差数列，且公差d 不为 0，首项也不为0，则11 ( 11 ) ；an ? an 1d anan 1若 an 的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则 an1111) .B)( AnC )C(BAn( AnB AnC1n1n ；n1n1 ( n kn ) .n1nkk分解求和与并项求和法：把数列

4、的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为 an=2n+3n 的数列求和 .错位相减法：如果一个数列an 的通项是由一个非常数列的等差数列bn 与等比数列cn 的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为anbn cn（其中bn是公差d0的等差数列，cn是公比q1的等比数列）（也称为 “差比数列 ”）的数列求前n 项和Sn .例如对通项公式为an(2 n1) 2n 的数列求和.一般步骤：Snb1 c1b2c2bn 1cn 1bncn ，则qSnb1c2

5、bn 1cnbn cn 1所以有(1q) Snb1c1(c2c3cn )dbn cn 1要点诠释：错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前n 项和的两边都乘以等比数列的公比q 后，再错位相减求出其前n 项和；在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立 .要点三、掌握一些常见数列的前n 项和公式1.1 23n( n1)n；22.135LL(2 n 1) n23.122232n2n(n 1)(2n 1)；6要点诠释： 前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.【典型例题】类型一：公式法：直接利用或者转化后利用等差或

6、等比数列求和公式例 1 设数列an的通项为 an2n7(nN * ), 则 | a1 | a2 |+|a15 |=【思路点拨】对含绝对值的式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和。【答案】 153【解析】由 an0, 得 n7 , 取 n4, 则2| a1 | a2 |+|a15 |= (a1a2 a3 )(a4a5+ a15 ) (1 3 5) (1 3 5+23112=153 .=9+ 1+232【总结升华】 要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号，去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键是要看an 的符号 .举一反三：【变式】已知an 是首项为1

7、 的等比数列， Sn 是 an的前 n 项和，且 9S3S6,则数列1项和为的前 5an【答案】3116【解析】由题意知，显然q1 9(a1a2a3 ) a1a2a3a4 a5 a6, 8(a1a2a3 )a4a5a6,8(a1a2a3)(aa2a )q313 q2, an2n 111+111+131aaa20124165212类型二：错位相减法例 2设 a0 ，求数列： a , 2a 2 , 3a3 , na n , 的前 n 项和 Sn .【思路点拨】原数列不是等差等比数列，但字母部分： a , a2 , a3 , an , 是等比数列， 系数部分 1，2 ， 3 ， ， n ， 是等差数

8、列，对数列中任一项若除以a ，则与前项同类项，系数大1，若乘以 a ，它与它的后项是关于a 的同类项，且系数小1，联系等比数列求和方法，错项相减法（注意当等比数列公比不为1的时候）【解析】当 a1时， Sn123.nn(n1)2当 a1时， Sna2a23a3 .nan则 aSn a22a33a4.nan 1由 -可得： (1 a)Sna a2a3Lan 1anna n 1a(1an )nan1 ，1a Snaa n1na n 1.(1a)21a【总结升华】1.一般地，如果等差数列 an 与等比数列 b n 的对应项相乘形成的数列 an b n （也称为“差比数列 ”）都用错位相减的办法来求前

9、n 项之和 Sn .2.错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以q；3.在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1，若q=1，错项相减法会不成立 .举一反三：【高清课堂： 数列的求和问题 381055典型例题3】【变式 1】求和 Sn12x3x24x3.nx n 1 （ xR ） .【答案】（ 1）当 x0 时， Sn1（ 2）当 x1 时， Sn1 2 3n(n 1)n2（ 3）当 x0 且 x1 时，1 nxn 1( n1) xnSn(1x) 2.【变式 2】求数列1 , 2, 3, 4 , nn , 的前 n 项和 Sn .248162【

10、答案】Sn1 Sn2 (1 Sn1234n248162n1234n4816322n 11 )Sn11 11n11n224 82n2n 12n2n 11 n 2 2n 1 2n类型三：裂项相消法例 3求数列【思路点拨】1， 1， 1， ， 1的前 n 项的和 Sn .12 23 3 4n( n1)1观察数列特征：an 中每项都是个分数，相邻两项之间有公因式，考查每项 n(n 1)可作哪些变化，变化之后再来看有无规律；或看邻项之间运算关系。an11n1，即每一项都可变为两个数的差，即n(n 1)n1111，111 ,1411 ， ，且每项拆裂出作差的两数，被减数1222323334恰是前项裂出的减

11、数，它的减数呢又是它后项裂出的被减数，正好可以消去.【解析】 an11n1 ，n( n1)n1111L1 Sn2233n(n1)14(11)(11)(11)L( 1n1 )22334n1111111112334Ln 12n11n1nn1【总结升华】1. 本题所用的方法叫做裂项相消法，就是将数列的每一项“一拆为二 ”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.一般地，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.2. 在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如：1k)1? (1n1)

12、；n(nknk若 an 为等差数列，公差为d，则11 ( 11 ) ；an ? an 1d anan 1n1nn1n ，n1n1 ( n kn ) .1kk举一反三：【变式 1】求数列1，1，1， ，1， 的前 n 项和 Sn .2233nn121【答案】 a1n1nnnn1 Sn1111122332nn1213223n1nn11【变式 2】求和 :1111( （nN) *）1212312nNn【答案】 ak1k122( 11) ,1 2k( k 1)k( k 1)k k 122222Sn22334n(n1)12(11 )( 11)( 11) L( 11)122334nn12(111)2nnn

13、 1类型四：分组转化法求和例 4已知 a n 是等差数列，满足 a1 3，a4 12，数列 b n 满足 b1 4，b4 20，且 bn an 为等比数列( )求数列 an 和 bn 的通项公式；( )求数列 bn 的前 n 项和【答案】 ( )an a1 (n 1)d 3n(n1， 2，)，bn 3n 2n 1(n 1， 2，)( ) 3 n(n 1) 2n 12【解析】 ( )设等差数列 an 的公差为d，由题意得a4 a112 3d33 3 an a1 (n 1)d 3n(n 1， 2， )，设等比数列 bn an 的公比为 q，则q3b4a420128 ， q 2，b1a143n12n

14、 1bn an (b1 a1)q， bn 3n 2n 1(n1， 2， ) ( )由 ( )知 bn 3n 2n 1(n 1， 2，)数列 3 n 的前 n 项和为 3 23数列 bn 的前 n 项和为2n(n 1)，数列 2 n1 的前 n 项和为 1 12n2n1 ，12n 1n(n 1) 2【总结升华】1.一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列 an 与等比数列 bn 的对应项相加而形成的数列 anbn 都用分组求和的办法来求前n 项之和 Sn .举一反三：【变式 1】求和 Sn(21)

15、(2 21)(2 31).(2 n1)【答案】 Sn(22223.2n )n2n 1n2【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题 1】【变式 2】已知数列xn 的首项 x13 ，通项 xn2npn q（ nN * ， p, q 是常数），且 x1 , x4 , x5 成等差数列 .（ 1）求 p,q 的值；（ 2）求数列xn的前 n 项和 Sn .【解析】2 pq3q1（ 1） 2(16 p4q)2 pq32 p5p解得p1（ 2） Snx1x2xn(211)(2 22)+(22n)= (2122+2n ) (1 23+n)= 2n 12n(n1)2(212223. 2n ) 2(1

16、23.n)2(12n )2n(n 1)1222n 1n2n2【变式3】（ 2016北京文）已知 an 是等差数列， bn 是等差数列，且b2=3，b3=9， a1=b1，a14=b4.（）求 an 的通项公式；（）设cn= an+ bn，求数列 cn 的前 n 项和 .【答案】（）等比数列b39b n 的公比 q3 ，b23所以 b1b21 ，b4 =b3q=27。q设等差数列 a n 的公差为d。因为 a1=b1=1， a14=b 4=27 ，所以 1+13d=27 ，即 d=2。所以 an=2n 1（ n=1 ，2， 3， ）（）由（ 1）知， an=2n 1，bn=3n 1因此 cn=a

17、n+bn=2n 1+3 n 1例 5已知数列 an 的前 n 项和 Sn1591317 21 . ( 1)n 1 (4 n 3) ，求S15 ， S22 的值 .【思路点拨】该数列 an 的特征： an ( 1)n 1 (4 n3)，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以 1 为首项 8 为公差的等差数列，偶数项构成以-5 为首项 -8 为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：a1 a2 a3 a4a5a6 .an an 14（ n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起。【解析】方法一： 由 an(1)n 1 (4 n3) S151 9. (4 153)513.(4

18、143)8(157)7(553)2292S221 9 .(4213) 513 .11(181)11(585)(4 22 3)2442方法二： 由 an(1)n1(4 n3)当 n 为奇数， nN*时， anan1(4 n3)(4 n1)4 ，当 n 为偶数，nN *时， anan1(4 n 3) (4 n1)4 ， S151( 59) (1317)(2125).( 5357)17429，S22(15)(913)(17 21) .(8185)11(4)44【总结升华】1.(1)或(1)n 1 的一类数列，在求Sn时要注意讨论n 的奇偶情况.对通项公式中含有n2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，