兴义天赋中学数学必修一教案48正弦函数余弦函数的图象和性质

1、兴义市天赋中学数学必修一教案：4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质（4）教学目的：1 .理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1. y=sinx , x R和y=cosx, x R的图象，分别叫做 正弦曲线 和余弦曲线.电y1/、厂、/、1.-6-5、-4-3、. -2-.03 J . 4 5- .6-1f x =sin x电y

2、1厂、亠 V、厂、乂、-/ 一、广、-八 J -6 细 / -47/ -20、丿 2、3456 v!-1f x =cos X2 .用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx , x 0, 2 n 的图象中，五个关键点是:(0,0) (2,1) ( ,0) (32,-1) (2 ,0)余弦函数y=cosxx0,2的五个点关键是（0,1）（2® （,-1)3(2,0) (2 ,1)3.定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 或（ 8,+ ）:,分另U记作：y = sinx, x R y= cosx, x R4 .值域正弦函数、余弦函数的值域都是1, 1 +

3、其中正弦函数y=sinx,x R 当且仅当x=+ 2kn , k Z时，取得最大值 12 当且仅当x=+ 2kn , k Z时，取得最小值一12而余弦函数 y= cosx, x R 当且仅当x= 2k n , k Z时，取得最大值1, 当且仅当x= (2k+ 1) n , k Z时，取得最小值一15 周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kn (k Z且kz 0)都是它的周期，最小正周期是2n6 .奇偶性y= sinx为奇函数，y= cosx为偶函数正弦曲线关于原点 O对称,余弦曲线关于y轴对称7 .单调性正弦函数在每一个闭区间+ 2kn, + 2kn : (k Z)上都是增函数，其值从一1

4、增大到1 ;在2 23每一个闭区间+ 2kn ,+ 2k n (k Z)上都是减函数，其值从1减小到一12 2余弦函数在每一个闭区间(2k 1) n , 2kn (k Z)上都是增函数，其值从一1增加到1 ;在每一个闭 区间2kn , (2k+ 1) n (k Z)上都是减函数，其值从1减小到一1.二、讲解范例：1 x例1求函数y = sinn的单调增区间.21 x误解：令u =n2y = sin u 在2k n , 2kn+ (k Z)上递增2 21 x-2k n wnW 2k n + 2 2 2解得4k w x< 4k + 2原函数的单调递增区间为4k, 4k + 2 (k Z)1

5、x分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令u =n ,忽视了 u是x的减函数，未2考虑复合后单调性的变化.正解如下：1 x解法一：令u=n,贝U u是x的减函数23又 y= sin 口在2kn ,2kn + (k Z)上为减函数，2 23原函数在2kn + , 2k n + (k Z)上递增2 2、九1 x ,3设 2kn + wnW 2k n2 2 2解得一4k 2w xW 4k( k Z)原函数在4k 2, 4k (k Z)上单调递增解法二：将原函数变形为.x 1y= sin22x 1因此只需求sinn = y的减区间即可x 1/ u =n为增函数2只需求sin u的递减区间x

6、13 2 k n + wnW 2 k n + 2 2 2解之得：4k+2W x < 4k+4(k Z)原函数的单调递增区间为4k + 2, 4k + 4 (k Z)一、利用三角函数的有界性 利用三角函数的有界性如Isin x | w 1, | cosx1来求三角函数的最值.例2 a、b是不相等的正数+2 2 2 2求 y = , a cos x bsin xas in x bcos x的最大值和最小值 *解：y是正值，故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小)+y2= acos2x+ bsi n 2x+ 2 a cos2 x bsi n2 x as in2 x b cos2

7、 x + asi n 2x + bcos2x=a+ b+ . 4ab (a b)2 sin2 2x/ az b, (a- b)2>0, 0wsin 22xw 1ki当 sin2x=± 1 时，即 x =(k Z)时，y 有最大值.2(a b);2 2k电i当sin x = 0时，即x =( k Z)时，y有最小值.a + , b .2二、利用三角函数的增减性如果f(x)在a，3 :上是增函数，则f (x)在a，3 :上有最大值f ( 3)，最小值f( a)；如果f (x) 在a，3】上是减函数，则 f(x)在a，3】上有最大值f ( a )，最小值f( 3 ) +例3在Ow x

8、w 一条件下，求 y= cos2x- sin xcosx 3sin 2x的最大值和最小值.2解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有cos2x22sin2 x 3 cos2x2=2(cos2 x sin2 x) 128=2 , 2 (cos2 xcos sin2 xsin ) 144=2、2 cos(2 x+ ) 14/ 0w xw， - w 2x +w 2444cos(2 x+ )在0，)上是减函数48故当x= 0时有最大值、-2当x=时有最小值一13cos(2 x+ )在4，上是增函数8故当x=时,8有最小值-1当x = 时，有最大值22 2综上所述，当X= 0时，ymax= 1x =时，ym

9、in = 22 18三、换元法利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解+例 4 求 f(x) = sin 4x + 2sin 3xcosx+ sin 2xcos2x + 2sin xcos3x+ cos4x 的最大值和最小值.解: f (x) = (sin 2x + cos 2x)2 2sin 2xcos 2x + 2sin xcos x(sin 2x + cos 2x) + sin 2xcos2x=1 + 2sin xcosx 2 2sin xcos x1令 t = sin2 x2 1 2f ( t ) = 1 + 2 t t = ( t 1) + 2在的范围内求的最值

10、1当上=，即 x = k n + (k Z)时，f(X) max=241 374142 2当 t =，即 x= k n + ( k Z)时，f (x) min =2 4也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、四、求三角函数最值时应注意的问题 三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：1 .注意sin x、cosx自身的范围例5求函数y = cos2x 3sin x的最大值.2 2 3解: y= cos2x 3sin x = sin 2x 3sin x+ 1 = (sin x+)21 < sin x< 1,当 sinx = 1 时

11、，ymax= 3说明：解此题易忽视 si nx 1, 1 这一范围，认为sin313x=时，y有最大值一，造成误解“4442 注意条件中角的范围2例6已知| x |w ，求函数y= cos x+ sin x的最小值1 25解: y= sin x + sin x+ 1 = (sin x) +1 、22说明：解此题注意了条件I，使本题正确求解，否则认为sin x = 1时y有最小值，产生误4解.3 注意题中字母(参数)的讨论2553例 7 求函数 y = sin 2x+ acosx+ a(0 v x v )的最大值.一222解：T y = 1 cos x+ acosx+(cos x ) 2+2a2

12、当 Ov av 2 时，cosx=旦,2y max=-w XW44J2v V2- v sin xv2 2当 sin x = - 2 时2_/721丄 5_ymin=()十一=22413当 a > 2 时，cos x = 1, ymax=a 8 2 亠51当 a v 0 时，cos x = 0, ymax= a 8 2说明：解此题注意到参数 a的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cosx =-时，y有最大值会2产生误解+4 注意代换后参数的等价性例8已知y= 2sin 9 cos 9 + sin 9 cos 9 (0 v 9 v n )，求y的最大值、最小值.解：设t = sin9 cos 9 =、2 sin(/ 2sin 9 cos 92=1 t+1 =-(t 丄)2十2又 t t= - 2 sin( 9 ) , 0 v 9 v n439 v 44当 t = 1 时,2_ 5y max=4当 t= -1 时，y(min= 1说明：此题在代换中，据 B范