高等数学：2-3 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数

1、第三节第三节 隐函数的导数隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数一一 、隐函数的导数、隐函数的导数二二 、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数三、三、 导数公式与法则导数公式与法则. )( 0),( , 0),( xyyyxFyxyxF 一个隐函数一个隐函数在该区间内确定了在该区间内确定了存在，那么就说方程存在，那么就说方程值值总有满足方程的唯一的总有满足方程的唯一的内的任一值时，相应地内的任一值时，相应地取某区间取某区间当当中中如果在方程如果在方程定义定义.)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐

2、函数的显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?1.1.隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一、隐函数的导数一、隐函数的导数解解,求导求导方程两边对方程两边对x, 0 dxdyxydxdyey解得解得).0( , yyexexydxdy. 1 0 yx，时时当当100 yxyxexydxdy.1e ., 0 1 0 xydxdydxdyyexye的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求有方程求有方程例例由原方程知由原方程知,，得到，得到注意注意 )( xyy .)323, 2(1916

3、 222处处的的切切线线方方程程在在求求椭椭圆圆例例 yx解解, 求导求导方程两边对方程两边对 x. 0928 dxdyyx22169 xxyxy.43 所求切线方程为所求切线方程为)2(43323 xy. 03843 yx即即)323, 2(xyo44/3 1,(0,1).xxyyy例设求 在点处的值解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy2.2.对数求导法对数求导法观察函数观察函数.,)4)(3()2)(1(sinxxyxxxxy 方法：先在方程两边取对数方法：先在方程两边取对数, 然后利用隐函数然后利用隐函数 的求导

4、方法求出导数的求导方法求出导数.适用范围适用范围: :.)( )(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu解解),4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy 求求导导得得上上式式两两边边对对 x yy.,)4)(3()2)(1( 4yxxxxy 求求设设例例)41312111()4)(3()2)(1(21 xxxxxxxxy等式两边取对数等式两边取对数(先假定先假定 ),得得4 x),41312111(21 xxxx)4)(3()2)(1(xxxxy )4)(3()2)(1(xxxxy 用同样方法可得与上面相同的结果用同样方法可得与上面相同的结果.时，时

5、，当当1 x,32时时当当 x解解.),0( 5sinyxxyx 求求设设例例等式两边取对数得等式两边取对数得.lnsinlnxxy 求导得求导得上式两边对上式两边对x yy1)1sinln(cosxxxxyy ).sinln(cossinxxxxxx xxxx1sinlncos 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv),()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又).(ln)()(xfdxdxfxf .)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv ),(ln)()(lnxuxvxf 二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数.,)(

6、)( 定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx,2xt 22)2(xty ,42x .21xy 消去参数消去参数问题问题: : 消去参数困难或无法消去参数如何求导消去参数困难或无法消去参数如何求导?, t),( )( 1xttx 具具有有单单调调连连续续的的反反函函数数设设函函数数)(1xy 由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得 dxdydtdxdtdy1 ，)()(tt dtdxdtdydxdy 即即, )()( 中中在方程在方程 tytx , 0)(,)()

7、,( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数dxdtdtdy 解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 . 2 )cos1()sin( 6处的切线方程处的切线方程在在求摆线求摆线例例 ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为),12( axay).22( axy即即 )( C)(sin x)(tan x)(sec x)( x)(cos x)(cot x)(csc x)( xa)(log xa)( xe)(ln x1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式0 1 xxcos xsin x2sec x2csc xx tansec xxcotcsc aaxln xe axln1 x1 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，可导，)( )4( vu)( )3( uv)( )1( vu)( )2( cu则则)(arcsin x)(arccos x)tan( xacr)cot( xacr211x 211x 211x 211x , vu ).( 是常数是常数其中其中cuc , vuvu ).0( 2 vvvuvu 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设