高等数学课件：7-4空间曲线及其方程

1、2021-12-151第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一一 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程（Space Curve and Equations)二二 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程三三 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影四四 小结与思考判断题小结与思考判断题2021-12-152一一 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程即两个曲面的交线）( 0),(0),(zyxGzyxF例例1 112)1(22222zyxzyxC曲曲线线 214322zyx即即xY Z 2021-12-153例例2 C: 4)2(222222ayaxyxaz 4)2(2222ayax

2、axaz即即xyz02021-12-154二二 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程(The Parametric Equation of Space Curve)标表示为参数的函数：只要将曲线上动点的坐参数形式表示，般方程之外，也可以用空间曲线的方程除了一)()()(tzztyytxx(*)方程（*）叫做空间曲线的参数方程。2021-12-155例3 螺旋线 vtztRytRx sincos解：解：0AMMxyZ 222Ryx 如果空间一点如果空间一点M在圆柱面在圆柱面上以角速度上以角速度绕绕Z轴旋转，同时又以线速度轴旋转，同时又以线速度v, 那么点那么点M构成的图形叫做螺旋线构成的图形叫做

3、螺旋线.v沿平行于沿平行于Z轴的正方向上升（其中轴的正方向上升（其中都是常数都是常数),试建立其参数方程。试建立其参数方程。2021-12-156例 4 曲线C的一般方程为 xyzyx3222将其化为参数方程 xyzx1222 xyzx1 )3()23(2222即即 tztytx3sin23cos232021-12-157三三 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影1 投影柱面及投影曲线：过空间曲线过空间曲线C 做母线平行于做母线平行于Z轴柱面，称它为轴柱面，称它为C 关于关于xoy面的投影柱面，此与面的投影柱面，此与xoy面的交线面的交线C称为称为C 关于关于xoy面的投影曲线（简

4、称投影）面的投影曲线（简称投影）CC0 xyZ(Projecting Curve on a Coordinate Plane of Space Curve2021-12-1582 投影柱面及投影曲线的求法1) 空间曲线的一般方程）1( 0),(0),( zyxGzyxF消去变量 方程组 00),(zyxH所表示的曲线是在xoy面的投影曲线也是包含投影曲线的柱面。0),(, yxHz0),( yxH为母线平行于Z轴柱面，2021-12-1592) 空间曲线的一般方程）1( 0),(0),( zyxGzyxF消去变量方程组 00),(xyxR所表示的曲线是在yoz面的投影曲线也是包含投影曲线的柱面

5、。0),(, yxRx0),( yxR为母线平行于X轴柱面，2021-12-15103) 空间曲线的一般方程）1( 0),(0),( zyxGzyxF消去变量方程组 00),(yyxT所表示的曲线是在xoz面的投影曲线也是包含投影曲线的柱面。0),(, yxTy0),( yxT为母线平行于y轴柱面，2021-12-1511例例4 已知两球面方程分别为已知两球面方程分别为求它们的交线在求它们的交线在XOY的投影方程。的投影方程。解：两方程相减，得解：两方程相减，得y+z=1, z=1-y带入球面方程其中一个，得带入球面方程其中一个，得1)1(222 yyx化简得交线在化简得交线在XOY的投影方程

6、：的投影方程： 002222zyyx1222 zyx1)1()1(222 zyx和和2021-12-15123 空间曲面围成的立体在坐标面上的投影空间曲面围成的立体在坐标面上的投影例例5 设一个立体，由上半球面设一个立体，由上半球面所围成，求它在所围成，求它在XOY面的投影。面的投影。 ）（2222232:yxzyxzc解：解：消去Z得，122 yx 0122zyx投投影影曲曲线线0 xyZ）（和和锥锥面面2222232yxzyxz 2021-12-1513例6.0 22222面上的投影面上的投影和和所围成的立体在所围成的立体在及平面及平面，柱面，柱面求上半球面求上半球面XOZXOYXOYaxyxyxaz 4)2(2222ayaxaxazxyz解：曲线解：曲线立体在立体在XOY面上投影为面上投影为axyxayax 22222 4)2(即即立体在XOZ面上投影为0z0,x 222 azx2021-12-1514空间曲线的一般方