高等数学课件：2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1第四节第四节 隐函数隐函数及及由参数方程由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数 第二章第二章 三、相关变化率三、相关变化率二、二、由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数四、小结与思考题四、小结与思考题返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2一、隐函数的导数一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）31xy若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如

2、,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三303275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数例例1 求由方程返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月

3、15日星期三4191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx例例2 求椭圆返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三5)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx例例3 求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法对数求导法求导 :uvylnlnyy1

4、uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:说明说明:返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三8)4)(3()2)(1(xxxxy(ln)uuu 21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111x

5、xxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x又如又如,返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三9二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数（Derivative of Function Determined by Parametric Equation）若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22tt则( )0t时, 有ddyxxttyddddtxtydd1dd( )( )tt关系,( )( )tt( )0t时, 有ddxyyttxddddtytxdd1dd(此时

6、看成 x 是 y 的函数 )返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三10)(, )(tt二阶可导,22ddyx)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt ( ) t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxytddxt)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得若上述参数方程中返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11点击图中任意点动画开始或暂停返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三12解：解：0 x22sina1 ;2a0y21cosa

7、a返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三13而而ddyxttyx (1cos ) (sin )ata ttsin,1costt所以，所以，k2sin1costtt1于是所求切线方程为于是所求切线方程为121aayx 即即(2).2yxa返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三14解：解：ddyxttyx( sin )( cos )btatcos( sin )btatcot bta (0,2)t 22ddyxddddyxxddcotddbtttax21cscbtxtadd21csscinbtaat23sinbat (0,2).t 返回返回上页上页下页下页

8、目录目录2021年12月15日星期三15) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.ddxy解解: 方程组两边对 t 求导 , 得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd例例6 设由方程返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三16内容小结内容小结1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三17思考与练习思考与练习1y2y,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1. 设答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx21 2ln3(2)3(2)xxxxx返回返回上页上页下