高等数学课件：7-5平面及其方程

1、2021/12/151第五节第五节 平面及方程平面及方程 二二 平面的点法式方程平面的点法式方程三三 平面的一般式方程平面的一般式方程四四 两平面的夹角两平面的夹角六六 小结与思考判断题小结与思考判断题一一 问题的提出问题的提出(The Planes and Equations)五五 点到平面的距离点到平面的距离2021/12/152一一 问题的提出问题的提出 (Introduction) 平面是最简单的重要曲面 经过空间一点可以作，而且只能作一个平面垂直于一已知直线. 经过空间一点可以作，作一个平面垂直于一已知向量.2021/12/153xyzo0MM 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫

2、做该平面的法线向量法线向量法线向量垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量二二 平面的点法式方程平面的点法式方程n(The Point-Normal Form Equations of a Plane)法线向量法线向量(Normal Vector).置置完完全全确确定定一一个个平平面面的的位位以以平平面面的的一一个个法法向向量量就就可可当当已已知知平平面面上上的的一一点点和和2021/12/154,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点

3、为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMxyzo0MMn2021/12/155例例 1 1 求求过过点点)0 , 3, 2( ，为为法法线线向向量量，以以321 n的的平平面面方方程程. ,3, 2, 1 n, 03)3(2)2( zyx化简得化简得. 0832 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解)0 , 3, 2(0 M2021/12/156例例 2 2 求求过过三三点点)4 , 1, 2(1 M、)2, 3 , 1(2 M和和)3 , 2 , 0(3M的的平平面面方方程程. 解解6, 4, 321 MM1, 3, 231 MM取取,1, 9,14 所求平面方程为

4、所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx3121MMMMn 2021/12/157由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAx三三 平面的一般方程平面的一般方程 （General Form Equations)方方程程来来表表示示；面面都都可可以以用用三三元元一一次次由由此此可可以以看看出出，任任一一平平2021/12/1580 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 即即数数任任取取满满足足该该方方程程的的一一组组,000zyx. 0000 DCz

5、ByAx0 DCzByAx程程反反之之，设设有有三三元元一一次次方方上述两等式相减，得上述两等式相减，得0)()()(000 zzCyyBxxA2021/12/159平面一般方程的几种特殊情况平面一般方程的几种特殊情况, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 CzByAx0 CzBy0 DCzBy0 DCz2021/12/15

6、10例例 3 3 设平面过设平面过 X 轴及点轴及点)1,3,4( ， 求此平面， 求此平面方程方程. 设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过由平面过X轴知轴知, 0, 0 DA由由平平面面过过点点)1, 3, 4( 知知 03 CB,31CB . 03 zy所求平面方程为所求平面方程为解解2021/12/1511例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0

7、, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解2021/12/1512,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距2021/12/1513定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 四四 两平面的夹角两平面的夹角（The Angle between Two Plane

8、s) 的法线向量为的法线向量为，设平面设平面21 ),cos(cos21nn 2021/12/1514按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式从两向量垂直、平分的充要条件可得出下列结论从两向量垂直、平分的充要条件可得出下列结论21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 2021/12/1515例例5 5 求下列两平面的夹角求下列两平面的夹角062, 052 zyxzyx解解2222222)1(1112|21)1(112|cos 21cos

9、两平面相交，夹角两平面相交，夹角.3arccos ,1 , 1 , 21 n,2 , 1, 12 n2021/12/1516.0)1, 1 , 0()1 , 1 , 1(621，求它的方程，求它的方程平面平面且垂直于且垂直于和和一平面通过两点一平面通过两点例例 zyxMM1 ,CBAn 向量为向量为解：设所求平面的法线解：设所求平面的法线 1M2M2, 0 , 121 MMnMM 2102 CA1n已知平面的法向量）已知平面的法向量）(1 , 1 , 1 n. 0 CBA.,2CBCA 由由上上两两式式得得到到.02 zyx所所以以求求得得平平面面的的方方程程为为2021/12/1517五五

10、点到平面的距离点到平面的距离 设设),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz 外外一一点点. ),(1111zyxP|jPr|01PPdn 1PNn0P 00101jPrnPPPPn ,10101001zzyyxxPP ,CBAn 2021/12/1518 2222222220,CBACCBABCBAAn00101jPrnPPPPn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 2021/12/15190111DCzByAx由于 01jPrPPn所以所以,222000CBADCzByAx.|222000CBADCzByAxd 由此得到点到平面距离公式由此得到点到平面距离公式2021/12/1520平面的方程平面的方程两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方